第8章 波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

第八章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)◆本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解波的基本概念；2．掌握最基本的波動(dòng)——平面間諧波的波動(dòng)方程及運(yùn)動(dòng)規(guī)律；3．掌握波的能量特點(diǎn)；4．掌握波具有的基本現(xiàn)象——反射、折射、干涉和駐波；5．了解多普勒效應(yīng)；6．了解聲波、超聲波和次聲波?！舯菊陆虒W(xué)內(nèi)容1．機(jī)械波的產(chǎn)生及間諧波；2．波速、波長(zhǎng)、周期和頻率；3．波動(dòng)方程；4．波的能量和能流；5．惠更斯原理波的反射和折射；6．波的疊加原理波的干涉；7．駐波；8．多普勒效應(yīng)；9．聲波、超聲波、次聲波◆本章教學(xué)重點(diǎn)1．間諧波方程及運(yùn)動(dòng)規(guī)律；2．波的疊加及駐波?！舯菊陆虒W(xué)難點(diǎn)1．波方程的建立及其意義；2．駐波的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)；3．多普勒效應(yīng)。

§8.1機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播簡(jiǎn)諧波振動(dòng)和波動(dòng)是密切關(guān)聯(lián)又相互區(qū)別的兩種運(yùn)動(dòng)形式。任何波動(dòng)都是有振動(dòng)引起的，激發(fā)波動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)稱為波源。波動(dòng)分為兩大類：一類是機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播，稱機(jī)械波。另一類是變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)在空間的傳播，稱為電磁波。一、機(jī)械波的產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播過(guò)程稱為機(jī)械波。就每一質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，只是做振動(dòng)，就全部媒質(zhì)來(lái)說(shuō)，振動(dòng)傳播形成機(jī)械波。產(chǎn)生機(jī)械波的條件是：具有波源和彈性媒質(zhì)。二、橫波和縱波在波動(dòng)中，如果質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向相互垂直，這種波稱為橫波。如果質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向和波的傳播方向相互平行，這種波稱為縱波。各種復(fù)雜的波都可分解為橫波和縱波。在波動(dòng)中真正傳播的是振動(dòng)、波形和能量；波形傳播是現(xiàn)象，振動(dòng)傳播是實(shí)質(zhì)，能量傳播是波動(dòng)的量度。如果產(chǎn)生波動(dòng)的波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在振動(dòng)傳播過(guò)程中，從波源所在位置開始，媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)相繼開始做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如果媒質(zhì)是各向同性均勻且完全彈性的（即媒質(zhì)不消耗能量），則媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率和波源相同，且各質(zhì)點(diǎn)具有相同的振幅。這種波稱為簡(jiǎn)諧波。三、波振面和波射線把波振面為球面的波動(dòng)稱為球面波，點(diǎn)波源在均勻媒質(zhì)中產(chǎn)生的波就是球面波。把波振面為平面的波稱為平面波。波的傳播方向稱為波射線。顯然，在波振面上每一點(diǎn)，波射線總是和波陣面正交。圖8-1所示，畫出了這兩種典型波的波陣面和波射線。圖8-1波陣面和波射線圖8-1波陣面和波射線

