【24八上】期末復(fù)習(xí)之填空壓軸題十五大題型總結(jié)

明思教育整理提供第頁期末復(fù)習(xí)之填空壓軸題十五大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由三角形的中線求面積】 1【題型2由三角形的內(nèi)(外)角和求角度】 2【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 3【題型4由全等三角形的判定與性質(zhì)求角度】 4【題型5與全等三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】 5【題型6幾何圖形最值問題】 7【題型7構(gòu)造等腰三角形求值】 8【題型8等腰三角形的存在性問題】 9【題型9與整式乘除有關(guān)的化簡(jiǎn)求值】 10【題型10利用整式乘法解決圖形面積問題】 10【題型11利用因式分解解決最值問題】 11【題型12利用因式分解解決整除問題】 11【題型13分式的化簡(jiǎn)求值】 12【題型14由分式方程的解求字母的值】 12【題型15分式方程的實(shí)際應(yīng)用】 13【題型1由三角形的中線求面積】【例1】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，三角形ABC，點(diǎn)D在BC上且CD=2BD，點(diǎn)E在AB上且3AE=2BE，AD與CE交點(diǎn)F，點(diǎn)G為CF的中點(diǎn)，連接BG，BF，若△BFG和△AEF的面積的和為19，則四邊形BEFD的面積=．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期中）如圖1，點(diǎn)D在△ABC邊BC上，我們知道若BDCD=ab，則S△ABDS△ACD=ab；反之亦然．如圖2，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在邊AB【變式1-2】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的邊DA和CB延長(zhǎng)相交于E，H和G分別是BD和AC的中點(diǎn)，已知四邊形ABCD的面積為33，則△EHG的面積為【變式1-3】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，E、F分別是邊AC上的三等分點(diǎn)，連接BE、BF分別交CD于G、H點(diǎn)，若△ABC的面積為90，則四邊形EFHG的面積為

【題型2由三角形的內(nèi)(外)角和求角度】【例2】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，AB∥CD，∠BEH=1n∠GEH，∠DFK=1n∠GFK，【變式2-1】（23-24八年級(jí)·福建廈門·期末）已知（如圖）在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．點(diǎn)E是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接CE，∠ABC的平分線與∠ECD的平分線相交于點(diǎn)P．CE與AD，BP分別相交于點(diǎn)F，Q．CG平分∠BCP，∠AFE=∠P+30°，∠D=3∠DCP【變式2-2】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，∠B=90°，分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點(diǎn)E，則∠E=度；分別作∠EAB與∠ECB的平分線，且兩條角平分線交于點(diǎn)F，則∠AFC=度．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，已知AB∥CD，∠BAC=120°，點(diǎn)M為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MC，作CP平分∠ACM交直線AB于點(diǎn)P在直線AB上取點(diǎn)N，連接NC，使∠ANC=2∠AMC，當(dāng)∠PCN=14【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例3】（23-24八年級(jí)·山東淄博·期中）在鈍角△ABC中，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，這兩條高所在的直線相交于點(diǎn)O，若BO=AC，BC=a，CD=b，則AD的長(zhǎng)為．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=12∠BAD【變式3-2】（23-24八年級(jí)·浙江金華·階段練習(xí)）如圖所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，AE=AD，且AE⊥AD，BE與AC所在的直線交于點(diǎn)P，若CD=3BD，則PC與AC的比值為【變式3-3】（23-24八年級(jí)·山東日照·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠C=90°，角平分線AD、BE相交于P，AP=3PD，BD=3，則AE=．【題型4由全等三角形的判定與性質(zhì)求角度】【例4】（23-24八年級(jí)·江蘇南通·期末）如圖，已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠BDC的度數(shù)為【變式4-1】（23-24八年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OCB=5°，∠ABO=25°，則∠OAC=.

【變式4-2】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，BD與CE交于點(diǎn)F，連接AF，則∠AFB的度數(shù)為．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·河北邢臺(tái)·期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,AD與BC交于點(diǎn)P（不與點(diǎn)B,C重合），點(diǎn)B,E在AD異側(cè)，∠PAC和∠ACP的平分線相交于點(diǎn)I.

（1）PD的最大值為；（2）當(dāng)∠APC=75°時(shí)，∠CAE的度數(shù)為（3）當(dāng)AB⊥AC時(shí)，∠AIC的取值范圍為.【題型5與全等三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】【例5】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相交．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為1cm/s和2cm/s，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束．在某時(shí)刻分別過點(diǎn)P①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，PC=（用含t秒代數(shù)式表示）；②當(dāng)t=秒時(shí)，△PEC與△QFC【變式5-1】（23-24八年級(jí)·江西贛州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8?cm,BC=12?cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別以1?cm/s和3?cm/s的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F【變式5-2】（23-24八年級(jí)·四川德陽·期末）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=28，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度按B?A?C的路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度按C?A?B的路徑運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中過點(diǎn)P作PF⊥l于點(diǎn)F，點(diǎn)Q作QG⊥l于點(diǎn)G，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，只要一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)兩點(diǎn)即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)△PFA≌△AGQ，則t的值是．【變式5-3】（23-24八年級(jí)·河南周口·期末）如圖，直線PQ經(jīng)過Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C，△ABC的邊上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)D、E，點(diǎn)D以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC→CB移動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)E以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC→CA移動(dòng)到點(diǎn)A，兩動(dòng)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)到終點(diǎn)．過點(diǎn)D、E分別作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分別為點(diǎn)M、N，若AC=6cm，BC=8cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則當(dāng)t=s時(shí)，以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．【題型6幾何圖形最值問題】【例6】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為BC中點(diǎn)，AD=6，P為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC+PD的最小值為．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·河南信陽·期末）如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°,AB=8，O是AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值為．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·四川綿陽·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D為AB的中點(diǎn)，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，DP，則AP+DP的最小值是【變式6-3】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·期中）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，∠BCD=15°，點(diǎn)P為射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA?PB為最大值時(shí)，∠PAC的度數(shù)為°．【題型7構(gòu)造等腰三角形求值】【例7】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，使得∠PBC=30°，∠PBA=8°，∠APB=150°，∠CAP=22°，則∠APC的度數(shù)為°．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAC=12°，∠CAB=36°，∠ABD=48°，∠DBC=24°，則∠ACD=°．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，AD平分∠BAC，3∠ACB?∠ABC=360°，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AB=16，BE=4.5，則AC=．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·廣東廣州·期中）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E，AF⊥AB，DE=DF，∠BAG=∠ABC=45°，AE=2EF，AB=20，則AF=．【題型8等腰三角形的存在性問題】【例8】（23-24八年級(jí)·遼寧沈陽·期中）經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，稱這個(gè)三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“鉆石分割線”，在△ABC中，∠BAC=20°，若存在過點(diǎn)C的“鉆石分割線”，使△ABC是“鉆石三角形”，則滿足條件的∠B的度數(shù)為．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，△ABC≌△A'B'C'，∠ABC=90°，∠A'=27°（0°<∠ABA'≤54°），A'C'與AC

