2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第2章-第4節(jié) 函數(shù)的奇偶性、周期性【課件】

第二章函數(shù)第4節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡單的應(yīng)用.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且______________________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于______對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且________________________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于______對(duì)稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點(diǎn)2.周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且________________________，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)______的正數(shù)，那么這個(gè)__________就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正數(shù)常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函數(shù).(

)(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)＝0.(

)(3)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.(

)(4)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù).(

)××√×解析

(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)錯(cuò)誤.(2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù),且在x＝0處有意義時(shí)才滿足f(0)＝0，(2)錯(cuò)誤.(4)反例：f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，(4)錯(cuò)誤.BC解析對(duì)于f(x)＝x4，f(x)的定義域?yàn)镽，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函數(shù)，

3.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________________.(－2，0)∪(2，5]解析由圖象可知，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f(x)＞0；當(dāng)2＜x≤5時(shí)，f(x)＜0，又f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，f(x)＜0，當(dāng)－5≤x＜－2時(shí)，f(x)＞0.綜上，f(x)＜0的解集為(－2，0)∪(2，5].4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，若f(－1)＝1，則f(2025)＝______.-1解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，所以f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).解顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).解

顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，故f(x)為奇函數(shù).感悟提升判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.BC解析對(duì)于A,只有奇函數(shù)在x＝0處有定義時(shí),函數(shù)的圖象過原點(diǎn),所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)y＝xsinx的定義域?yàn)镽且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，所以B正確；對(duì)于C，函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù),所以C正確；D解析因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).對(duì)于A，x∈R，設(shè)F(x)＝f(x)＋g(x)，則F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，x∈R，設(shè)N(x)＝f(x)－g(x)，則N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，x∈R，設(shè)H(x)＝|f(x)g(x)|，H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)為偶函數(shù)，故正確.考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用B所以g(x)為奇函數(shù).則y＝x＋a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a＝0，故選B.所以(a－1)ln3＝－(a＋1)ln3，解得a＝0(經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù))，故選B.(2)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x＋1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝________.x－1解析當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.角度2奇偶性與單調(diào)性例3(1)(多選)(2024·合肥調(diào)研)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則(

) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2))BD解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，g(x)在R上單調(diào)遞減，所以f(1)<f(2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)，所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，所以BD正確，C錯(cuò)誤.若|f(1)|>|f(2)|，則f(f(1))>f(f(2))，A錯(cuò)誤.(2)(2024·廣州質(zhì)檢)已知偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，且f(1)＝0，則不等式xf(x－2)>0的解集為(

)A.(1，3) B.(3，＋∞)C.(－3，－1)∪(3，＋∞) D.(0，1)∪(3，＋∞)D解析偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(1)＝0，則當(dāng)x>0時(shí)，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)，所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞).當(dāng)x<0時(shí)，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)，所以－1<x－2<1，解得1<x<3，所以解集為空集.綜上，不等式xf(x－2)>0的解集為(0，1)∪(3，＋∞)，故選D.感悟提升1.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.2.比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進(jìn)而利用其單調(diào)性比較大小.3.解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))＞f(h(x))，利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“f”脫掉，得到具體的不等式(組).D解析法一f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2.又y＝x是奇函數(shù)，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函數(shù)，故a－1＝1，即a＝2.B解析由題意得，偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.所以a<c<b.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由于f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝0，所以f(x)的大致圖象如圖所示.由于x在分母位置，所以x≠0，當(dāng)x<0時(shí)，只需f(x)<0，由圖象可知x<－2；當(dāng)x>0時(shí)，只需f(x)>0，由圖象可知x>2；綜上，不等式的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞).考點(diǎn)三函數(shù)的周期性及應(yīng)用例4(1)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，則f(2025)＝________.解析∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x)的周期為4，(2)設(shè)f(x)是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則函數(shù)f(x)在[2，4]上的解析式為_________________________.f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]解析根據(jù)題意，設(shè)x∈[2，4]，則x－4∈[－2，0]，則有4－x∈[0，2]，又x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)為周期為4的偶函數(shù)，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，則有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4].感悟提升1.求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.訓(xùn)練3(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其周期為4，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－2，則(