§8.2波速波長(zhǎng)波的周期和頻率一、波的傳播速度波速就是一定振動(dòng)狀態(tài)（或相位）傳播的速度，即單位時(shí)間內(nèi)一定振動(dòng)位相在傳播方向上所傳播的距離，也稱相速。波的傳播速度決定于媒質(zhì)的特性。對(duì)于彈性介質(zhì)波來(lái)說(shuō)，波的傳播速度決定于媒質(zhì)的慣性和彈性，具體的說(shuō)，就是決定于媒質(zhì)的密度和彈性模量。在均勻媒質(zhì)中，波速是一個(gè)恒量。液體和氣體只有容變彈性，在液體和氣體內(nèi)部只能傳播與容變有關(guān)的彈性縱波。在液體和氣體中縱波的傳播速度為（8-1）式中為媒質(zhì)的容變彈性模量，為媒質(zhì)的密度。需要指出的是，在液體表面可以出現(xiàn)一種由重力和表面張力所引起的波面波，這是一種由縱波和橫波疊加的波，傳播速度決定于重力加速度和表面張力系數(shù)。固體能產(chǎn)生切變、容變和長(zhǎng)變等各種彈性形變，所以固體中既能傳播橫波又能傳播縱波。在固體中，恒波和縱波的傳播速度分別為橫波的波速（8-2）縱波的波速（8-3）式中G和Y分別為媒質(zhì)中的切變彈性模量和樣式彈性模量為媒質(zhì)的密度。（8-3）式是近似的，僅當(dāng)縱波在細(xì)長(zhǎng)棒中沿棒的長(zhǎng)度方向傳播才是準(zhǔn)確的。在一根張緊的柔軟繩索或弦線中，橫波的傳播速度為（8-4）式中T為繩索或弦線中的張力，是其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量。二、波長(zhǎng)、波的周期和頻率波長(zhǎng)：波動(dòng)傳播時(shí)，同一波線上兩個(gè)相鄰的位相差為的質(zhì)點(diǎn)之間的距離，即一個(gè)完整波的長(zhǎng)度。用表示。波峰：由于波動(dòng)某一任意確定時(shí)刻在媒質(zhì)中具有最大位移的質(zhì)點(diǎn)位置。波谷：由于波動(dòng)某一任意確定時(shí)刻在媒質(zhì)中具有最小位移的質(zhì)點(diǎn)位置。在橫波中，波長(zhǎng)等于兩相鄰波峰或波谷之間的距離，在縱波中，波長(zhǎng)等于兩相鄰密集部分或稀疏部分的中心之間的距離。波的周期：波傳過(guò)一個(gè)波長(zhǎng)的時(shí)間，或一個(gè)完整波通過(guò)波線上某點(diǎn)所需要的時(shí)間。用T表示。（8-5）波的頻率：在單位時(shí)間內(nèi)波動(dòng)推進(jìn)的距離中所包含的完整波長(zhǎng)的數(shù)目，或單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)波線上某點(diǎn)的完整波的數(shù)目。(8-5a）

§8.3波動(dòng)方程波動(dòng)方程就是描述在波動(dòng)中，波射線上每一質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。在此討論平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。如圖所示，設(shè)有一平面簡(jiǎn)諧波，在完全彈性無(wú)限大均勻各向同性媒質(zhì)中沿射線r以波速c傳播。以r為坐標(biāo)軸，在軸上任取一點(diǎn)O，其上的質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅隨時(shí)間周期性變化，取振幅為某一最大值為計(jì)時(shí)時(shí)刻t=0，則O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為式中A為振幅，為角頻率，x為O點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置在t時(shí)刻的位移。離O點(diǎn)的距離為r的波射線上另一任意點(diǎn)B的振動(dòng)方成為圖8-2波動(dòng)方程推導(dǎo)示意圖(8-6)圖8-2波動(dòng)方程推導(dǎo)示意圖因?yàn)锽為任意一點(diǎn)，上式表示了波射線上任一點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位移，上式就是平面間諧波的波動(dòng)方程。上式也可表示為(8-7)（1）如果給定r，那么位移x將只是t的函數(shù)，這時(shí)波動(dòng)方程表示距原點(diǎn)r處的質(zhì)點(diǎn)作間諧振動(dòng)的情況。如果r取一系列確定值，上式表明不同位置處的質(zhì)點(diǎn)都在做間諧振動(dòng)。（2）如果t給定，上式表明在同一時(shí)刻觀察波射線上所有質(zhì)點(diǎn)離開其平衡位置的位移。如果波沿r軸負(fù)向傳播，上述B點(diǎn)的振動(dòng)要比O點(diǎn)先開始一段時(shí)間，B點(diǎn)的振動(dòng)方程為（8-8）