【變式8-2】（23-24八年級(jí)·河南鶴壁·期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交射線BC于點(diǎn)F，∠ACB=30°，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，∠EDC的度數(shù)是．【變式8-3】（23-24八年級(jí)·浙江紹興·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，點(diǎn)D在BC邊上，△ABD、△AFD關(guān)于AD所在的直線對(duì)稱，∠FAC的角平分線交BC邊于點(diǎn)G，連接FG．△DFG為等腰三角形時(shí)，∠BAD=．【題型9與整式乘除有關(guān)的化簡(jiǎn)求值】【例9】（23-24八年級(jí)·四川眉山·階段練習(xí)）如果整數(shù)x，y，z滿足158x?169【變式9-1】（23-24八年級(jí)·四川成都·期中）若x2?5x+2=0，則2x【變式9-2】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）若am=20，bn=20，ab=20，則m+nmn=【變式9-3】（23-24八年級(jí)·福建漳州·期中）已知a，b，x，y滿足關(guān)系式ax+by=7，ay?bx=5，則a2+b【題型10利用整式乘法解決圖形面積問題】【例10】（23-24八年級(jí)·江蘇連云港·期中）矩形ABCD內(nèi)放入兩張邊長(zhǎng)分別為a和b(a>b)的正方形紙片，按照?qǐng)D①放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為S1；按照?qǐng)D②放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形覆蓋的部分面積為S2；按圖③放置，矩形紙片沒有被兩個(gè)正方形覆蓋的部分的面積為S3，已知S1?S3=2

【變式10-1】（23-24八年級(jí)·浙江溫州·期中）如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD中放置兩個(gè)邊長(zhǎng)都為4cm的正方形AEFG與正方形CHIJ，若如圖陰影部分的面積之和記為S1，長(zhǎng)方形ABCD的面積記為S2，已知：3S2－S1=96，則長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為．【變式10-2】（23-24八年級(jí)·貴州六盤水·期中）有6張如圖①的長(zhǎng)為a，寬為b(a>b)的小長(zhǎng)方形紙片，按圖②方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示．設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a,b滿足的數(shù)量關(guān)系是．【變式10-3】（23-24八年級(jí)·浙江湖州·期末）建黨100周年主題活動(dòng)中，702班潯潯設(shè)計(jì)了如圖1的“紅色徽章”其設(shè)計(jì)原理是：如圖2，在邊長(zhǎng)為a的正方形EFGH四周分別放置四個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，構(gòu)造了一個(gè)大正方形ABCD，并畫出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo)．現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作S1，每一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形面積記作S2，若S1=6S【題型11利用因式分解解決最值問題】【例11】（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）已知a，b，c為整數(shù)，滿足a+b+c=10，S=(10a+bc)(10b+ac)(10c+ab)≥2019，則S的最小值是．【變式11-1】（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·期末）已知等式x+ax+b+cx?7=x?3x+1對(duì)一切x都成立，a、b、c為整數(shù)．且【變式11-2】（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若2x2+7xy?15y2+ax+by+3可以分解成兩個(gè)一次整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，其中a、【變式11-3】（23-24八年級(jí)·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整數(shù)，且a+b+c=342，a?bc=331．a(chǎn)bc的最大值為M，最小值為N，則M+N=．【題型12利用因式分解解決整除問題】【例12】（23-24八年級(jí)·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）對(duì)于一個(gè)三位正整數(shù)n，如果n滿足：百位數(shù)字、十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和等于15，那稱這個(gè)數(shù)為“月圓數(shù)”，例如：n1=843，8+4+3=15，∴843是“月圓數(shù)”；n2=133，…1+3+3=7≠15，∴133不是“月圓數(shù)”．若m，p都是“月圓數(shù)”，m=300+10a+b，p=100a+60+c(a，b，c均為1?9的整數(shù)），規(guī)定F(m,p)=m+p3，若s是m去掉百位數(shù)字后剩余部分組成的一個(gè)兩位數(shù)，t是p去掉其百位數(shù)字后剩余部分組成的一個(gè)兩位數(shù)，若s與【變式12-1】（23-24八年級(jí)·四川成都·期末）已知312?1可以被21和30之間的某兩個(gè)數(shù)整除，則這兩個(gè)數(shù)為【變式12-2】（23-24八年級(jí)·福建泉州·期中）若一個(gè)四位正整數(shù)abcd滿足：a+c=b+d，我們就稱該數(shù)是“交替數(shù)”，若一個(gè)“交替數(shù)”m滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是15，且十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)的和能被5整除，則滿足條件的“交替數(shù)”m的最大值為．【變式12-3】（23-24八年級(jí)·浙江寧波·期末）如果一個(gè)自然數(shù)A的個(gè)位數(shù)字不為0，且能分解成M×NM≥N，其中M與N都是兩位數(shù)，M與N的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為6，則稱此數(shù)為“如意數(shù)”，并把數(shù)A分解成A=M×N的過程，稱為“完美分解”．例如，因?yàn)?25=21×25（1）最小的“如意數(shù)”是；（2）把一個(gè)“如意數(shù)”A進(jìn)行“完美分解”，即A=M×N，M與N的和記為P，M與N的差記為Q，若PQ能被11整除，則A的值為【題型13分式的化簡(jiǎn)求值】【例13】（23-24八年級(jí)·江蘇淮安·期中）當(dāng)正整數(shù)x=時(shí)，分式x2【變式13-1】（23-24八年級(jí)·浙江臺(tái)州·開學(xué)考試）已知a+b=m，a?b=n，則na+m2b?nb+m2【變式13-2】（23-24八年級(jí)·浙江寧波·自主招生）記Axy=1?x21?【變式13-3】（23-24八年級(jí)·浙江寧波·自主招生）已知x，y，z是大于1的正整數(shù)，且x+1yy+1【題型14由分式方程的解求字母的值】【例14】（23-24·重慶·一模）若關(guān)于x的一元一次不等式組3x?2?2≤x,7x?a>3有且僅有4個(gè)整數(shù)解，關(guān)于y的分式方程y?ay?2?【變式14-1】（23-24八年級(jí)·福建福州·期末）若關(guān)于x的分式方程x?a2x?4=13【變式14-2】（23-24八年級(jí)·四川綿陽·自主招生）已知方程x+1x=c+1c（c是常數(shù)，c≠0）的解是c或1c，那么方程x+1【變式14-3】（23-24八年級(jí)·上海浦東新·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程x?ba=2?x?ab有唯一解，則【題型15分式方程的實(shí)際應(yīng)用】【例15】（23-24八年級(jí)·重慶江北·期末）“鞏固脫貧成果，長(zhǎng)興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)”，大力發(fā)展高山生態(tài)經(jīng)濟(jì)林是一重大舉措．某村委會(huì)決定在紅光、紅旗、紅錦三個(gè)村民小組種植高山脆李和晚熟香桃兩種果樹，初步預(yù)算這三個(gè)村民小組各需兩種果樹之和的比為4∶5∶6，其中需要高山脆李樹的棵數(shù)分別為4千棵，3千棵和7千棵，并且紅光、紅旗兩個(gè)村民小組所需晚熟香桃樹之比為2∶3．在購買這兩種果樹時(shí)，高山脆李樹的價(jià)格比預(yù)算低了10%，晚熟香桃樹的價(jià)格高了20%，晚熟香桃樹購買數(shù)量減少了12.5%【變式15-1】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）甲、乙兩列客車的長(zhǎng)分別為150米和200米，它們相向勻速行駛在平行的軌道上，已知甲車上某乘客測(cè)得乙車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是10秒，那么乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是秒．【變式15-2】（23-24八年級(jí)·山東濟(jì)寧·期末）某中學(xué)假期后勤中的一項(xiàng)工作是請(qǐng)30名木工制作200把椅子和100張課桌，已知一名工人在單位時(shí)間內(nèi)可以制作10把椅子或7張課桌，將這30名工人分成兩組，一組制作課桌，一組制作椅子，兩組同時(shí)開工．應(yīng)分配人制作課桌，才能使完成此項(xiàng)工作的時(shí)間最短．【變式15-3】（23-24八年級(jí)·重慶大足·期末）隨著期末考試來臨，李勇同學(xué)原計(jì)劃延時(shí)服務(wù)期間復(fù)習(xí)語文、數(shù)學(xué)、英語的時(shí)間為2:4:4，班主任李老師提醒要學(xué)科均衡，補(bǔ)短板．他便將數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間的20%分給了語文和英語，調(diào)整后語文和英語的復(fù)習(xí)時(shí)間之比為3:5．李勇同學(xué)非常刻苦，實(shí)際復(fù)習(xí)時(shí)還擠出部分休息時(shí)間分給了三個(gè)學(xué)科，其中20%分給了語文，余下的80%分別分給數(shù)學(xué)和英語，這樣語文的總復(fù)習(xí)時(shí)間與三科總復(fù)習(xí)時(shí)間比為1:4．若李勇同學(xué)最終希望使數(shù)學(xué)與英語總復(fù)習(xí)時(shí)間比為5:6

