2025年滬科版八年級數(shù)學(xué)寒假復(fù)習(xí) 專題07 三角形中的幾何模型

專題07三角形中的幾何模型考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢提升專練：真題感知+精選專練，全面突破題型歸納【考點(diǎn)01“8”字模型】1．（24-25八年級上·江西贛州·期中）平面上、、、、、六點(diǎn)，構(gòu)成如圖所示的圖形，則度數(shù)是（）A． B． C． D．2．（24-25八年級上·安徽淮南·期中）如圖所示，，試求；3．（24-25八年級上·天津河北·期中）如圖，已知，則的度數(shù)為度．4．（24-25八年級上·陜西寶雞·期中）如圖，把五角星的頂點(diǎn)B移動到邊上．求：的度數(shù)．【考點(diǎn)02飛鏢模型】1．（24-25八年級上·湖北恩施·期中）如圖，，，則的大小是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級上·四川廣安·期中）如圖，在中，平分，為延長線上一點(diǎn)，于點(diǎn)．已知，，求的度數(shù)．3．（24-25八年級上·吉林·期中）如圖，已知，求的度數(shù)．4．（24-25八年級上·全國·期中）如圖①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”．(1)如圖①，在規(guī)形中，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，在規(guī)形中，和的角平分線交于點(diǎn)E，且，試探究之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)03風(fēng)箏模型】1．（24-25八年級上·河北保定·期中）如圖，兩面鏡子和的夾角，當(dāng)光線經(jīng)過鏡子后反射，，，則入射光線與第三條反射光線的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級上·廣東惠州·期中）如圖，把的往內(nèi)部折疊，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖①，②，，，，則的度數(shù)為．4．（24-25八年級上·新疆烏魯木齊·期中）如圖1，平分，平分，且，．(1)求證：．(2)如圖2，延長，交于點(diǎn)F，求的度數(shù)．【考點(diǎn)04雙內(nèi)角平分線模型】1．（22-23八年級上·安徽亳州·期中）如圖，在中，，分別是，的平分線，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．2．（24-25八年級上·山西陽泉·期中）如圖，在中，，，，則．3．（23-24七年級下·河南南陽·期末）【概念認(rèn)識】如圖，在中，若，則，叫做的“三分線”其中，是“鄰三分線”，“鄰三分線”．【問題解決】（1）如圖，，，是的“三分線”，則；（2）如圖，在中，，，若的“鄰三分線”交于點(diǎn)，則；（3）如圖，在中，分別是“鄰三分線”和“鄰三分線”，且，求的度數(shù)．4．（24-25八年級上·福建福州·期中）新定義：在中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱為“倍角三角形”．例如，在中，若，，則，因?yàn)樽畲?，最小，且，所以為?倍角三角形”．(1)在中，若，，則______，為“______倍角三角形”．(2)如圖，在中，，，的角平分線相交于點(diǎn)．①求的度數(shù)．②若為“4倍角三角形”，請求出的度數(shù)．【考點(diǎn)05一內(nèi)角一外角雙角平分線模型】1．（23-24八年級上·福建廈門·期中）如圖，已知的內(nèi)角，分別作內(nèi)角與外角的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得；…以此類推得到，則的度數(shù)是．2．（21-22七年級下·福建福州·期末）在中，，的平分線交于點(diǎn)O，外角平分線所在的直線的平分線相交于點(diǎn)，與的外角平分線相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）①；②；③；④．2．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖1，，點(diǎn)A、B分別在、上運(yùn)動（不與點(diǎn)O重合）．(1)若是的平分線，的反方向延長線與的平分線交于點(diǎn)D．①若，則______；②猜想：的度數(shù)是否隨A，B的移動發(fā)生變化？并說明理由．(2)如圖2，若，，求的度數(shù)．3．（24-25八年級上·安徽滁州·期中）已知中，(1)如圖1，平分，平分，，求的度數(shù)；(2)如圖2，是的外角，、的平分線交于點(diǎn)D，求與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，、是的外角，的平分線所在的直線與、的平分線分別交于點(diǎn)F?D．在中，如果，求的度數(shù)．【考點(diǎn)06一線三等角模型】1．（23-24八年級上·遼寧大連·期中）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：(1)如圖1，點(diǎn)A在直線l上，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到結(jié)論：_____，_____．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)，求證：．2．（24-25八年級上·海南·期中）如圖1所示，已知在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過、兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為、．(1)如圖1，當(dāng)直線在、兩點(diǎn)同側(cè)時，求證：①；②；(2)若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時，其余條件不變，猜想與，有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；(3)若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？直接寫出猜想結(jié)論，不需證明．3．（24-25八年級上·山西大同·期中）如圖1，已知中，，；是過的一條直線，且在，的異側(cè)，于，于．(1)試說明：．(2)若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置時，其余條件不變，問與，CE的關(guān)系如何？請直接寫出關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)，時，直接寫出四邊形的面積．