2024-2025學(xué)年山東省菏澤市曹縣高二12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省菏澤市曹縣高二12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1已知數(shù)列滿足，若，則（）A. B. C.1 D.2【正確答案】C【分析】根據(jù)遞推公式求出、即可.【詳解】因?yàn)榍?，所以，解得，則，即，解得.故選：C2.已知等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為，偶數(shù)項(xiàng)之積為，則為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的公式及性質(zhì)可得解.【詳解】由題意得.故選：B.3.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，過原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，的面積是20，則（）A.5 B. C. D.10【正確答案】D【分析】求出，由三角形的面積得到面積為10，設(shè)，則，將代入中得，求出，得到.【詳解】由題意得，故，故，因?yàn)榈拿娣e為20，所以面積為10，設(shè)，則，解得，將代入中得，故，則.故選：D4.如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截得到的，其中，，，，則中點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】以為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)為平面的法向量，則，所以，令，所以，點(diǎn)到平面的距離為．故選：D5.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，若，且，，均有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式及項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算解不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，注意到，因此，即解得;當(dāng)時(shí)，則即解得，則的取值范圍為.故選：D.6.已知首項(xiàng)為2的正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，則值為（）A.16 B.14 C.12 D.10【正確答案】B【分析】由與的關(guān)系，利用作差法求得，所以是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，兩式相減得：，所以，即，由于正項(xiàng)數(shù)列，所以，即，所以是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，所以.故選：B7.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用的關(guān)系求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，所以.故選：D8.已知函數(shù)，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，已知函數(shù)為“數(shù)列保增函數(shù)”，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】依題意，恒成立，參變分離可得，恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，即可得解.【詳解】依題意，恒成立，即，恒成立，所以，恒成立，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，所以，即的取值范圍是.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得到，恒成立，再參變分離得到，恒成立.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.的前n項(xiàng)和為C.的前100項(xiàng)和為100 D.的前30項(xiàng)和為357【正確答案】AD【分析】當(dāng)時(shí)，，兩式相減可求出，檢驗(yàn)滿足，可判斷A；由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可判斷B；由分組求和法可判斷C，D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，所以，顯然當(dāng)時(shí)，滿足，故，故A正確；由等差數(shù)列求和公式知的前項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤；令，的前100項(xiàng)和為：，故C錯(cuò)誤；令，所以的前30項(xiàng)和為：，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a取值可以是（）A. B. C. D.2【正確答案】BC【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則分段函數(shù)為增函數(shù)，則，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,3，則選項(xiàng)中和在2,3內(nèi)，故選：11.已知在公差不為0的等差數(shù)列中，是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】先由等差數(shù)列的條件求得通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得，，可判斷AC，再根據(jù)，的正負(fù)情況判斷BD.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，解得或，又因?yàn)椋?，所以，故A正確；，令，則，又因?yàn)?，所以，此時(shí)，即只有時(shí)，且，除此之外，所以成立，故B正確；，故C錯(cuò)誤；因?yàn)橹挥袝r(shí)，，除此之外，所以的最小值為，又時(shí)，，所以的最大值為，所以成立，故D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解，，都比較常規(guī)，關(guān)鍵點(diǎn)在于由的正負(fù)特征推出的最值，從而判斷出BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，直線與相交于點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，則的最小值為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)直線方程可確定兩條直線垂直及所過定點(diǎn)，由此可得點(diǎn)軌跡為圓，設(shè)，結(jié)合圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最值和二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.【詳解】，，由得：，恒過定點(diǎn)0,1；由知：恒過定點(diǎn)；，點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑的圓（不含點(diǎn)0,1）；設(shè)，，則當(dāng)，即時(shí)，.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓上點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離最值的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩直線之間的位置關(guān)系及所過定點(diǎn)確定兩直線交點(diǎn)軌跡為圓，進(jìn)而利用圓的對(duì)稱性來求解.13.已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為______．【正確答案】【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】由正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，知，得，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．即的最小值為，故答案為.14.網(wǎng)絡(luò)流行語“內(nèi)卷”，是指一類文化模式達(dá)到某種最終形態(tài)后，既沒辦法穩(wěn)定下來，也不能轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌男螒B(tài)，只能不斷地在內(nèi)部變得更加復(fù)雜的現(xiàn)象.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象地展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞.螺旋線這個(gè)詞來源于希臘文，原意是“旋卷”或“纏卷”，如圖所示的陰影部分就是一個(gè)美麗的旋卷性型的圖案，它的畫法是：正方形的邊長(zhǎng)為4，取正方形各邊的四等分點(diǎn)E?F?G?H，作第二個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的四等分點(diǎn)M?N?P?Q，作第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，就可以得到下圖.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正方形的邊長(zhǎng)依次為??…??…，如圖陰影部分，設(shè)直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為??…??…，則下列說法正確的是___________.①正方形的面積為②③使不等式成立的正整數(shù)的最大值為4④數(shù)列的前項(xiàng)和【正確答案】②③④【分析】根據(jù)題意得到數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)得到，得到的通項(xiàng)公式，最后驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由題意可得，，，，，則，則數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，由題意可得，即，，，，則，對(duì)于①，正方形的面積，所以①不正確；對(duì)于②，由上述分析可得②正確；對(duì)于③，由，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，由于，，，，，則使不等式成立的正整數(shù)的最大值為4，故③正確；對(duì)于④，數(shù)列的前項(xiàng)和，故④正確；故②③④方法點(diǎn)睛，解決新定義題的關(guān)鍵是讀懂材料，將題意與已學(xué)過知識(shí)進(jìn)行結(jié)合.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.等比數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式：（2）記為的前n項(xiàng)和，若，求m．【正確答案】（1）或．（2）．【分析】（1）由條件求出公比，即可求解通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【小問1詳解】等比數(shù)列中，，．，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的通項(xiàng)公式為，或．【小問2詳解】記為的前n項(xiàng)和．當(dāng)，時(shí)，，由，得，，無解；當(dāng)，時(shí)，，由，得，，解得．16.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等比中項(xiàng)公式列出關(guān)于和d的方程，求解即可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得等比數(shù)列的第三項(xiàng)，進(jìn)而得，從而得到的通項(xiàng)公式，利用等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分組求和即可求出.【小問1詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，由，得，即，由，，成等比數(shù)列得，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以．所以．綜上．【小問2詳解】由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，所以.綜上.17.橢圓C：過點(diǎn)P（，1）且離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，定點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）若面積為3，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及，即可求解.【小問1詳解】由已知可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時(shí)，不符合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，，則，則，解得，所以直線的方程為.18.如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面，為中點(diǎn)．（1）平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）線段上是否存在一點(diǎn)，使∥平面？如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在，求的值．【正確答案】（1）證明見詳解（2）（3）存在，【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角；（3）設(shè)，利用空間向量結(jié)合線面平行可得，即可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得由題意可知：平面的法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】線段上是否存在一點(diǎn)，使平面.設(shè)，則，若平面，則，可得，解得，即，可知，所以存在點(diǎn)，使平面，此時(shí).19.已知數(shù)列滿足，，公差不為的等差數(shù)列滿足，，成等比數(shù)列，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列．（2）求和的通項(xiàng)公式．（3）在與之間從的第一項(xiàng)起依次插入中的項(xiàng)，構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，….求中前項(xiàng)的和．【正確答案】（1）證明見解析；（2），（3）.【分析】（1）利用給定的遞推公式計(jì)算即可得證.（2）由（1）按奇偶求出的通項(xiàng)公式，再列式求出的公差，進(jìn)而求出通