期末復(fù)習(xí)之填空壓軸題十五大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由三角形的中線求面積】 1【題型2由三角形的內(nèi)(外)角和求角度】 6【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 13【題型4由全等三角形的判定與性質(zhì)求角度】 20【題型5與全等三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】 26【題型6幾何圖形最值問題】 33【題型7構(gòu)造等腰三角形求值】 38【題型8等腰三角形的存在性問題】 44【題型9與整式乘除有關(guān)的化簡(jiǎn)求值】 52【題型10利用整式乘法解決圖形面積問題】 54【題型11利用因式分解解決最值問題】 58【題型12利用因式分解解決整除問題】 61【題型13分式的化簡(jiǎn)求值】 64【題型14由分式方程的解求字母的值】 68【題型15分式方程的實(shí)際應(yīng)用】 71【題型1由三角形的中線求面積】【例1】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，三角形ABC，點(diǎn)D在BC上且CD=2BD，點(diǎn)E在AB上且3AE=2BE，AD與CE交點(diǎn)F，點(diǎn)G為CF的中點(diǎn)，連接BG，BF，若△BFG和△AEF的面積的和為19，則四邊形BEFD的面積=．【答案】16【分析】本題主要考查三角形的面積公式求解，設(shè)S△AEF=x，S△BFG=y．可可得出x+y=19，由已知條件得出結(jié)合等高的三角形面積比為底邊邊長(zhǎng)之比得出S△AFBS△AFC=1【詳解】解：設(shè)S△AEF=x∴x+y=19，∵3AE=2BE，即AE∴S△AEF∴S△AFB∵點(diǎn)G為CF的中點(diǎn)，∴S△BFG∴S△BCF∵CD=2BD，∴S△BDF∴S四邊形設(shè)點(diǎn)A，B到FC的高為：?A，?S△AFC∴S△AFC∵BDCD同理可得：S△AFB∴S△AFC∴4y=15x∴x+y=19解得：y=15x=4S四邊形BEFD故答案為：16．【變式1-1】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期中）如圖1，點(diǎn)D在△ABC邊BC上，我們知道若BDCD=ab，則S△ABDS△ACD=ab；反之亦然．如圖2，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在邊AB【答案】m2/【分析】本題主要考查三角形中線、三角形的面積，當(dāng)兩個(gè)三角形同底時(shí)，面積比等于高之比；當(dāng)兩個(gè)三角形同高時(shí)，面積比等于底之比．設(shè)SΔAOE=SΔCOE=x，則SΔAOC=2x，由AFBF=m可得SΔAOFSΔBOF【詳解】解：如圖，連接AO，∵BE是△ABC的中線，∴SΔABE設(shè)SΔ∴S∵AFBF∴SΔAOFS設(shè)SΔBOF=y∴SSΔ∵S∴2x+ny=my+∴S∴OEOB【變式1-2】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的邊DA和CB延長(zhǎng)相交于E，H和G分別是BD和AC的中點(diǎn)，已知四邊形ABCD的面積為33，則△EHG的面積為【答案】334/8.25/【分析】本題考查掌握三角形面積的求法、三角形中位線的性質(zhì)．連接AH,CH,BG，設(shè)S△AHG=S△HGC=m,S△ABG=S【詳解】解：連接AH,CH,BG，如圖：設(shè)S∵∴∴∴m+n=33設(shè)S△ABE=x，則∴S故答案為：334【變式1-3】（23-24八年級(jí)·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，E、F分別是邊AC上的三等分點(diǎn)，連接BE、BF分別交CD于G、H點(diǎn)，若△ABC的面積為90，則四邊形EFHG的面積為

【答案】33【分析】如圖:連接AH，設(shè)S△CFH=a，S△ADH=b，根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”可得S△ABF=23S△ABC=60、S△ACH=3a、S△AFH=S△ACH?S【詳解】解：如圖:連接AH，設(shè)S△CFH=a，

E、F分別是邊AC上的三等分點(diǎn)，△ABC的面積為90，∴AE=EF=CF=13AC，S△ABF∵D是邊AB的中點(diǎn)，∴S△ADC=∵S△ADC=S△ACH+S∴3a+b=452b+2a=60，解得：a=152如圖:連接AG，設(shè)S△ADG=c，