4．（23-24八年級上·江蘇南通·期中）已知滿足，，直角頂點(diǎn)在軸上，一銳角頂點(diǎn)在軸上．(1)如圖①若垂直于軸，垂足為點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，且滿足，請直接寫出、的值以及點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)如圖②，直角邊在兩坐標(biāo)軸上滑動，使點(diǎn)在第四象限內(nèi)，在滑動的過程中，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為0,4，點(diǎn)的坐標(biāo)為時，求的坐標(biāo)；(3)如圖③，直角邊在兩坐標(biāo)軸上滑動，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，若，試說明軸恰好平分．【考點(diǎn)07倍長中線模型】1．（24-25八年級上·河北保定·期中）在通過構(gòu)造全等三角形解決問題的過程中，有一種方法叫做倍長中線法．(1)如圖（1），是的中線．且．延長至點(diǎn)．使．連接．求證：．(2)如圖（2），是的中線，點(diǎn)在的延長線上，，，求證：．2．（24-25八年級上·江西贛州·期中）八年級數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你和他們一起活動吧．【初步探索】（1）如圖1，在中，若．求邊上的中線的取值范圍．以下兩位同學(xué)是這樣思考的：小聰：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．小明：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是_____；中線的取值范圍是_____．【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，其中，連接，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在五邊形中，，，，為邊上的中線．①求證：；②若，，則五邊形的面積為_____．3．（24-25八年級上·浙江臺州·期中）新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．初步嘗試（1）如圖1，在中，，，P為上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L為時，與為偏等積三角形．理解運(yùn)用（2）如圖2，與為偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數(shù)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)E，求的長．綜合應(yīng)用（3）如圖3，已知和為兩個等腰直角三角形，其中，，，F(xiàn)為的中點(diǎn)．請根據(jù)上述條件，回答以下問題：①的度數(shù)為；②試探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并寫出解答過程．4．（24-25八年級上·福建福州·期中）數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，是的中點(diǎn)，求邊上的中線AD的取值范圍．【方法探索】（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，延長AD到點(diǎn)，使，連接．根據(jù)可以判定，得出．這樣就能把線段集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是______________．【問題解決】（2）由第（1）問方法的啟發(fā)，請解決下面問題：如圖2，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中線，，，試說明：；【問題拓展】（3）如圖3，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)分別向外作、，使得，，若，求證：且AD為的中線．【考點(diǎn)08半角模型】1．（24-25八年級上·浙江衢州·期中）在中，，點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)（不與B，C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時，如果，則°．(2)設(shè)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上移動時，α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②當(dāng)點(diǎn)D在直線上移動時，α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你在備用圖上畫出圖形，并直接寫出結(jié)論．2．（24-25八年級上·四川宜賓·期中）（1）【問題背景】如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是上的點(diǎn)，且，探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的思路是延長到點(diǎn)G，使得，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論．他的結(jié)論是．請你幫他完善證明過程．（2）【探索延伸】如圖2，在四邊形中，，E、F分別是上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心O的北偏西的A處，艦艇乙在指揮中心O的南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處且兩艦艇之間的夾角為（即），請直接寫出甲、乙兩艦艇之間的距離為海里．3．（24-25八年級上·山東濟(jì)寧·期中）（1）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，請?zhí)骄繄D中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小明探究此問題的方法是：延長線段到點(diǎn)，使，連接．先證明，得；再由條件可得，再證明，進(jìn)而可得線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．請根據(jù)小明的思路，完成解題過程．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，（1）中的線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立?