2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第四次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市高三上學(xué)期第四次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．2．已知a，b都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．三個(gè)數(shù)，，之間的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，，，則．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．6．《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無(wú)深，長(zhǎng)（直線到的距離），則該羨除的體積為（

）A． B． C． D．7．若雙曲線的中心為原點(diǎn)，是雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)，則下列四個(gè)命題中，①的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；②若對(duì)，都有，則的最小值為；③將的圖象向左平移個(gè)單位，可以得到的圖象；④，使.真命題有（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④9．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（）A．0,1 B．1,+∞ C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).11．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.12．已知圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓的方程為．13．甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為．14．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，大正方形邊長(zhǎng)為，，則．15．已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.三、解答題（本大題共5小題）16．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知的面積為，，.(1)求和的值：(2)求的值.17．如圖，四棱錐中，底面，，，，，，是線段上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)試確定點(diǎn)的位置，使直線與平面所成角的正弦值為.18．設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，分別是橢圓的左右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)、為橢圓上異于的兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，且，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).19．設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，；數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)求值；(3)在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；……；在和之間插入個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，成等差數(shù)列.（i）求；（ii）寫(xiě)出所有使成立的正整數(shù)對(duì).（直接寫(xiě)結(jié)果）20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個(gè)零點(diǎn)，，，其中.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）求證.答案1．【正確答案】A【分析】根據(jù)韋恩圖表達(dá)的集合和之間的關(guān)系，求解陰影部分所表達(dá)的集合即可．【詳解】集合，集合，則或，又因?yàn)閳D中陰影部分表示的集合為，所以.故選：A.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即充分性滿足，但時(shí)，而不成立（不存在），必要性不滿足，故為充分不必要條件，故選：B．3．【正確答案】C【分析】與特定的指數(shù)對(duì)數(shù)值進(jìn)行比較即可得解.【詳解】，，，所以，故選：C.4．【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可判斷為奇函數(shù)，再由函數(shù)值的符號(hào)可得結(jié)論.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，可知為奇函?shù)，圖象應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，可排除AD；顯然，不妨取，可排除C.故選：B5．【正確答案】C【分析】由線面平行的性質(zhì)定理和線線垂直的性質(zhì)，即可判斷①；由線面的位置關(guān)系和線面平行的判定定理，即可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)定理及面面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷③；由面面平行的判定定理，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，假設(shè)，因?yàn)?，所以，又，所以，而，所以，①正確；對(duì)于②，若，則或，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則，又，所以在平面內(nèi)一定存在一條直線，使，而，所以，則，③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以在平面?nèi)一定存在一條直線，使，又因?yàn)?，所以，同理可得在平面?nèi)一定存在一條直線，使得，從而有，又，則與也會(huì)相交，所以由面面平行的判定定理，可以判斷出④是正確的.故真命題有3個(gè).故選：C6．【正確答案】C在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個(gè)三棱柱和一個(gè)四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計(jì)算．【詳解】如圖，在，上分別取點(diǎn)，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C．思路點(diǎn)睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為錐體、柱體體積的計(jì)算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．7．【正確答案】B【分析】設(shè)雙曲線方程為，設(shè)，代入雙曲線方程相減，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，直線斜率得出關(guān)系，然后由焦點(diǎn)坐標(biāo)求得得雙曲線方程．【詳解】設(shè)雙曲線方程為，，則，兩式相減得，所以，為線段中點(diǎn)，則，，又，所以，即，而是焦點(diǎn)，所以，，則，經(jīng)驗(yàn)證雙曲線符合題意，所以雙曲線方程為，故選：B．8．【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出，即可得到函數(shù)、的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，，又，當(dāng)時(shí)，所以；所以函數(shù)，①令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，故①正確.②若對(duì)，都有，即，，則的最小值為，故②錯(cuò)誤.③將的圖象向左平移個(gè)單位，得到，故③錯(cuò)誤.④由于，當(dāng)滿足時(shí)，，故④正確；故真命題為①④.故選：C.9．【正確答案】A【分析】利用同構(gòu)可得，故可得，參變分離后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】可變形為，，注意，令，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，不等式可化為，所以，所以，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在0,+∞上單調(diào)遞增，則，所以，.故選：A.10．【正確答案】/【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】,故11．【正確答案】?8【分析】先化簡(jiǎn)二項(xiàng)式再應(yīng)用二項(xiàng)式展開(kāi)式分別得出系數(shù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?