∴S△ABG=2c∵S△ADC=S△ADG+S∴c+3d=452c+d=30，解得：c=9∴S△ADGE.SEFHG故答案為332【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中線、三角形的等分點(diǎn)、解二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn)，通過做輔助線、明確各三角形之間的面積關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【題型2由三角形的內(nèi)(外)角和求角度】【例2】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，AB∥CD，∠BEH=1n∠GEH，∠DFK=1n∠GFK，【答案】2.6【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角的計(jì)算，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)EG和PQ交于點(diǎn)O，連接OF，延長(zhǎng)EG交CD于T，設(shè)∠BEH=α，∠DFK=β，則∠GEH=nα，∠GFK=nβ，∠BEG=(n+1)α，∠DFG=(n+1)β，∠GFT=180°?(n+1)β，根據(jù)AB∥CD得∠GTF=∠BEG=(n+1)α，由三角形內(nèi)角和定理得(n+1)(β?α)=90°①，n(β?α)=65°②，由①②即可求出n的值．【詳解】解：設(shè)EG和PQ交于點(diǎn)O，連接OF，延長(zhǎng)EG交CD于T，如圖所示：設(shè)∠BEH=α，∠DFK=β，∵∠BEH=1n∠GEH∴∠GEH=nα，∠GFK=nβ，∴∠BEG=∠BEH+∠GEH=(n+1)α，∠DFG=∠DFK+∠GFK=(n+1)β，∴∠GFT=180°?∠DFG=180°?(n+1)β，∵AB∥CD，∴∠GTF=∠BEG=(n+1)α，∵∠EGF=90°，∴∠FGT=180°?∠EGF=90°，在△GFT中，∠GTF+∠GFT+∠FGT=180°，∴(n+1)α+180°?(n+1)β+90°=180°，∴(n+1)(β?α)=90°①，∵∠FPQ?∠EQP=25°，∴∠FPQ=25°+∠EQP，在△OEQ中，∠GEH+∠EQP+∠EOQ=180°，∴∠EOQ=180°?∠GEH?∠EQP=180°?nα?∠EQP，在△OPF中，∠POF+∠PFO+∠FPQ=180°，在△OGF中，∠GOF+∠GFO+∠EGF=180°，∴∠POF+∠PFO+∠FPQ+∠GOF+∠GFO+∠EGF=360°，即∠POG+∠GFK+∠EGF+∠FPQ=360°，∴∠POG+nβ+90°+25°+∠EQP=360°，即∠POG=245°?nβ?∠EQP，∵∠EOQ=∠POG，∴180°?nα?∠EQP=245°?nβ?∠EQP，∴n(β?α)=65°②，①÷②得：(n+1):n=90:65，∴18n=13(n+1)．解得：n=2.6．故答案為：2.6．【變式2-1】（23-24八年級(jí)·福建廈門·期末）已知（如圖）在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．點(diǎn)E是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接CE，∠ABC的平分線與∠ECD的平分線相交于點(diǎn)P．CE與AD，BP分別相交于點(diǎn)F，Q．CG平分∠BCP，∠AFE=∠P+30°，∠D=3∠DCP【答案】70°【分析】利用平行線的性質(zhì)證明∠D=∠ABC，即有∠D=∠ABC=3∠DCP，設(shè)∠DCP=x，即∠D=∠ABC=3x，根據(jù)角平分線的定義可得∠ECP=∠DCP=x，∠PBC=12∠ABC=32x，根據(jù)∠ABC+∠BCD=180°，∠ABC+∠BCE+∠ECP+∠DCP=180°，可得∠BCE=180°?5x，進(jìn)而有∠BCP=∠BCE+∠ECP=180°?4x，即可得【詳解】∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，∵AD∥∴∠D+∠BCD=180°，∴∠D=∠ABC，∵∠D=3∠DCP，∴∠D=∠ABC=3∠DCP，設(shè)∠DCP=x，即∠D=∠ABC=3x，∵CP平分∠ECD，BP平分∠ABC，∴∠ECP=∠DCP=x，∠PBC=1∵∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠BCE+∠ECP+∠DCP=180°，∴3x+∠BCE+x+x=180°，∴∠BCE=180°?5x，∴∠BCP=∠BCE+∠ECP=180°?4x，∴∠P=180∵AD∥∴∠AFE=∠BCE=180°?5x，∵∠AFE=∠P+30°，∴180°?5x=∠P+30°，即∠P=150°?5x，∴∠P=150°?5x=∵∠BQC=∠P+∠ECP=∠P+x，∴∠BQC=∠P+∠ECP=5故答案為：70°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的定義與性質(zhì)，角平分線的定義以及一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，耐心仔細(xì)地理清圖中各角度之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，∠B=90°，分別作其內(nèi)角∠ACB與外角∠DAC的平分線，且兩條角平分線所在的直線交于點(diǎn)E，則∠E=度；分別作∠EAB與∠ECB的平分線，且兩條角平分線交于點(diǎn)F，則∠AFC=度．【答案】4567.5【分析】①由角平分線的性質(zhì)可得∠DAP=∠PAC=12∠DAC，∠ACH=∠HCB=12∠ACB，由外角的性質(zhì)可得出∠DAP與②由角平分線的性質(zhì)可得：∠EAF=∠FAB=12∠EAB，∠ECF=∠FCB=12【詳解】①由角平分線的性質(zhì)可得：∠DAP=∠PAC=12∠DAC，由外角的性質(zhì)可得：∠DAC=∠B+∠ACB，∴2∠DAP=90°+2∠ACH，∴∠DAP=45°+∠ACH，∴∠E=180°?(∠EAH+∠EHA)=180°?(∠DAP+∠HAC+∠ACH)=180°?(45°+∠ACH+∠HAC+∠ACH)=180°?(45°+90°)=45°；②由角平分線的性質(zhì)可得：∠EAF=∠FAB=12∠EAB由三角形的外角的性質(zhì)可得：∠E+∠EAF=∠F+∠ECF∴45°+∠EAF=∠F+∠ECF，∴∠F=45°+∠EAF?∠ECF，同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+2∠ECF，∴∠EAF?∠ECF=22.5°，∴∠F=45°+22.5°=67.5°．故答案為：①45；②67.5【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)定理列式并將式子變形求解是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，已知AB∥CD，∠BAC=120°，點(diǎn)M為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MC，作CP平分∠ACM交直線AB于點(diǎn)P在直線AB上取點(diǎn)N，連接NC，使∠ANC=2∠AMC，當(dāng)∠PCN=14【答案】22.5°或5°【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角定理，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)．根據(jù)點(diǎn)N與點(diǎn)A，點(diǎn)P的位置分三種情況討論，分別畫出圖形根據(jù)平行線的性質(zhì)推導(dǎo)即可．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)P的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠PCN=α，∵∠PCN=1∴∠PNC=4α，∴∠ANC=4α=2∠AMC，∴∠AMC=2α，∵AB∥∴∠AMC=∠MCD=2α，∵∠ANC=∠AMC+∠NCM，∴∠AMC=∠NCM=2α，∴∠PCM=∠PCN+∠NCM=3α，∵CP平分∠ACM，∴∠PCM=∠ACP=3α，∴∠ACD=2∠ACP+∠MCD=6α+2α=8α，∵AB∥∴∠ACD=180°?120°=60°，∴8α=60°，∴α=15∴∠PCM=3α=22.5°；②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，設(shè)∠PCN=α,∠ACP=β，∵CP平分∠ACM，∴∠PCM=∠ACP=β，∴∠ACN=∠PCN?∠ACP=α?β，∴∠PNC=4∠PCN=4α,∠NMC=2α，∵AB∥∴∠NMC=∠MCD=2α,∠ACD=180°?∠BAC=60°，∴∠MCD=∠ACD?∠ACP=60°?2β，∴2α=60°?2β，即：α=30°?β，∵∠CAB=∠PNC+∠ACN，∴120°=4α+α?β，∴5α?β=120°，將α=30°?β代入上式解得：β=5°，∴∠PCM=β=5°;③當(dāng)點(diǎn)N在A,P之間時(shí)，設(shè)∠PCN=α,∠ACN=β，則∠ACP=α+β，∵CP平分∠ACM，∴∠ACP=∠PCM=α+β,∠ACM=2(α+β)，∴∠MCD=60°?∠ACM=60°?2(α+β)，由已知得：∠PNC=4∠PCN=4α，∴∠ANC=180°?