若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由．（3）學(xué)以致用：我們知道，正方形的四條邊都相等，四個角都為直角．如圖3，四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，請直接寫出的周長．4．（24-25八年級上·重慶萬州·期中）按要求解答下列問題：(1)如圖1，在四邊形中，，、分別是邊、CD上的點(diǎn)，且．求證：；(2)如圖2，在四邊形中，，、分別是邊、CD上的點(diǎn)，且，請先寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系再證明；(3)如圖3，在四邊形中，，、分別是邊、CD延長線上的點(diǎn)，且，請直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系（不證明）．【考點(diǎn)09手拉手模型】1．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在和中，，為銳角，，，連接，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求證：(2)線段與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．2．（23-24八年級上·寧夏固原·期中）數(shù)學(xué)越學(xué)越聰明，不信你試試：如圖，是等腰三角形、是等腰三角形，，，，直線與交于．(1)探究1：與有什么關(guān)系？、有什么數(shù)量關(guān)系？(2)探究2：與有什么關(guān)系？寫出證明過程．3．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）我們把有公共頂點(diǎn)且形狀相同的兩個三角形組成的圖形稱為“手拉手”圖形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)對“手拉手”圖形進(jìn)行了探究．(1)初步探究：如圖，與的頂點(diǎn)重合，，，，連接，他們通過測量發(fā)現(xiàn)在和繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動的過程中，，請你證明他們的結(jié)論；(2)大膽猜想：如圖，在（）的條件下，連接，他們猜想的面積與的面積相等，請證明他們的猜想是正確的；(3)拓展延伸：如圖，在（）的條件下，當(dāng)時，延長交于點(diǎn)，，的面積為，求的長度．4．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”，如圖1，與都是等腰三角形，其中，則．【初步把握】如圖2，與都是等腰三角形，，，且，請直接寫出圖中的一對全等三角形：______；【深入研究】如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，、交于點(diǎn)，求的大小．【拓展延伸】如圖4，在兩個等腰直角三角形和中，，，；連接，，交于點(diǎn)，請判斷和的關(guān)系，并說明理由．過關(guān)檢測一、單選題1．（24-25八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，依此下去．若，則（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，是的平分線，CF是的平分線，，CF相交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級上·四川德陽·期中）在中，，的平分線交于點(diǎn)，的外角平分線所在直線與的平分線交于點(diǎn)，與的外角平分線交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（

）個．A． B． C． D．4．（24-25八年級上·天津南開·期中）如圖，和均為的外角，的平分線所在直線與的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．5．（23-24七年級下·山東泰安·期中）如圖，，，，分別平分的內(nèi)角，外角，外角．以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．個 B．個 C．個 D．個6．（24-25八年級上·山東濱州·期中）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，分別以，為一邊，向外作正方形和（正方形四條邊都相等，四個角都是直角），連接，和，與的延長線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①；②；③是的中線；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（24-25八年級上·山西大同·期中）如圖，在中，，D為上一點(diǎn)，，在的右側(cè)作，使，，連接，與相交于點(diǎn)O，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（24-25八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，在和中，，，，，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（24-25八年級上·新疆·期中）如圖，的度數(shù)是度．10．（22-23八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在中，，，是AB上一點(diǎn)，將沿CD翻折后得到，邊CE交AB于點(diǎn)．若中有兩個角相等，則．11．（24-25八年級上·重慶長壽·期中）如圖，在中，和的角平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．12．（23-24八年級上·遼寧鐵嶺·期中）如圖1，2，3：已知中，的n等分線與的n等分線分別相交于，試猜想：與的關(guān)系．（其中n是不小于2的整數(shù)）首先得到：當(dāng)時，如圖1，，當(dāng)時，如圖2，，…如圖3，猜想．13．（24-25八年級上·遼寧鐵嶺·期中）小強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（，），點(diǎn)在上，點(diǎn)和分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為．14．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，是的中線，，，則的取值范圍是．15．（22-23七年級下·重慶·期末）如圖，四邊形中，與相交于點(diǎn)O，且，點(diǎn)E是和平分線的交點(diǎn)，連接，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確結(jié)論的序號為．