【名師一號】2022屆高三數(shù)學一輪總復習基礎練習：第六章-不等式、推理與證明6-5-

第五節(jié)合情推理與演繹推理時間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形”中的小前提是()A．① B．②C．③ D．①和②解析由演繹推理三段論可知，①是大前提；②是小前提；③是結(jié)論．故選B.答案B2．下列推理是歸納推理的是()A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則PB．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇解析由A可知其為橢圓的定義；B由a1＝1，an＝3n－1求出S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式，屬于歸納推理；C由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πab，是類比推理；D科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇，也屬于類比推理，故選B.答案B3．觀看下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，則第n個式子是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析方法一：由已知得第n個式子左邊為2n－1項的和且首項為n，以后是各項依次加1，設最終一項為m，則m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2.方法二：特值驗證法．n＝2時，2n－1＝3,3n－1＝5，都不是4，故只有3n－2＝4，故選C.答案C4．觀看下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合格的圖形為()A. B.C. D.解析表格中的圖形都是矩形、圓、正三角形的不同排列，規(guī)律是每一行中只有一個圖形是空心的，其他兩個都是填充顏色的，第三行中已經(jīng)有正三角形是空心的了，因此另外一個應當是陰影矩形．答案A5．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四周體P—ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,64) D.eq\f(1,27)解析正四周體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為13，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).答案D6．(2021·青島模擬)對于數(shù)25，規(guī)定第1次操作為23＋53＝133，第2次操作為13＋33＋33＝55，如此反復操作，則第2011次操作后得到的數(shù)是()A．25 B．250C．55 D．133解析第3次操作為53＋53＝250，第4次操作為23＋53＋03＝133，第5次操作為13＋33＋33＝55，可知操作后得到的數(shù)以3為周期重復消滅，而2011＝3×670＋1，所以第2011次操作后得到的數(shù)等于第1次操作后得到的數(shù)，即為133.答案D二、填空題7．觀看下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為__________．解析由前三個式子可以得出如下規(guī)律：每個式子等號的左邊是從1開頭的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個數(shù)依次多1，等號的右邊是一個正整數(shù)的平方，后一個正整數(shù)依次比前一個大3,4，….因此，第五個等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．觀看下列圖形中小正方形的個數(shù)，則第6個圖中有__________個小正方形．解析第1～5個圖形中分別有3,6,10,15,21個小正方形，它們分別為1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，1＋2＋3＋4＋5＋6，因此an＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)．故a6＝1＋2＋3＋…＋7＝eq\f(71＋7,2)＝28，即第6個圖中有28個小正方形．答案289．若{an}是等差數(shù)列，m，n，p是互不相等的正整數(shù)，則有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，類比上述性質(zhì)，相應地，對等比數(shù)列{bn}有________________．解析設{bn}的首項為b1，公比為q，則beq\o\al(m－n,p)·beq\o\al(n－p,m)·beq\o\al(p－m,n)＝(b1qp－1)m－n·(b1qm－1)n－p·(b1qn－1)p－m＝beq\o\al(0,1)·q0＝1.答案beq\o\al(m－n,p)·beq\o\al(n－p,m)·beq\o\al(p－m,n)＝1三、解答題10．平面中的三角形和空間中的四周體有很多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中，(1)三角形兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的面積S＝eq\f(1,2)×底×高；(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的eq\f(1,2)；…請類比上述性質(zhì)，寫出空間中四周體的相關結(jié)論．解由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四周體的相關性質(zhì)為：(1)四周體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積；(2)四周體的體積V＝eq\f(1,3)×底面積×高；(3)四周體的中位面平行于第四個面且面積等于第四個面的面積的eq\f(1,4).11．觀看下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…，問：(1)此表第n行的最終一個數(shù)是多少？(2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？(3)2013是第幾行的第幾個數(shù)？解(1)∵第n＋1行的第1個數(shù)是2n，∴第n行的最終一個數(shù)是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)…＋(2n－1)＝eq\f(2n－1＋2n－1·2n－1,2)＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2013<2048，∴2013在第11行，該行第1個數(shù)是210＝1024，由2013－1024＋1＝990，知2013是第11行的第990個數(shù)．eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．設非空集合M同時滿足下列兩個條件：①M?{1,2,3，…，n－1}；②若a∈M，則n－a∈M(n≥2，n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是()A．若n為偶數(shù)，則集合M的個數(shù)為2eq\f(n,2)個B．若n為偶數(shù)，則集合M的個數(shù)為2eq\f(n,2)－1個C．若n為奇數(shù)，則集合M的個數(shù)為2eq\f(n－1,2)個D．若n為奇數(shù)，則集合M的個數(shù)為2eq\f(n＋1,2)個解析當n＝2時，M?{1}，且滿足1∈M,2－1∈M，故集合M的個數(shù)為1個；當n＝3時，M?{1,2}，且1∈M,3－1＝2∈M，故集合M的個數(shù)為1個；當n＝4時，M?{1,2,3}，且1∈M,4－1＝3∈M,2∈M,4－2＝2∈M，故集合M的個數(shù)為3個，故可排解A，C，D，選B.答案B2．觀看下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某數(shù)m3按上述規(guī)律開放后，發(fā)覺等式右邊含有“2013”這個數(shù)，則m＝________.解析某數(shù)m3按上述規(guī)律開放后，等式右邊為m個連續(xù)奇數(shù)的和，觀看可知每行的最終一個數(shù)為1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，…，所以第m行的最終一個數(shù)為m2＋(m－1)．由于當m＝44時，m2＋(m－1)＝1979，當m＝45時，m2＋(m－1)＝2069，所以要使等式右邊含有“2013”這個數(shù)，則m＝45.答案453．(2022·福建卷)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個關系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c解析由題意可知三個關系只有一個正確分為三種狀況：(1)當①成立時，則a≠2，b≠2，c＝0，此種狀況不成立；(2)當②成立時，則a＝2，b＝2，c＝0，此種狀況不成立；(3)當③成立時，則a＝2，b≠2，c≠0，即a＝2，b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×答案2014．設函數(shù)fn(θ)＝sinnθ＋(－1)ncosnθ，0≤θ≤eq\f(π,4)，其中n為正整數(shù)．(1)推斷函數(shù)f1(θ)，f3(θ)的單調(diào)性，并就f1(θ)的情形證明你的結(jié)論；(2)證明：2f6(θ)－f4(θ)＝(cos4θ－sin4θ)(cos2θ－sin2θ解(1)f1(θ)，f3(θ)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上均為單調(diào)遞增函數(shù)．對于函數(shù)f1(θ)＝sinθ－cosθ，設θ1<θ2，θ1，θ2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則f1(θ1)－f1(θ2)＝(sinθ1－sinθ2)＋(cosθ2－cosθ1)，可得sinθ1<sinθ2，cosθ2<cosθ1，∴f1(θ1)<f1(θ2)，函數(shù)f1(θ)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增．(