∠PNC=180°?4α，∵∠ANC=2∠NMC，∴∠NMC=90°?2α，∵∠NMC=∠MCD，∴90°?2α=60°?2(α+β)，∴β=?15°，不合題意，此種情況不存在．綜上所述：∠PCM的度數(shù)為22.5°或5°．故答案為：22.5°或5°．【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】【例3】（23-24八年級(jí)·山東淄博·期中）在鈍角△ABC中，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，這兩條高所在的直線相交于點(diǎn)O，若BO=AC，BC=a，CD=b，則AD的長(zhǎng)為．【答案】a?b或b?a或b+a【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的高，可以證明△BOD≌△ACDAAS，得到AD=BD，然后再分別根據(jù)不同點(diǎn)為鈍角頂點(diǎn)畫出圖形，結(jié)合圖形求出AD=BD【詳解】解：當(dāng)B為鈍角頂點(diǎn)時(shí)，圖形如下：∵AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，∴∠ADC=∠BDO=∠CEB=90°，∴∠O+∠DBO=∠CBE+∠C=90°，∵∠DBO=∠CBE，∴∠O=∠C，∵BO=AC，∴△BOD≌△ACDAAS∴AD=BD，∵BC=a，CD=b，∴AD=BD=CD?CB=b?a；當(dāng)C為鈍角頂點(diǎn)時(shí)，同理可得△BOD≌△ACDAAS∴AD=BD，∵BC=a，CD=b，∴AD=BD=CD+CB=b+a；當(dāng)A為鈍角頂點(diǎn)時(shí)，同理可得△BOD≌△ACDAAS∴AD=BD，∵BC=a，CD=b，∴AD=BD=CB?CD=a?b；故答案為：a?b或b?a或b+a．【變式3-1】（23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=12∠BAD【答案】EF=BE+DF【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)H，使得DH=BE，連接AH，可證△ABE≌△ADHSAS得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，進(jìn)而由∠EAF=12∠BAD可得∠HAF=∠EAF，即可證得△AEF≌△AHF(SAS)，得到【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)H，使得DH=BE，連接AH，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADH=180°，∴∠B=∠ADH，在△ABE和△ADH中，BE=DH∠B=∠ADH∴△ABE≌△ADHSAS∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∵∠EAF=1∴∠BAE+∠FAD=∠BAD?∠EAF=1即∠HAD+∠DAF=∠HAF=1∴∠HAF=∠EAF，在△AEF和△AHF中，AE=AH∠EAF=∠HAF∴△AEF≌△AHF(SAS∴HF=EF=HD+DF，∵HF=HD+DF，∴EF=HD+DF又∵DH=BE，∴EF=BE+DF．【變式3-2】（23-24八年級(jí)·浙江金華·階段練習(xí)）如圖所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，AE=AD，且AE⊥AD，BE與AC所在的直線交于點(diǎn)P，若CD=3BD，則PC與AC的比值為【答案】14或【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，分兩種情況討論，構(gòu)造全等三角形解決問題．作EH⊥AC，交AC(或AC的延長(zhǎng)線)于H，利用AAS證明△ACD≌△EHA，得AC=EH，DC=AH，再證明△CBP≌△HEPAAS，得PC=HP，從而解決問題．注意分兩種情況討論，即點(diǎn)D在線段CB【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，作EH⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵AE⊥AD，∴∠DAE=90∴∠DAC+∠EAH=∠EAH+∠AEH=90°，∴∠DAC=∠AEH，∵∠ACB=∠H=90°，DA=AE∴△ACD≌△EHAAAS∴AC=EH，DC=AH，∵AC=BC，∴BC=EH，∵∠CPB=∠HPE，∠BCP=∠H，∴△CBP≌△HEPAAS∴PC=HP，∵CD=3BD，設(shè)BD=x，則CD=3x，∴AC=BC=2x，CD=AH=3x，∴CH=AH?AC=x，∴CP=∴PCAC當(dāng)點(diǎn)D在CB上時(shí)，作EH⊥AC，交AC于點(diǎn)H，∵AE⊥AD，∴∠DAE=90∴∠DAC+∠EAH=∠EAH+∠AEH=90°，∴∠DAC=∠AEH，∵∠ACB=∠EHP=90°，DA=AE∴△ACD≌△EHAAAS∴AC=EH，DC=AH，∵AC=BC，∴BC=EH，∵∠CPB=∠HPE，∠BCP=∠EHP，∴△CBP≌△HEPAAS∴PC=HP，設(shè)BD=x，則CD=3x，∴AC=BC=4x，CD=AH=3x，∴CH=AH?AC=x，∴CP=∴PCAC故答案為：14或1【變式3-3】（23-24八年級(jí)·山東日照·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠C=90°，角平分線AD、BE相交于P，AP=3PD，BD=3，則AE=．【答案】9【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線，利用三角形面積關(guān)系和底邊的關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵；在線段AB上截取AM=AE，BN=BD=3，連接PM，PN，過M作MH⊥AP于H，MJ⊥PN于J，利用雙角平分線證明△AEP≌△AMP(SAS)，△DBP≌△NBP(SAS)，∠APM=∠MPN=∠DPB=∠BPN=45°，利用角平分線的性質(zhì)證明MH=MJ，進(jìn)而求出S△APMS△PMN【詳解】解：在線段AB上截取AM=AE，BN=BD=3，連接PM，PN，過M作MH⊥AP于H，MJ⊥PN于J，如圖；∵AD平分∠BAC，∴∠PAE=∠PAM=1∵EA=MA，AP=AP，∴△AEP≌△AMP(SAS∴∠APE=∠APM，PE=PM，∵BE平分∠ABC，∴∠DBP=∠NBP=1∵BN=BD，BP=BP，∴△DBP≌△NBP(SAS∴∠DPB=∠BPN，PD=PN，∵∠C=90°，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=1∴∠APM=∠MPN=∠DPB=∠BPN=45°，∵M(jìn)H⊥PA，MJ⊥PN，∴MH=MJ，又∵AP=3PD，∴S△APMS∴AM=3MN，S△APM=3∵△DBP≌△NBP，∴S∴3S∴S∴BN=2MN=3，∴MN=3∴AE=AM=3MN=9故答案為：92【題型4由全等三角形的判定與性質(zhì)求角度】【例4】（23-24八年級(jí)·江蘇南通·期末）如圖，已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠BDC的度數(shù)為【答案】29°【分析】延長(zhǎng)BA和BC，過D點(diǎn)作DE⊥BA于E點(diǎn)，過D點(diǎn)作DF⊥BC于F點(diǎn)，根據(jù)BD是∠ABC的平分線可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，過D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，進(jìn)而得出CD為∠ACF的平分線，得出∠DCA=54°，再根據(jù)∠ADC=180°?∠DAC?∠DCA即可得出結(jié)論．本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的全等和三角形的內(nèi)角和定理，注意知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．【詳解】解：延長(zhǎng)BA和BC，過D點(diǎn)作DE⊥BA于E點(diǎn)，過D點(diǎn)作DF⊥BC于F點(diǎn)，∵BD是∠ABC的平分線在△BDE與△BDF中，∠ABD=∠CBDBD=BD∴△BDE≌△BDF(ASA)∴DE=DF，又∵∠BAD+∠CAD=180°∠BAD+∠EAD=180°∴∠CAD=∠EAD，∴AD為∠EAC的平分線，過D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)，在Rt△ADE與RtAD=ADDE=DG∴△ADE≌△ADG(HL)∴DE=DG，∴DG=DF．在Rt△CDG與RtCD=CDDG=DF∴∴CD為∠ACF的平分線∠ACB=72°∴∠DCA=54°，在△ABC中，∵∠ACB=72°，∠ABC=50°，∴∠BAC=180°?72°?50°=58°，∴∠DAC=180°?58°∴∠ADC=180°?∠DAC?∠DCA=180°?61°?54°=65°，∴∠BDC=180°?25°?54°?72°=29°．故答案為：29°．【變式4-1】（23-24八年級(jí)·浙江寧波·期末）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OCB=5°，∠ABO=25°，則∠OAC=.