16．（21-22八年級上·湖北襄陽·期末）如圖，在中，，，、是斜邊上兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，垂足是，過點(diǎn)作，垂足是交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：≌；；若，，則；其中正確的是．三、解答題17．（24-25八年級上·安徽蚌埠·期中）如圖，在中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．平分，交的平分線于點(diǎn)P，與相交于點(diǎn)G，的平分線與的延長線相交于點(diǎn)Q．(1)若，則_____°，_____°；(2)若，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若要變化，說明理由；若不變化求出的度數(shù)（用的代數(shù)式表示）；(3)若中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，則所有符合條件的的度數(shù)為_____．18．（24-25八年級上·江西贛州·期中）（1）如圖1，在中，點(diǎn)在延長線上，點(diǎn)在線段上，連接交于點(diǎn)和的平分線交于點(diǎn)．①若，，則的度數(shù)為_____；②猜想出、和之間的數(shù)量關(guān)系為_____，并證明；（2）如圖2，在中，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在延長線上，連接交于點(diǎn)，和的平分線交于點(diǎn)，直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系為_____．19．（24-25八年級上·河南周口·期中）綜合與探究(1)如圖1，直線經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)，分別過正方形的頂點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，．則的長為______；(2)如圖2，在中，，，過點(diǎn)C在外作直線，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：；(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)作直線與線段相交，直接寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系．20．（24-25八年級上·河北邢臺·期中）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，是的中線，作，邊BM交AD延長線于M點(diǎn)，求證：．【初步應(yīng)用】如圖2，在中，，，是中線，則的取值范圍為______；【探究提升】如圖3，是的中線，過點(diǎn)A分別向外作、，使得，，連接，延長交于點(diǎn)P，判斷線段與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由．

專題07三角形中的幾何模型考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢提升專練：真題感知+精選專練，全面突破題型歸納【考點(diǎn)01“8”字模型】1．（24-25八年級上·江西贛州·期中）平面上、、、、、六點(diǎn)，構(gòu)成如圖所示的圖形，則度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖所示：是的一個外角，，是的一個外角，，在四邊形中，連接，如圖所示，，，在中，；在中，；，，故選：B．2．（24-25八年級上·安徽淮南·期中）如圖所示，，試求；【答案】【解析】解：，，，，，．故答案為：．3．（24-25八年級上·天津河北·期中）如圖，已知，則的度數(shù)為度．【答案】240【解析】解：如下圖所示：

由題知，，，，，，，，故答案為：240．4．（24-25八年級上·陜西寶雞·期中）如圖，把五角星的頂點(diǎn)B移動到邊上．求：的度數(shù)．【答案】【解析】解：如圖所示，設(shè)AD和交于點(diǎn)，是的外角，，是的外角，，．【考點(diǎn)02飛鏢模型】1．（24-25八年級上·湖北恩施·期中）如圖，，，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，故選擇：A2．（24-25八年級上·四川廣安·期中）如圖，在中，平分，為延長線上一點(diǎn)，于點(diǎn)．已知，，求的度數(shù)．【答案】【解析】解：在中，，，．平分，．在中，，，，．于，，．3．（24-25八年級上·吉林·期中）如圖，已知，求的度數(shù)．【答案】【解析】解：在中，，則，是的一個外角，，是的一個外角，，．4．（24-25八年級上·全國·期中）如圖①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”．(1)如圖①，在規(guī)形中，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，在規(guī)形中，和的角平分線交于點(diǎn)E，且，試探究之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【解析】（1）解：如圖1，延長交于，∴，∴，∴的度數(shù)為；（2）解：，理由如下；如圖2，延長交于，記的夾角為，∵分別是和的角平分線，∴，，即，，由題意知，，，∴，即．【考點(diǎn)03風(fēng)箏模型】1．（24-25八年級上·河北保定·期中）如圖，兩面鏡子和的夾角，當(dāng)光線經(jīng)過鏡子后反射，，，則入射光線與第三條反射光線的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：如圖：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．故選D．2．（24-25八年級上·廣東惠州·期中）如圖，把的往內(nèi)部折疊，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖，∵，∴，由折疊性質(zhì)得，，∴，，∴，∴，故選：B．3．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖①，②，，，，則的度數(shù)為．【答案】【解析】解：，，，圖①中，，，圖②中，，，，，即，，，，故答案為：．4．（24-25八年級上·新疆烏魯木齊·期中）如圖1，平分，平分，且，．(1)求證：．(2)如圖2，延長，交于點(diǎn)F，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）證明：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為．