)A.f(2024)＝－1 B.f(x)的值域?yàn)閇－1，2]C.f(x)在[4，6]上單調(diào)遞減 D.f(x)在[－6，6]上有8個(gè)零點(diǎn)AB解析f(2024)＝f(506×4)＝f(0)＝－1，所以A正確；當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇－1，2]，由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)閇－1，2]，所以B正確；當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，又函數(shù)的周期是4，所以f(x)在[4，6]上單調(diào)遞增，所以C錯(cuò)誤；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函數(shù)的周期為4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]上有6個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANB對(duì)于B，函數(shù)y＝－x|x|為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),y＝－x|x|＝－x2,當(dāng)x≤0時(shí),y＝－x|x|＝x2，故函數(shù)y＝－x|x|在定義域內(nèi)為減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由于函數(shù)y＝ex，y＝－e－x均為增函數(shù)，故y＝ex－e－x在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)y＝－lnx為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.2.(2024·重慶診斷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)為奇函數(shù)，則f(－3)＝(

) A.4 B.－2 C.0 D.2A解析因?yàn)閔(x)＝－x2＋f(3x)是奇函數(shù)，所以有h(－1)＋h(1)＝0，即－1＋f(－3)－1＋f(3)＝0，又f(3)＝－2，所以f(－3)＝4.3.(2024·濟(jì)南模擬)設(shè)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x－1，則使f(x)＞0的x的取值范圍是(

) A.{x|x＞1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|x＜－1或x＞1} D.{x|1＜x＜0或x＞1}C解析∵當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝x－1單調(diào)遞增，又∵f(x)為偶函數(shù)，故可以作出f(x)的圖象如圖所示.由圖象可知，若f(x)＞0，則x＜－1或x＞1.B5.(多選)(2024·昆明檢測(cè))函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，則(

) A.f(－1)＝－1 B.g(－1)＝－2 C.f(1)＋g(1)＝1 D.f(1)＋g(1)＝2AC解析法一由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1，又f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1.對(duì)于A，f(－1)＝(－1)3＝－1，故A正確；對(duì)于B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C和D，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，C正確，D錯(cuò)誤.法二因?yàn)閒(x)－g(x)＝x3＋x2－1，且f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，將x＝－1代入得f(－1)－g(－1)＝－1，所以－f(1)－g(1)＝－1，即f(1)＋g(1)＝1，故C正確，D錯(cuò)誤；將x＝1代入得f(1)－g(1)＝1，又f(1)＋g(1)＝1，所以f(1)＝1，g(1)＝0，所以f(－1)＝－1，g(－1)＝0，故A正確，B錯(cuò)誤.6.(多選)下列對(duì)函數(shù)的奇偶性判斷正確的是(

)BD對(duì)于B，設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－x2－x，則f(－x)＝－f(x)，同理當(dāng)x>0時(shí)，f(－x)＝－f(x)，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，故B正確；7.(多選)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)?x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(2－x)，則下列結(jié)論正確的是(

) A.函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4 B.f(2024)＝1 C.當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f(x)＝－log2(4－x) D.函數(shù)f(x)在[0，2024]內(nèi)有1010個(gè)零點(diǎn)ABC解析∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)?x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)的周期為4，故A正確；f(2024)＝f(4×506)＝f(0)＝1，故B正確；當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x－2∈[0，1]，則f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正確；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2021)＝f(2023)＝0，于是函數(shù)f(x)在[0，2024]內(nèi)有1012個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.8.寫出一個(gè)定義域?yàn)镽，周期為π的偶函數(shù)f(x)＝_________________.cos2x(答案不唯一)110.若函數(shù)f(x)＝ex－e－x，則不等式f(lnx)＋f(lnx－1)>0的解集是____________.解析因?yàn)閒(x)＝ex－e－x，定義域?yàn)镽，且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其為奇函數(shù)，又y＝ex，y＝－e－x均為增函數(shù)，故f(x)為R上的增函數(shù)，則原不等式等價(jià)于f(lnx)>f(1－lnx)，解設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，3].12.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x).當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－x2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù)；證明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f(x)的解析式；解當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.從而求得x∈[2，4]時(shí)，f(x)＝x2－6x＋8.(3)