【答案】65°/65度【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，延長(zhǎng)BO交∠BAC的角平分線于點(diǎn)P，連結(jié)CP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線定義求出∠ABC=∠ACB=55°，∠BAP=∠CAP=35°，進(jìn)而得出∠OBC=30°，利用SAS證明△APB≌△ACP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠ABP=∠ACP=25°，∠APB=∠APC，根據(jù)角的和差及三角形內(nèi)角和定理求出∠BPC=120°，結(jié)合平角定義求出∠APC=120°=∠BPC，利用ASA證明△APC≌△OPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AP=OP，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】如圖，延長(zhǎng)BO交∠BAC的角平分線于點(diǎn)P，連接CP．

∵AP平分∠BAC，∠BAC=70°，∴∠BAP=∠CAP=35°，∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=55°，∵∠ABO=25°，∴∠OBC=∠ABC?∠ABO=30°，在△APB和△ACP中，AB=AC∠BAP=∠CAP∴△APB≌△ACP(SAS∴∠ABP=∠ACP=25°，∠APB=∠APC，∴∠BCP=∠ACB?∠ACP=30°，∴∠BPC=180°?∠PBC?∠BCP=120°，∴∠APB+∠APC=360°?120°=240°，∴∠APB=∠APC=120°=∠BPC，∵∠OCB=5°，∴∠OCP=∠BCP?∠OCB=25°=∠ACP，在△APC和△OPC中，∠ACP=∠OCPCP=CP∴△APC≌△OPC(ASA∴AP=OP，∴∠OAP=∠AOP=1∴∠OAC=∠OAP+∠CAP=65°，故答案為：65°．【變式4-2】（23-24八年級(jí)·安徽合肥·期末）如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，BD與CE交于點(diǎn)F，連接AF，則∠AFB的度數(shù)為．【答案】70°/70度【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，AN⊥CE于點(diǎn)N，根據(jù)手拉手模型證明△BAD≌△CAE，得到∠ADM=∠AEN，然后證明△AMD≌△ANE，得到∠DAM=∠EAN，AM=AN，進(jìn)一步推得∠MAN=∠DAE=40°，再證明【詳解】過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M，AN⊥CE于點(diǎn)N，∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌∴∠ADM=∠AEN，∵∠AMD=∠ANE=90°，AD=AE，∴△AMD≌∴∠DAM=∠EAN，AM=AN，∴∠DAM+∠DAN=∠EAN+∠DAN，即∠MAN=∠DAE=40°，∵∠AMF=∠ANF=90°，AM=AN，AF=AF，∴△AMF≌∴∠FAM=∠FAN=1∴∠AFB=180°?90°?∠FAM=70°．故答案為：70°．【變式4-3】（23-24八年級(jí)·河北邢臺(tái)·期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,AD與BC交于點(diǎn)P（不與點(diǎn)B,C重合），點(diǎn)B,E在AD異側(cè)，∠PAC和∠ACP的平分線相交于點(diǎn)I.

（1）PD的最大值為；（2）當(dāng)∠APC=75°時(shí)，∠CAE的度數(shù)為（3）當(dāng)AB⊥AC時(shí)，∠AIC的取值范圍為.【答案】345°105°<∠AIC<150°【分析】（1）當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AP取得最小值，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）證明△ABC≌△ADESAS（3）由三角形內(nèi)角和定理求出∠BCA，根據(jù)角平分線的概念得到∠IAC=45°?12α，【詳解】解：（1）∵AD=AP+PD=6，當(dāng)AP取得最小值時(shí)，PD取得最大值，即AD⊥BC時(shí)，AP取得最小值，∵AD⊥BC，∴△ABP為直角三角形，∠APB=90°，∵∠B=30°，∴AP=1∴PD=AD?AP=3；（2）在△ABC和△ADE中，∵AB=AD∴△ABC≌△ADE∴∠BAC=∠DAE，∵∠BAD=∠BAC?∠DAC，∴∠BAD=∠CAE；∵∠APC=∠B+∠BAD，∴∠CAE=∠BAD=∠APC?∠B=75°?30°=45°；（3）∵AB⊥AC∴∠BAC=90°設(shè)∠BAP=α，則∠PAC=90°?α，∵∠B=30°，∴∠BCA=180°?30°?90°=60°，∵AI，CI分別平分∴∠IAC=12∠PAC=∴∠AIC=180°?=180°?=105°+12∵0°<α<90°，∴105°<∠AIC<150°.【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記三角形的角平分線的性質(zhì)．【題型5與全等三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題】【例5】（23-24八年級(jí)·浙江杭州·期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相交．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為1cm/s和2cm/s，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束．在某時(shí)刻分別過點(diǎn)P①當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，PC=（用含t秒代數(shù)式表示）；②當(dāng)t=秒時(shí)，△PEC與△QFC【答案】6?tcm2或143【分析】①根據(jù)題意可得AP=tcm，再由PC=AC?AP②分三種情況：Q在BC上，點(diǎn)P在AC上；點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；點(diǎn)Q與A重合，分別畫出圖形解答即可；本題考查了全等三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①由題意得，AP=tcm當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，PC=AC?AP=6?t故答案為：6?tcm②由題意得，BQ=2tcm如圖1，Q在BC上，點(diǎn)P在AC上時(shí)，作PE⊥l，QF⊥l，則PC=6?tcm，∵∠PEC=∠CFQ=∠ACB=90°，∴∠CPE+∠PCE=∠PCE+∠FCQ=90°，∴∠CPE=∠FCQ，此時(shí)只能是△PEC≌△CFQ，則PC=CQ，∴6?t=8?2t，解得t=2；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，則PC=6?tcm，此時(shí)只能是△PEC≌△QFC，則PC=CQ，∴6?t=2t?8，解得t=14③如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時(shí)，則PC=t?6cm，CQ=6cm∴∠CQF=∠PCE，此時(shí)只能是△PEC≌CFQ，則PC=CQ，∴t?6=6，解得t=12；綜上所述，當(dāng)t=2秒或143秒或12秒時(shí)，△PEC與△QFC故答案為：2或143或12【變式5-1】（23-24八年級(jí)·江西贛州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=8?cm,BC=12?cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別以1?cm/s和3?cm/s的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F【答案】2或5或16【分析】題主要考查了全等三角形的判定、分類討論的思想等知識(shí)點(diǎn)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義及直角三角形的性質(zhì)易證∠PEC=∠CFQ，∠PCE=∠CQF．只需PC=QC，就可得到△PEC與△CFQ全等，然后只需根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)【詳解】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠PEC=∠CFQ=90°，∴∠QCF+∠CQF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠PCE+∠QCF=90°，∴∠PCE=∠CQF，①當(dāng)0≤t<4時(shí)，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，如圖∶此時(shí)有AP=tcm當(dāng)PC=QC即t?8=3t?12，解得t=2；②當(dāng)4≤t<8時(shí)，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在AC上，如圖，當(dāng)PC=QC，即8?t=3t?12，解得t=5；③當(dāng)點(diǎn)Q停在點(diǎn)A處，點(diǎn)P在BC上，如圖，當(dāng)PC=QC=8，即t?8=8，解得t=16；綜上所述：當(dāng)t等于2或5或16時(shí)，△PEC與△QFC故答案為：2或5或16．【變式5-2】（23-24八年級(jí)·四川德陽·期末）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=28，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度按B?A?C的路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度按C?A?B的路徑運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中過點(diǎn)P作PF⊥l于點(diǎn)F，點(diǎn)Q作QG⊥l于點(diǎn)G，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，只要一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)兩點(diǎn)即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)△PFA≌△AGQ，則t的值是．【答案】6或50【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義、一元一次方程的應(yīng)用，分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在BA上，點(diǎn)Q在AC上，②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BA上，③點(diǎn)P與Q重合在BA上，根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得出PA=AQ，再分別用t表示出PA和AQ的長(zhǎng)，列出等式，解出即可，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，并利用分類討論的思想是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）當(dāng)P點(diǎn)在BA上，點(diǎn)Q在AC上，如圖1，則PB=t，CQ=2t，AP=22?t，AQ=28?2t，∵△PFA≌△AGQ，∴PA=AQ

，即22?t=28?2t，解得：t=6，即P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)6秒；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BA上，如圖2，

則AP=t?22，AQ=2t?28，∵△PFA≌△AGQ，∴PA=AQ，即t?22=2t?28，解得t=6，此時(shí)不符合題意；（3）點(diǎn)P與Q重合在BA上，如圖3，