§8.4波的能量和能流一、能量及能量密度波動(dòng)的本質(zhì)特征是能量以波速傳播。下面以平面余弦彈性縱波在棒中傳播為例說(shuō)明波動(dòng)能量的傳播。在棒中任取一體積元，其質(zhì)量為。當(dāng)波動(dòng)傳播這個(gè)體積有時(shí)，它將具有動(dòng)能和彈性勢(shì)能。如果棒中平面余弦波的波動(dòng)方程為可以證明而體積元總機(jī)械能為可看出，在波動(dòng)傳播過(guò)程中，體積元的動(dòng)能和勢(shì)能是相同的，動(dòng)能和勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大和最小。體積元的總機(jī)械能隨著時(shí)間在零和最大值之間作周期性變化。對(duì)于任一給定時(shí)刻，所有體積元的總能量又隨波射線的位置r周期性分布。這說(shuō)明任一體積元都在不斷地接受和放出能量，這就是波動(dòng)能量傳播的機(jī)制。媒質(zhì)中單位體積的能量，稱為波的能量密度能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為這一公式對(duì)所有機(jī)械波都適用。二、能流及能流密度為了描述波動(dòng)中能量傳遞的快慢，引入能流及能流密度的概念。cScS8-3體積cS內(nèi)的能量在一秒內(nèi)通過(guò)S面如圖，波射線和面S垂直，則平均能流為 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的平均能流，稱為能流密度或波的強(qiáng)度。用I表示三、聲強(qiáng)和聲強(qiáng)級(jí)聲波的能流密度，稱為聲強(qiáng)。最低聲強(qiáng)作為量度聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)，以表示。由于聲強(qiáng)的變化范圍過(guò)大，直接使用它的數(shù)值不方便，引入聲強(qiáng)級(jí)L作為聲強(qiáng)的另一種量度。式中為比例常數(shù)，取，則聲強(qiáng)級(jí)的單位違貝爾或貝；若取，則相應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)的單位稱為分貝（）四、波的吸收平面波在均勻媒質(zhì)中傳播時(shí)，總有一部分能量被吸收，波的強(qiáng)度和振幅都將逐漸減小，這種現(xiàn)象稱波的吸收。設(shè)通過(guò)極薄的厚度為的一層媒質(zhì)后，振幅的減弱正比于此處的，也正比于，即積分便得式中和分別表示處的振幅，為媒質(zhì)的吸收系數(shù)。由于波強(qiáng)與振幅的平方成正比，所以平面波強(qiáng)度衰減規(guī)律是式中的和分別表示處的波的強(qiáng)度。

§8.5惠更斯原理波的反射和折射一、惠更斯原理惠更斯原理：媒質(zhì)中波動(dòng)傳到的各點(diǎn)，都可以看作是發(fā)射子波的波源；在其后的任一時(shí)刻，這些子波的波跡就決定新的波振面。當(dāng)波動(dòng)在均勻的各向同性的媒質(zhì)中傳播時(shí)，用上述作圖法所求的波陣面形狀總是不變的。當(dāng)波在不均勻的或是各相異向的媒質(zhì)中傳播時(shí)，在考慮波速可能發(fā)生變化的前提下，同樣可用上述作圖法求出波陣面，顯然，這時(shí)波陣面的幾何形狀和波的傳播方向都可能發(fā)生變化。二、波的反射和折射圖8-4波的折射當(dāng)波從一種媒質(zhì)進(jìn)入另一種媒質(zhì)時(shí)，部分波將被兩媒質(zhì)交界面反射，這部分波稱為反射波；而另一部分波則透過(guò)交界面進(jìn)入另一媒質(zhì)并改變了傳播方向，這部分波稱為折射波。圖8-4波的折射機(jī)械波和光波都滿足反射和折射定律：反射線和折射線都在由入射線與界面法線所組成的同一平面內(nèi)。反射角等于入射角。入射角的正弦與折射角的正弦之比等于兩種媒質(zhì)中的波速之比?，F(xiàn)在，利用惠更斯原理證明最后一條定律。如右圖所示，波以入射角從媒質(zhì)Ⅰ傳播到界面，OA為此時(shí)的波前。其后，部分波進(jìn)入媒質(zhì)Ⅱ而速度變?yōu)?，另一部分波繼續(xù)在媒質(zhì)Ⅰ中以速度傳播。設(shè)波從A點(diǎn)傳播至界面Q所經(jīng)歷的時(shí)間為，則。同一時(shí)間，O點(diǎn)的波在媒質(zhì)Ⅱ中傳播至B點(diǎn)，。在界面上各點(diǎn)作出相應(yīng)的次級(jí)子波，并畫出其包跡BQ,即折射波前，則垂直它的波射線為折射線，折射角為由得由以上兩式相除，即得折射定律又因于是，光的折射定律可以寫成

