【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：2.3-典型例題：應(yīng)用舉例1

典型例題1、某人在草地上閑逛?????，看到他西南有兩根相距6米的標桿，當他向正北方向步行3分鐘后，看到一根標桿在其南方向上，另一根標桿在其南偏西方向上，求此人步行的速度．解：如圖所示，A、B兩點的距離為6米，當此人沿正北方向走到C點時，測得∠BCO=，∠ACO=，∴∠BCA=∠BCO－∠ACO=－=．由題意，知∠BAC=，∠ABC=．在△ABC中，由正弦定理，得：=，即有AC===＋6．在直角三角形AOC中，有：OC=AC·cos=(＋6)×=9＋．設(shè)步行速度為x米/分，則x==3＋≈4.7．即此人步行的速度為4.7米/分．2、某海輪以30海里/小時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東，向北航行40分鐘后到達B點，測得油井P在南偏東，海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達C點，求P、C間的距離．解：如圖，在△ABP中，AB=30×=20，∠APB=，∠BAP=，由正弦定理，得：=，即=，解得BP=．在△BPC中，BC=30×=40，由已知∠PBC=，∴PC===(海里)．所以P、C間的距離為海里．3、已知的周長為，且．⑴求邊的長；⑵若的面積為，求角的度數(shù)．解：⑴由題意及正弦定理，得，，兩式相減，得．⑵由的面積，得，由余弦定理，得，所以．4.某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀看到點C處有一輛汽車沿大路向M站行駛。大路的走向是M站的北偏東40。開頭時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進20千米后到達B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC==,則sinC=1-cosC=,sinC=,所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=在MAC中，由正弦定理得MC===35從而有MB=MC-BC=15答：汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站。5.在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再連續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，=。由于sin4=2sin2cos2 cos2=,得2=30 =15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE=x，AE=h在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)兩式相減，得x=5,h=15在RtACE中,tan2==2=30,=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m在RtACE中，sin2=①在RtADE中，sin4=,②②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m6.某巡邏艇在A處發(fā)覺北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇馬上以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)當沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB=+=(14x)=9+(10x)-2910xcos化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC=10x=15,AB=14x=21,又由于sinBAC===BAC=38,或BAC=141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應(yīng)當沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船.7.我艦在敵島A南偏西相距12海里的B處,發(fā)覺敵艦正由島沿北偏西的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示）解：如圖，在ABC中由余弦定理得：BC=AC+AB-2ABACcosBAC=20+12-21220(-)=784BC=28我艦的追擊速度