則AP=22?t，AQ=2t?28，∴AP=AQ，即22?t=2t?28，解得：t=50∴綜上可知：t=6或t=50故答案為：6或503【變式5-3】（23-24八年級(jí)·河南周口·期末）如圖，直線PQ經(jīng)過Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C，△ABC的邊上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)D、E，點(diǎn)D以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC→CB移動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)E以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC→CA移動(dòng)到點(diǎn)A，兩動(dòng)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一個(gè)點(diǎn)繼續(xù)移動(dòng)到終點(diǎn)．過點(diǎn)D、E分別作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分別為點(diǎn)M、N，若AC=6cm，BC=8cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則當(dāng)t=s時(shí)，以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．【答案】1或72【分析】由以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置決定，故需要對(duì)E，D的位置分當(dāng)E在BC上，D在AC上時(shí)或當(dāng)E在AC上，D在AC上時(shí)，或當(dāng)E到達(dá)A，D在BC上時(shí)，分別討論．【詳解】解：當(dāng)E在BC上，D在AC上，即0＜t≤83CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm，∵以點(diǎn)D、M、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)E、N、C為頂點(diǎn)的三角形全等．∴CD=CE，∴8-3t=6-t，∴t=1s，當(dāng)E在AC上，D在AC上，即83＜t＜14CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm，∴3t-8=6-t，∴t=72s當(dāng)E到達(dá)A，D在BC上，即143≤tCE=6cm，CD=（t-6）cm，∴6=t-6，∴t=12s，故答案為：1或72【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是對(duì)動(dòng)點(diǎn)所在的位置進(jìn)行分類，分別表示出每種情況下CD和CE的長(zhǎng)．【題型6幾何圖形最值問題】【例6】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為BC中點(diǎn)，AD=6，P為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC+PD的最小值為．【答案】6【分析】作出點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FD，根據(jù)對(duì)稱性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，證明Rt△ACD≌Rt△FBD，得到【詳解】如圖，∵AC=BC，∠ACB=90°，D為BC中點(diǎn)，∴BD=CD,∠CAB=∠CBA=45°；作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FD，交AB于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PC+PD取得最小值，且最小值為DF，根據(jù)對(duì)稱性，得到BC=BF,∠CBA=∠ABF=45°，∴FB=AC,∠FBD=90°；∴AC=FB∠ACD=∠FBD=90°∴Rt∴AD=FD，∵AD=6，∴FD=6，∴PC+PD的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24八年級(jí)·河南信陽·期末）如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°,AB=8，O是AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值為．【答案】2【分析】取AB的中點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接DQ，先證得△AQD≌△AOE，得出QD=OE，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可知當(dāng)QD⊥BC時(shí)，QD最小，然后根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求得QD⊥BC時(shí)的QD的值，即可求得線段OE的最小值．【詳解】解：取AB的中點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接DQ，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵AB=AC=8，O為AC中點(diǎn)，∴AQ=AO=4，在△AQD和△AOE中，AQ=AO∠QAD=∠OAE∴△AQD≌△AOE(SAS)，∴QD=OE，∵點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)QD⊥BC時(shí)，QD最小，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°∴∠B=30°，∵QD⊥BC，∴QD=1∴線段OE的最小值是為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、三角形全等的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)建全等三角形，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問題．【變式6-2】（23-24八年級(jí)·四川綿陽·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D為AB的中點(diǎn)，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，DP，則AP+DP的最小值是【答案】6【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱中的光線反射問題（最短路線問題），直角三角形的兩個(gè)銳角互余，含30度角的直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三線合一，三角形的面積公式，等式的性質(zhì)2，線段垂直平分線的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握用做對(duì)稱的方法解決最短路線問題是解題的關(guān)鍵．作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，A'P，A'D，由∠ACB=90°，∠ABC=30°可得∠CAB=60°，AB=2AC，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得A'C=AC，BC是AA'的垂直平分線，進(jìn)而可得AB=AA'，于是證得△A【詳解】解：如圖，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，A∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠CAB=90°?∠ABC=90°?30°=60°，AB=2AC，∵A'是A關(guān)于∴根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，A'C=AC，BC是∴AA∴AB=AA∴△AA∴AA∵D為AB的中點(diǎn)，∴A∵S△AA∴A∵BC是AA∴AP=A∴AP+DP=A∵垂線段最短，∴A即：AP+DP≥6，∴AP+DP的最小值是6，故答案為：6．【變式6-3】（23-24八年級(jí)·廣西南寧·期中）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，∠BCD=15°，點(diǎn)P為射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA?PB為最大值時(shí)，∠PAC的度數(shù)為°．【答案】60【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱??最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交CD于P，則此時(shí)點(diǎn)P就是使PA?PB的值最大的點(diǎn)，連接A'C【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交CD∴PA=PA∴PA?PB=根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，此時(shí)點(diǎn)P就是使PA?PB的值最大的點(diǎn)，連接A'∵△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，∴∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，∵∠BCD=15°，∴∠ACD=75°，∴∠CAA∵AC=A∴A'C=BC，∴∠ACA∵∠ACB=90°，∴∠A∴△A∴∠PA∴∠PA∵PA=PA∴∠PAA∴∠PAC=∠PAA故答案為：60．【題型7構(gòu)造等腰三角形求值】【例7】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·期中）如圖，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，使得∠PBC=30°，∠PBA=8°，∠APB=150°，∠CAP=22°，則∠APC的度數(shù)為°．【答案】142【分析】延長(zhǎng)AC到Q，使AQ=AB，連接PQ、BQ，PQ交BC于點(diǎn)E，先求出∠CAP=∠BAP=22°，進(jìn)而可依據(jù)“SAS”判定△QAP≌△BAP，得到∠APQ=∠APB=150°，∠PQA=∠PBA=8°，PB=PQ，進(jìn)而得∠BPQ=60°，可得△PBQ是等邊三角形，從而得∠QBC=∠PBC=30°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC是線段PQ的垂直平分線，得到PC=QC，進(jìn)而得∠CPQ=∠PQA=8°，即得∠BPC=68°，據(jù)此可得∠APC的度數(shù)．【詳解】解：延長(zhǎng)AC到Q，使AQ=AB，連接PQ、BQ，PQ交BC于點(diǎn)E，如圖所示，∵∠PBA=8°，∠APB=150°，∴∠BAP=180°?∠PBA+∠APB∵∠CAP=22°，∴∠CAP=∠BAP=22°，在△QAP和△BAP中，AQ=AB∠CAP=∠BAP∴△QAP≌△BAPSAS∴∠APQ=∠APB=150°，∠PQA=∠PBA=8°，PB=PQ，∴∠BPQ=360°?∠APQ+∠APB∴△PBQ是等邊三角形，∴∠PBQ=60°，∵∠PBC=30°，∴∠QBC=∠PBQ?∠PBC=30°，∴∠QBC=∠PBC=30°，∴BC是∠PBQ的平分線，∴BC⊥PQ，PE=QE，∴AC是線段PQ的垂直平分線，∴PC=QC，∴∠CPQ=∠PQA=8°，∴∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=68°，∴∠APC=360°?∠APB+∠BPC故答案為：142．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAC=12°，∠CAB=36°，∠ABD=48°，∠DBC=24°，則∠ACD=°．【答案】30【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)；在四邊形ABCD外取一點(diǎn)P，使∠PAD=12°且AP=AC，連接PB、PD，證明△ADP≌△ADC，△PDA≌△PDB，△PAB是等邊三角形，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：在四邊形ABCD外取一點(diǎn)P，使∠PAD=12°且AP=AC，連接PB、PD，在△ADP和△ADC中，∠PAD=∠CAD=12°，AP=AC，∴△ADP≌△ADC，∴∠APD=∠ACD，在△ABC中，∠CAB=36°，∴∠ACB=72°，∴AC=AB，∴AP=AB，∴∠PAB=∠PAD+∠DAC+CAB=12°+12°+36°=60°，∴△PAB是等邊三角形，∠APB=60°，PA=PB，在△DAB中，∠DAB=∠DAC+∠CAB=12°+36°=48°=∠DBA，∴DA=DB，∵PA=PB，∴△PDA≌△PDB，∴∠APD=∠BPD=12∠APB=30°故答案為：30．【變式7-2】（23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，AD平分∠BAC，3∠ACB?∠ABC=360°，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AB=16，BE=4.5，則AC=．【答案】7【分析】延長(zhǎng)AC，BE相交于點(diǎn)M，由角平分線的定義可得∠MAE=∠BAE，設(shè)∠MAE=∠BAE=x，∠ABC=y，則由三角形的內(nèi)角和定理及已知條件3∠ACB?∠ABC=360°可推出y=45°?1.5x，然后可證得∠MCB=∠MBC，于是可得MC=MB，進(jìn)而可證得△MAE≌△BAEASA，則AM=AB=16，ME=BE=4.5，于是可求得MC【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AC，BE相交于點(diǎn)M，∵BE⊥AD，∴BE⊥AE，∴∠AEM=∠AEB=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠MAE=∠BAE，設(shè)∠MAE=∠BAE=x，∠ABC=y，則∠ACB=180°?∠MAE?∠BAE?∠ABC=180°?2x?y，∵3∠ACB?∠ABC=360°，∴3180°?2x?y整理，得：y=45°?1.5x，∵∠MCB=∠MAB+∠ABC=∠MAE+∠BAE+∠ABC=x+x+y=2x+45°?1.5x=45°+0.5x，∠MBC=∠ABE?∠ABC=90°?∠BAE?∠ABC=90°?x?y，=90°?x?=45°+0.5x，∴∠MCB=∠MBC，∴MC=MB，在△MAE和△BAE中，∠MAE=∠BAEAE=AE∴△MAE≌∴AM=AB=16，ME=BE=4.5，∵M(jìn)C=MB=ME+BE=4.5+4.5=9，∴AC=AM?MC=16?9=7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等腰三角形的判定（等角對(duì)等邊），全等三角形的判定與性質(zhì)（ASA）等知識(shí)點(diǎn)，合理添加輔助線，并證明∠MCB=∠MBC是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24八年級(jí)·廣東廣州·期中）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E，AF⊥AB，DE=DF，∠BAG=∠ABC=45°，AE=2EF，AB=20，則AF=．【答案】12【分析】延長(zhǎng)AF、BC，交于點(diǎn)H，先證明△ABH為等腰直角三角形，再判定△ABG≌△HACASA，然后在等腰直角△ABH中得AB=AH=20，設(shè)EF=x，則AE=2x，判定△AGE≌△HCFAAS，從而FH=AE=2x，解得x的值，最后根據(jù)【詳解】解：延長(zhǎng)AF、BC，交于點(diǎn)H，如圖：∵AF⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BAH=90°，∠AHB=90°?45°=45°，∴△ABH為等腰直角三角形，∴AH=AB=20，∵∠BAH=90°，∠BAG=45°，∠AHB=45°，∴∠GAE=∠BAG=∠AHB=45°，∵AC⊥BD，∴∠ABG+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠HAC=∠BAH=90°，∴∠ABG=∠HAC，在△ABG和△HAC中，∠ABG=∠HACAB=AH∴△ABG≌△HACASA∴AG=HC，∵AE=2EF，∴設(shè)EF=x，則AE=2x，∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠AEG=∠DEF,∠DFE=∠HFC，∴∠AEG=∠HFC，∵∠AHB=∠GAE=45°，∴∠AGE=135°?∠HFC=∠FCH，在△AGE和△HCF中，∠AEG=∠HFC∠AGE=∠FCH∴△AGE≌△HCFAAS∴FH=AE=2x，∴AH=AE+EF+FH=5x=20，解得：x=4，∴AF=AE+EF=3x=12，故答案為12．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【題型8等腰三角形的存在性問題】【例8】（23-24八年級(jí)·遼寧沈陽·期中）經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，稱這個(gè)三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“鉆石分割線”，在△ABC中，∠BAC=20°，若存在過點(diǎn)C的“鉆石分割線”，使△ABC是“鉆石三角形”，則滿足條件的∠B的度數(shù)為．【答案】70°或40°或100°或10°【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是注意進(jìn)行分類討論．分五種情況進(jìn)行討論，當(dāng)AD=CD，BD=CD時(shí)，當(dāng)AD=CD，BD=BC時(shí)，當(dāng)AD=CD，CD=BC時(shí)，當(dāng)AC=AD，BD=CD時(shí)，當(dāng)AC=CD，BD=CD時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：當(dāng)AD=CD，BD=CD時(shí)，如圖所示：

