2024-2025學(xué)年重慶市高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則等于（

）A．3 B．303 C． D．3．已知向量，滿(mǎn)足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開(kāi)式可知，與的值最接近的是（

）A． B． C． D．5．已知直線(xiàn)，圓，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離都等于，則（

）A．2 B．4 C． D．86．已知三棱錐中，平面，，，則此三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．對(duì)于函數(shù)與，若存在，使，則稱(chēng)，是與圖象的一對(duì)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”．已知函數(shù)，，函數(shù)與的圖象恰好存在兩對(duì)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．某城市隨機(jī)選取個(gè)人參加活動(dòng)，假設(shè)該城市人口年齡分布均勻，要使得參加該活動(dòng)有人生肖相同的概率大于，則至少需要選取（

）個(gè)人.A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．甲罐中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，乙罐中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（

）A．，為對(duì)立事件 B．C． D．10．下圖是函數(shù)的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若，則11．雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，若P是右支上一點(diǎn)（與B不重合）如圖，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的左支交于點(diǎn)Q，與其兩條漸近線(xiàn)分別交于S，T兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．P到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為B．當(dāng)直線(xiàn)l運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有C．在中，D．內(nèi)切圓半徑取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．中內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，，則．13．已知直線(xiàn)和互相垂直，且，則的最小值為．14．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動(dòng)點(diǎn)，Q為棱的中點(diǎn)．(1)設(shè)平面平面，若P為的中點(diǎn)，求證：；(2)設(shè)，問(wèn)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．人工智能（AI）是一門(mén)極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來(lái)，理論和技術(shù)日益成熟.某公司研究了一款答題機(jī)器人，參與一場(chǎng)答題挑戰(zhàn).若開(kāi)始基礎(chǔ)分值為（）分，每輪答2題，都答對(duì)得1分，僅答對(duì)1題得0分，都答錯(cuò)得分.若該答題機(jī)器人答對(duì)每道題的概率均為，每輪答題相互獨(dú)立，每輪結(jié)束后機(jī)器人累計(jì)得分為，當(dāng)時(shí)，答題結(jié)束，機(jī)器人挑戰(zhàn)成功，當(dāng)時(shí)，答題也結(jié)束，機(jī)器人挑戰(zhàn)失敗.(1)當(dāng)時(shí)，求機(jī)器人第一輪答題后累計(jì)得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)時(shí)，求機(jī)器人在第6輪答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功的概率.18．已知函數(shù)．(1)若，求極值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的范圍；(3)在（2）的條件下，求證：．19．在平面內(nèi)，若直線(xiàn)將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線(xiàn)的距離之和相等，則稱(chēng)為多邊形的一條“等線(xiàn)”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，且與的漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，直線(xiàn)為的等線(xiàn).(1)求的方程;(2)若是四邊形的等線(xiàn)，求四邊形的面積;(3)設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，證明:在點(diǎn)處的切線(xiàn)為的等線(xiàn)