又因?yàn)榈耐?xiàng)公式為所以項(xiàng)的系數(shù)為.故?8.12．【正確答案】【分析】根據(jù)圓心與焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求得圓心坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上由直線與圓相交的弦長(zhǎng)求得圓的半徑.【詳解】由的焦點(diǎn)坐標(biāo)2,0關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為0,2，所以圓的圓心為0,2，設(shè)半徑為，點(diǎn)C到直線的距離為d，則，所以，所以圓的方程為：，故答案是.13．【正確答案】【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球,黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型概率公式可求出第二個(gè)空．【詳解】設(shè)甲,乙,丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；乙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；丙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為.記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，所以.記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，所以．故；．14．【正確答案】【分析】根據(jù)圖象得到，將原式轉(zhuǎn)換為，然后利用向量數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算．【詳解】根據(jù)題意，如圖，可得因?yàn)?，又因?yàn)樗膫€(gè)直角三角形全等，所以，又因?yàn)?，即得，所以，所以，又，，所以．故?5．【正確答案】【分析】先作出函數(shù)的大致圖象，由題得，三點(diǎn)的高度應(yīng)滿足或，所以或，解不等式即得解.【詳解】對(duì)于，，對(duì)其求導(dǎo)，，易得故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且.由題得，，.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象和直線有六個(gè)交點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)的高度應(yīng)滿足或，即或.顯然，由三點(diǎn)高度知道，，所以解不等式可得或，綜合得.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由得到單調(diào)性，畫(huà)出圖形，根據(jù)零的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到得大致圖像，從而確定，，三點(diǎn)的高度關(guān)系，轉(zhuǎn)為坐標(biāo)大小是關(guān)鍵，屬于難題.16．【正確答案】(1)，，(2)．【分析】（1）由三角形的面積求得，再結(jié)合已知可求得，然后由余弦定理求得，由正弦定理求得；（2）由同角關(guān)系求得，由二倍角公式求得，再由兩角和的余弦公式計(jì)算．【詳解】（1）∵，∴，，∴，由，解得（負(fù)值舍去），，由正弦定理，得；（2），是鈍角，則是銳角，∴，，，∴．17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，即可根據(jù)線線垂直證明平面．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．（3）設(shè),,，根據(jù)向量法求解直線與平面所成角即可得解．【詳解】（1）底面，平面，，，，又，平面平面．（2）取的中點(diǎn)，則，，又底面，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,0,，,,，,,,0,，,,，,,．設(shè)平面的一個(gè)法向量,,，則，取，得,0,，點(diǎn)到平面的距離為．（3）設(shè),,，，則,,,，解得點(diǎn),,，即,，由，解得（不合題意舍去）或，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為．

18．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由橢圓離心率的值和它的一個(gè)頂點(diǎn)，可得的值，即求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程，可證得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）易知拋物線的焦點(diǎn)F0,1，由可得，由離心率，且，解得；所以橢圓的方程為；（2）證明：由（1）可知，顯然直線的斜率存在，且不為零，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，如下圖所示：聯(lián)立，整理可得，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A?2,0，所以，可得；代入可得，即；由可得直線的斜率為，所以直線的方程為；聯(lián)立，消去整理可得.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，可得；代入可得，即；若，即，可得，直線的斜率為；直線的方程為，令，解得所以直線過(guò)定點(diǎn)1,0，若，則，此時(shí)，直線也過(guò)定點(diǎn)1,0.綜上可得，直線過(guò)定點(diǎn)1,019．【正確答案】(1)(2)(3)（i）（ii）和．【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解根據(jù)的關(guān)系即可得；（2）利用分組求和和裂項(xiàng)相消求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可求解；（3）（i）根據(jù)，可得，即可根據(jù)分組求和以及等差求和公式得，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減求和可得，由，對(duì)求值驗(yàn)證，再證明當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)利用單調(diào)性可得，由此能求出所有的正整數(shù)對(duì)．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，則由，得，，，，將代入上式，得，，，，．由，①當(dāng)時(shí)，，②①②，得，，，又，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，．（2），；（3）（i）在和之間插入個(gè)數(shù)，，，，，，，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，，則，，故①則，②①②，得，．（ii）假設(shè)存在正整數(shù)，，使成立，．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，下證，當(dāng)時(shí)，有，即證，設(shè)，，則，在,上單調(diào)遞增，故時(shí)，，，時(shí)，不是整數(shù)，所有的正整數(shù)對(duì)為和．方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.20．【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;(2)（?。áⅲ┳C明見(jiàn)解析.【分析】（1）先由對(duì)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得單調(diào)區(qū)間；（2）（?。⒑瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，分類討論，得使條件成立的a的取值范圍；（ⅱ）由，得，證明，得，可證明原命題成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，則f′x>0在0,+∞恒成立，所以故的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．（2）（?。?，由，得，所以，又由于f1=0，再由函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，可知除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，，令，當(dāng)時(shí)，?x<0在0,+∞恒成立，則所以在0,+∞單調(diào)遞減，不滿足題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，故不單調(diào)，所以?x存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，設(shè)?x的兩個(gè)零點(diǎn)為，則，，所以．當(dāng)時(shí)，?x>0，f′x當(dāng)時(shí)，?x<0，f′x當(dāng)時(shí)，?x>0，f′