∵∠BAC=20°，∴∠ACD=∠BAC=20°，∴∠CDB=∠BAC+∠ACD=40°，∵BD=CD，∴∠DCB=∠B=1即此時(shí)∠B=70°．當(dāng)AD=CD，BD=BC時(shí)，如圖所示：∵∠BAC=20°，∴∠ACD=∠BAC=20°，∴∠CDB=∠BAC+∠ACD=40°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=40°，∴∠B=180°?40°?40°=100°，即此時(shí)∠B=100°．當(dāng)AD=CD，CD=BC時(shí)，如圖所示：∵∠BAC=20°，∴∠ACD=∠BAC=20°，∴∠CDB=∠BAC+∠ACD=40°，∵CD=BC，∴∠B=∠BDC=40°，即此時(shí)∠B=40°．當(dāng)AC=AD，BD=CD時(shí)，如圖所示：∵∠BAC=20°，∴∠ACD=∠ADC=1∵BD=CD，∴∠B=∠BCD，∵∠ADC=∠B+∠BCD=80°，∴∠B=∠BCD=1即此時(shí)∠B=40°．當(dāng)AC=CD，BD=CD時(shí)，如圖所示：∵∠BAC=20°，∴∠CDA=∠BAC=20°，∵BD=CD，∴∠B=∠BCD，∵∠CDA=∠B+∠BCD=20°，∴∠B=∠BCD=1即此時(shí)∠B=10°．綜上分析可知：∠B的度數(shù)為：70°或40°或100°或10°．故答案為：70°或40°或100°或10°．【變式8-1】（23-24八年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，△ABC≌△A'B'C'，∠ABC=90°，∠A'=27°（0°<∠ABA'≤54°），A'C'與AC

【答案】24°或42°【分析】根據(jù)0°<∠ABA'≤54°，分兩種情況討論：當(dāng)EF=FB時(shí)，當(dāng)BE=BF時(shí)，設(shè)∠FEB=∠FBE=α，過點(diǎn)B作BP⊥AC,BQ⊥A'C'【詳解】解：如圖所示，當(dāng)EF=FB時(shí)，△BEF是等腰三角形，

設(shè)∠FEB=∠FBE=α，過點(diǎn)B作BP⊥AC,BQ⊥A'C∵△ABC≌△A∴對(duì)應(yīng)邊上的高相等，即BP=BQ，∴B在∠PFQ的角平分線線上，∵∠PFB是△ABF的外角，∴∠PFB=∠A+∠FBE=27°+α∴∠QFB=27°+α∵∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°∴27°+α+2α=180°解得：α=51°∴∠AB如圖所示，當(dāng)BE=BF時(shí)，△BEF是等腰三角形，

設(shè)∠FEB=∠BFE=α同理可得∠PFB=∠QFB=α,∴∠FBE=∠PFB?∠A=α?27°∵∠QFB+∠FEB+∠FBE=180°∴α+α+α?27°=180°解得：α=69°∴∠ABA由于0°<∠ABA'≤54°綜上所述，∠ABA'的度數(shù)為，24°或故答案為：24°或42°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24八年級(jí)·河南鶴壁·期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)E，