答案1．【正確答案】D【詳解】，則．其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選：D.2．【正確答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，故．故選：A.3．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，從而在上的投影向量為．故選：B.4．【正確答案】D【詳解】原式.故選：D.5．【正確答案】C【詳解】圓心，則點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離，又因?yàn)閳AC上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以圓心到直線(xiàn)的距離，即.故選：C．6．【正確答案】B【詳解】在中，，，則的外接圓的半徑，因?yàn)槠矫妫?，設(shè)此三棱錐外接球的半徑為，則，則三棱錐的外接球的表面積為．故選：B．7．【正確答案】D【詳解】由題意函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，∴當(dāng)時(shí)，?′x>0，當(dāng)時(shí)，?′x<0，又恒過(guò)點(diǎn)1,0，當(dāng)時(shí)，?x>0，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)、的圖象，如圖，由圖象可知，若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)直線(xiàn)為函數(shù)圖象的切線(xiàn)時(shí)，由，可得，∴且，即.故選：D．8．【正確答案】C【詳解】已知個(gè)生肖，按先后順序選擇個(gè)人，每次選中的人有種等概率可能，由分步乘法原理共有種情況，若選取個(gè)人中生肖均不相同，有種可能，故選取個(gè)人中生肖均不相同概率，要使得參加該活動(dòng)有人生肖相同的概率大于，即，由于，即隨n隨n的增大而減小，，，故至少要選個(gè)人，故選：C.9．【正確答案】AB【分析】只需注意到事件B是在事件或發(fā)生之后可解.【詳解】因?yàn)榧坠拗兄挥屑t球和白球，所以A正確；當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有4個(gè)紅球，7個(gè)白球，此時(shí)B發(fā)生的概率為，故B正確；當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有3個(gè)紅球，8個(gè)白球，此時(shí)B發(fā)生的概率為，所以，故D錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤.故選AB.10．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，由，得，，而，則，，所以，故A正確；對(duì)于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確．對(duì)于D，因?yàn)?，取，滿(mǎn)足條件，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11．【正確答案】ABC【詳解】由題可知雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故兩個(gè)漸近線(xiàn)方程分別為與，設(shè)點(diǎn)，由題可知所以點(diǎn)到兩個(gè)漸近線(xiàn)的距離分別為故由題可知，故，故選項(xiàng)A正確；設(shè)點(diǎn)顯然直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)聯(lián)立方程，，得所以直線(xiàn)分別與漸近線(xiàn)與聯(lián)立得得所以有即由題可知，所以，故選項(xiàng)B正確；不妨設(shè)，由題可知，所以有由題可知，故所以整理得，故選項(xiàng)C正確；由三角形內(nèi)切圓的半徑求法可知其內(nèi)切圓半徑易知得因?yàn)榈?所以，因?yàn)椋?，所以，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC12．【正確答案】【詳解】在中由正弦定理可知，所以，解得，由，又，，所以，所以.故答案為.13．【正確答案】/【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故．14．【正確答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.可知，設(shè)，注意到曲線(xiàn)與曲線(xiàn)恰好交于點(diǎn)，顯然，,作出的大致圖象如圖，

由，得，即g(x)=ax+1.設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn)，，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則，解得，從而.由圖象可知，若關(guān)于x的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則直線(xiàn)與曲線(xiàn)有3個(gè)交點(diǎn)，則，即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，所以，當(dāng)時(shí)，，兩式作差得，所以，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，且，所以；（2），所以，①②①-②得所以16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，.【詳解】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，Q為的中點(diǎn)，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.（2）在直三棱柱中，平面，，故可以為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，，又，則，所以，若平面，則，則，解得，所以線(xiàn)段上存在點(diǎn)P，使得平面，此時(shí).17．【正確答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，第一輪答題后累計(jì)得分所有取值為4，3，2，根據(jù)題意可知：，，，所以第一輪答題后累計(jì)得分的分布列為：432所以.（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)“第六輪答題后，答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功”為事件A，此時(shí)情況有2種，分別為：情況①：前5輪答題中，得1分的有3輪，得0分的有2輪，第6輪得1分；情況②：前4輪答題中，得1分的有3輪，得分的有1輪，第5.6輪都得1分；所以.18．【正確答案】(1)極大值為，極小值為(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)定義域?yàn)?,+∞，，當(dāng)，f′x>0，在上單調(diào)遞增，或，f′x<0，在0,1和上單調(diào)遞減，∴的極大值為，的極小值為．（2）由，得．令，則，，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則，所以在0,+∞上是減函數(shù)．當(dāng)，即或．（i）當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增，恒成立，從而f′x<0，所以在（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：，，列表如下：f-0+0-減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)綜上當(dāng)，有兩個(gè)極值點(diǎn)．（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，，則，是方程gx=0的兩個(gè)根，從而，，由韋達(dá)定理，得，．所以，．令，，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)，從而，故．19．【正確答案】(1)(2)12(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用已知等量關(guān)系建立方程，求解各個(gè)元素，得到雙曲線(xiàn)方程即可.（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.（3）利用給定條件和新定義證明即可.【詳解】（1）由題意知，顯然點(diǎn)在直線(xiàn)的上方，因?yàn)橹本€(xiàn)為的等線(xiàn)，所以，解得，所以的方程為（2）設(shè)Px0,y0故，該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，所以，即方程為當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，也成立漸近線(xiàn)方程為，不妨設(shè)在上方，聯(lián)立得，故，所以是