【考點(diǎn)04雙內(nèi)角平分線模型】1．（22-23八年級上·安徽亳州·期中）如圖，在中，，分別是，的平分線，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，，，分別是，的平分線，，，，，故選A．2．（24-25八年級上·山西陽泉·期中）如圖，在中，，，，則．【答案】【解析】解：∵，∴，即，∵，，∴，∴．故答案為：．3．（23-24七年級下·河南南陽·期末）【概念認(rèn)識】如圖，在中，若，則，叫做的“三分線”其中，是“鄰三分線”，“鄰三分線”．【問題解決】（1）如圖，，，是的“三分線”，則；（2）如圖，在中，，，若的“鄰三分線”交于點(diǎn)，則；（3）如圖，在中，分別是“鄰三分線”和“鄰三分線”，且，求的度數(shù)．【答案】（）；（）；（）．【解析】解：（）∵，，是的“三分線”，∴，故答案為：；（）如圖，∵是“鄰三分線”時，，則，故答案為：；（）∵，∴，∴．∵分別是“鄰三分線”和“鄰三分線”，∴，，∴，∴，∴．4．（24-25八年級上·福建福州·期中）新定義：在中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱為“倍角三角形”．例如，在中，若，，則，因?yàn)樽畲?，最小，且，所以為?倍角三角形”．(1)在中，若，，則______，為“______倍角三角形”．(2)如圖，在中，，，的角平分線相交于點(diǎn)．①求的度數(shù)．②若為“4倍角三角形”，請求出的度數(shù)．【答案】(1)，5(2)①；②或【解析】（1）解：（1）在△中，，，則，最大，最小，且，△為“5倍角三角形”，故答案為：，5；（2）①解：，，的角平分線相交于點(diǎn)，，，，，②為“4倍角三角形”，或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，綜上所述，的度數(shù)為或．【考點(diǎn)05一內(nèi)角一外角雙角平分線模型】1．（23-24八年級上·福建廈門·期中）如圖，已知的內(nèi)角，分別作內(nèi)角與外角的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得；…以此類推得到，則的度數(shù)是．【答案】【解析】解：是的平分線，是的平分線，，，，，，，，，同理可得：，，，故答案為：．2．（21-22七年級下·福建福州·期末）在中，，的平分線交于點(diǎn)O，外角平分線所在的直線的平分線相交于點(diǎn)，與的外角平分線相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）①；②；③；④．【答案】①②④【解析】∵，的平分線交于點(diǎn)O，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，故①正確，∵平分，∴，∵，∴；故②正確，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，故③錯誤；∵，∴，∵，∴．故④正確，綜上正確的有：①②④．2．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）如圖1，，點(diǎn)A、B分別在、上運(yùn)動（不與點(diǎn)O重合）．(1)若是的平分線，的反方向延長線與的平分線交于點(diǎn)D．①若，則______；②猜想：的度數(shù)是否隨A，B的移動發(fā)生變化？并說明理由．(2)如圖2，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)①45；②不變化，理由見解析；(2)．【解析】（1）解：①∵，，∴，∴，∵是的平分線，的反方向延長線與的平分線交于點(diǎn)D，∴，，∴，∴，在中，，故答案為：45；②的度數(shù)不隨A，B的移動發(fā)生變化，始終是，理由如下：設(shè)，則，∴，∵是的平分線，的反方向延長線與的平分線交于點(diǎn)D，∴，，∴，∴，在中，；（2）解：∵，，∴設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴．3．（24-25八年級上·安徽滁州·期中）已知中，(1)如圖1，平分，平分，，求的度數(shù)；(2)如圖2，是的外角，、的平分線交于點(diǎn)D，求與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，、是的外角，的平分線所在的直線與、的平分線分別交于點(diǎn)F?D．在中，如果，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：，，，平分，平分，，，，，；（2）解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，、分別是、的平分線，，，，，；（3）解：平分，平分，，，，平分，AD平分，∴由（2）可知：，，，，．【考點(diǎn)06一線三等角模型】1．（23-24八年級上·遼寧大連·期中）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：(1)如圖1，點(diǎn)A在直線l上，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到結(jié)論：_____，_____．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)，(2)見解析【解析】（1））解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，故答案為：DE，．（2）證明：如圖2，作于點(diǎn)，∵于點(diǎn)，于點(diǎn)E，∴，由，同理（1）得，∴，在和中，∴，∴．2．（24-25八年級上·海南·期中）如圖1所示，已知在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，過、兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為、．(1)如圖1，當(dāng)直線在、兩點(diǎn)同側(cè)時，求證：①；②；(2)若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時，其余條件不變，猜想與，有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；(3)若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？直接寫出猜想結(jié)論，不需證明．【答案】(1)①證明見解析