§8.6波的疊加原理波的干涉一、波的疊加原理一個(gè)波的振幅、頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向和傳播方向等，不因存在別的波而改變；或者說(shuō)，在媒質(zhì)中的每一個(gè)波都保持其獨(dú)立的傳播特性，不因其它波的存在而改變，這叫做波的獨(dú)立傳播原理。因此，當(dāng)幾個(gè)波在媒質(zhì)中的某點(diǎn)相遇時(shí)，該點(diǎn)的振動(dòng)位移必然是各個(gè)波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)引起的位移的矢量和，這叫做波的疊加原理。二、波的干涉兩個(gè)頻率相通、振動(dòng)方向相同、位相相同或位相差恒定的波源所發(fā)出的波的在空間任何一點(diǎn)相遇時(shí)，在空間某些點(diǎn)處，振動(dòng)始終加強(qiáng)，而在另一些點(diǎn)處，振動(dòng)始終減弱或完全抵消，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。相應(yīng)的波源稱為相干波源。設(shè)有兩個(gè)相干波源和，振動(dòng)方程分別為設(shè)空間任一點(diǎn)P和兩波源的距離分別為和，并設(shè)兩列波到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的振幅分別為，波長(zhǎng)為，那么再P點(diǎn)的兩個(gè)分振動(dòng)為因而在P點(diǎn)的合振動(dòng)為式中當(dāng)合振幅最大，這時(shí)當(dāng)合振幅最小，如果，即對(duì)于同相位相干波源，上述條件可簡(jiǎn)化為上式說(shuō)明，當(dāng)兩個(gè)相干波源為同相位時(shí)，在兩列波的疊加區(qū)域內(nèi)，波程差等于零或波長(zhǎng)的整數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅最大；波程差等于半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍的各點(diǎn)，振幅最小。