②證明見解析(2)；見解析(3)【解析】（1）證明：①，，，，，，，在和中，，；②，，，，；（2）解：，理由如下：，，，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：，理由如下：，，，，，，，在和中，，，，，，．3．（24-25八年級上·山西大同·期中）如圖1，已知中，，；是過的一條直線，且在，的異側(cè)，于，于．(1)試說明：．(2)若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置時，其余條件不變，問與，CE的關(guān)系如何？請直接寫出關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)，時，直接寫出四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【解析】（1）證明：如圖所示，于，于，，，又，，，在和中，，，，；（2）解：，理由如下：如圖所示，于，于，，，又，，，在和中，，，，；（3）解：當(dāng)，時，，四邊形的面積為．4．（23-24八年級上·江蘇南通·期中）已知滿足，，直角頂點(diǎn)在軸上，一銳角頂點(diǎn)在軸上．(1)如圖①若垂直于軸，垂足為點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，且滿足，請直接寫出、的值以及點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)如圖②，直角邊在兩坐標(biāo)軸上滑動，使點(diǎn)在第四象限內(nèi)，在滑動的過程中，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為0,4，點(diǎn)的坐標(biāo)為時，求的坐標(biāo)；(3)如圖③，直角邊在兩坐標(biāo)軸上滑動，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于，若，試說明軸恰好平分．【答案】(1)，，(2)(3)見解析【解析】（1）解：，，，，，，B0,3，，，，，，，，在和中，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，（2）過點(diǎn)作軸于，，，，，在和中，，，，的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，（3）延長、交于點(diǎn)，軸，，，，∵，，，在和中，，，，，，在和中，，，故軸恰好平分．【考點(diǎn)07倍長中線模型】1．（24-25八年級上·河北保定·期中）在通過構(gòu)造全等三角形解決問題的過程中，有一種方法叫做倍長中線法．(1)如圖（1），是的中線．且．延長至點(diǎn)．使．連接．求證：．(2)如圖（2），是的中線，點(diǎn)在的延長線上，，，求證：．【解析】（1）證明：是的中線，在和中，，；（2）證明：延長至，使，是的中線，，且，，，，，，，，即，且，，.，，．2．（24-25八年級上·江西贛州·期中）八年級數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你和他們一起活動吧．【初步探索】（1）如圖1，在中，若．求邊上的中線的取值范圍．以下兩位同學(xué)是這樣思考的：小聰：延長至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．小明：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是_____；中線的取值范圍是_____．【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，其中，連接，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在五邊形中，，，，為邊上的中線．①求證：；②若，，則五邊形的面積為_____．【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）①證明見解析；②【解析】（1）解：延長至，使，連接，如圖所示：∵是邊上的中線，，∴，在和中，，，，在中，由三角形三邊關(guān)系可得，∴，即，，故答案為：；；（2）解：，，理由如下：延長至，使，連接，如圖所示：由（1）得：，，，，，即，，，，，在和中，，，，，；延長交于，如圖所示：，，，，，即；（3）①證明：延長，交于點(diǎn)，如圖所示：，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，即，；②解：由①可知，，，，，，，五邊形的面積，故答案為：．3．（24-25八年級上·浙江臺州·期中）新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．初步嘗試（1）如圖1，在中，，，P為上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L為時，與為偏等積三角形．理解運(yùn)用（2）如圖2，與為偏等積三角形，，，且線段的長度為正整數(shù)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)E，求的長．綜合應(yīng)用（3）如圖3，已知和為兩個等腰直角三角形，其中，，，F(xiàn)為的中點(diǎn)．請根據(jù)上述條件，回答以下問題：①的度數(shù)為；②試探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并寫出解答過程．【答案】（1）3;（2）;（3）①180；②，理由見解析【解析】解：（1）如圖，連接當(dāng)時，，

與不全等，與為偏等積三角形，故答案為．（2）與為偏等積三角形，．，．，，，，，，，．為正整數(shù)，，．（3）①∵，∴．②，理由如下：延長至G，使，連接，如圖所示：

∵F為CD的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，由①得：，∴．∵，∴，在和中，，∴，∴．∵，∴．4．（24-25八年級上·福建福州·期中）數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，是的中點(diǎn)，求邊上的中線AD的取值范圍．【方法探索】（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，延長AD到點(diǎn)，使，連接．根據(jù)可以判定，得出．這樣就能把線段集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是______________．【問題解決】（2）由第（1）問方法的啟發(fā)，請解決下面問題：如圖2，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中線，，，試說明：；【問題拓展】（3）如圖3，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)分別向外作、，使得，，若，求證：且AD為的中線．