§8.7駐波一、駐波同頻率、同振幅、同振動(dòng)方向的兩列間諧波，在相反方向按同一速度傳播時(shí)，疊加而生成的波，稱為駐波。設(shè)有兩列同頻率、同振幅、同振動(dòng)方向的間諧波和，他們的表達(dá)式為其中，沿y軸向右傳播，沿y軸向左傳播，上兩式表示任一時(shí)刻t兩列波分別引起任一點(diǎn)（坐標(biāo)為y）的位移，按波的疊加原理，合成波為此為駐波的表達(dá)式。因y和t出現(xiàn)在兩個(gè)因子中，所以合成波即不向左傳播也不向右傳播，全部質(zhì)點(diǎn)做同頻率的間諧振動(dòng)。振幅最大的點(diǎn)稱為波腹，不動(dòng)的點(diǎn)，稱為波節(jié)。駐波振動(dòng)的特殊規(guī)律性，表現(xiàn)在振幅和位相的分布上。二、振幅分布波腹和波節(jié)由上式可見，駐波振幅分布由因子決定，因而y軸上任一點(diǎn)有恒定的合振幅，其值隨y的增加在空間作周期性變化，因振幅恒為正，故任一點(diǎn)的合振幅為若，則。表明坐標(biāo)為的點(diǎn)稱為波腹。顯然相鄰波腹相距為半波長(zhǎng)。圖8-5駐波的位相圖8-5駐波的位相表明坐標(biāo)為的點(diǎn)，振幅為零，這些點(diǎn)就是波節(jié)。顯然相鄰波節(jié)相距也為半波長(zhǎng)。三、駐波的位相分布為清楚駐波的位相分布，取k=-1,0,1的三個(gè)波節(jié)討論。如圖，此三點(diǎn)的y值和的值，可由上面對(duì)y點(diǎn)的合振幅討論得1．對(duì)于在之間的點(diǎn)，在第一、第四象限，為正，由式知，y坐標(biāo)在到之間的各點(diǎn)，振幅依次有0增加到2A，再由2A減小到0；在間的點(diǎn)振幅不同，但隨時(shí)間變化的因子是一樣的。所以各點(diǎn)同一時(shí)刻的振動(dòng)位相都相同，即位移同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)過(guò)平衡位置向同側(cè)運(yùn)動(dòng)。2．對(duì)于在之間的各點(diǎn)，在第二、第四象限，為負(fù)則故坐標(biāo)在到之間的點(diǎn)，其初相位都等于，即同時(shí)刻振動(dòng)位相也相同。由此可見在兩側(cè)，初相位各為0和，即位相相反。兩相鄰波節(jié)間各點(diǎn)振動(dòng)位相相同，一波節(jié)兩側(cè)的點(diǎn)的振動(dòng)位相相反，這側(cè)的振幅達(dá)最大，那側(cè)的振幅達(dá)最小；這側(cè)的質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置向上運(yùn)動(dòng)，那側(cè)的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)離開平衡位置向下運(yùn)動(dòng)。

§8.8多普勒效應(yīng)若波源或觀察者或它們兩者均對(duì)媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)，則感覺(jué)到的頻率和真實(shí)頻率一般并不相同，這個(gè)現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。符號(hào)規(guī)定：以u(píng)表示波源對(duì)媒質(zhì)的速度，表示觀察者對(duì)媒質(zhì)的速度，V表示波的傳播速度若波源趨近觀察者，u為正，反之為負(fù)；若觀察者趨近波源，作為整，反之為負(fù)，V恒為正。一、波源和觀察者都對(duì)媒質(zhì)靜止單位時(shí)間內(nèi)波源振動(dòng)次，發(fā)出的波分布在長(zhǎng)度V上，共有個(gè)波長(zhǎng)，觀察者感覺(jué)到的頻率，是單位時(shí)間通過(guò)觀察者所在處的波數(shù)，故表明在此情況下，感覺(jué)到的頻率與波源的頻率相同。二、波源對(duì)媒質(zhì)靜止，觀察者以速度對(duì)媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)若為正，則波對(duì)觀察者的相對(duì)速度為,波長(zhǎng)仍為，所以為正，表示觀察者向波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，感覺(jué)到的頻率增加為波源頻率的倍。若為負(fù)，表示觀察者離開波源運(yùn)動(dòng)，可分兩種情況：若，觀察者隨波一起運(yùn)動(dòng)，應(yīng)無(wú)感覺(jué)；若，為負(fù)，表示若觀察者的前面已有波列存在，則觀察者將追過(guò)前面的波，他將感到波仿佛迎面而來(lái)，即波源好像在相反方向。三、觀察者和波源對(duì)媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)圖8-6多普勒效應(yīng)設(shè)u為正，。如圖所示：設(shè)波源在B點(diǎn)時(shí)，開始發(fā)出一列搏，一周期后，“波頭”到達(dá)C點(diǎn)，若波源不動(dòng)，波源不動(dòng)，波形如虛線所事；事實(shí)上，一周