【答案】[方法探究]（1）；[問題解決]（2）證明方法見詳解；[問題拓展]（3）證明過程見詳解【解析】解：[方法探究]（1）延長到點(diǎn)，使，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴，∴，在中，，即，∴，∵，∴，故答案為：；[問題解決]（2）∵，∴，∵，∴，即點(diǎn)是中點(diǎn)，如圖所示，延長到點(diǎn)，使得，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∵是的外角，∴，∵，，，，∴，∴，∵，∴；[問題拓展]（3）如圖所示，延長交于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，點(diǎn)共線，∴，∵，，∴，又∵，∴，，∴，，，，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【考點(diǎn)08半角模型】1．（24-25八年級上·浙江衢州·期中）在中，，點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)（不與B，C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時，如果，則°．(2)設(shè)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上移動時，α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．②當(dāng)點(diǎn)D在直線上移動時，α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你在備用圖上畫出圖形，并直接寫出結(jié)論．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②或，對應(yīng)圖形見解析【解析】（1）；理由：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴；（2）①；理由：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴；②或；當(dāng)點(diǎn)D在線段上移動時，，證明見小問①；當(dāng)點(diǎn)D在線段線的延長線上時,如圖1，，證明：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)D在射線的反向延長線上時,如圖2，，證明：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴．2．（24-25八年級上·四川宜賓·期中）（1）【問題背景】如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是上的點(diǎn)，且，探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的思路是延長到點(diǎn)G，使得，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論．他的結(jié)論是．請你幫他完善證明過程．（2）【探索延伸】如圖2，在四邊形中，，E、F分別是上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心O的北偏西的A處，艦艇乙在指揮中心O的南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里/小時的速度前進(jìn)，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處且兩艦艇之間的夾角為（即），請直接寫出甲、乙兩艦艇之間的距離為海里．【答案】（1），見解析；（2）成立，見解析；（3）210【解析】解：（1）他的結(jié)論是，理由如下：延長到點(diǎn)G，使得，連接，如圖1，在與中，，∴，∴；∵，∴，∴，∴；∵，∴；在與中，，∴，∴；∵，∴；（2）結(jié)論是成立，理由如下：延長到點(diǎn)G，使得，連接，如圖2，在與中，，∴，∴；∵，∴，∴；在與中，，∴，∴；∵，∴；（3）連接，延長相交于點(diǎn)C，∵，，∴，又∵，，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論成立，即（海里）．答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．3．（24-25八年級上·山東濟(jì)寧·期中）（1）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，請?zhí)骄繄D中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小明探究此問題的方法是：延長線段到點(diǎn)，使，連接．先證明，得；再由條件可得，再證明，進(jìn)而可得線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．請根據(jù)小明的思路，完成解題過程．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，（1）中的線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立?若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由．（3）學(xué)以致用：我們知道，正方形的四條邊都相等，四個角都為直角．如圖3，四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，請直接寫出的周長．【答案】（1），理由見解析；（2）的結(jié)論成立，證明見解析；（3）的周長為【解析】解∶（1）延長線段到點(diǎn)，使，連接，則，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，，；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，延長到，使，連接，，，，在和中，，，，，，，，即，，在和中，，，，；（3）如圖，延長到，使，連接，四邊形是正方形，，，，在和中，，，，，又，，，，在和中，，，，，的周長．4．（24-25八年級上·重慶萬州·期中）按要求解答下列問題：(1)如圖1，在四邊形中，，、分別是邊、CD上的點(diǎn)，且．求證：；(2)如圖2，在四邊形中，，、分別是邊、CD上的點(diǎn)，且，請先寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系再證明；(3)如圖3，在四邊形中，，、分別是邊、CD延長線上的點(diǎn)，且，請直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系（不證明）．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析(3)【解析】（1）解：如圖，延長到，使，連接，在與中，；（2），證明：如圖，延長CB到，使BM=DF，在與中即在與中即；（3），理由如下，證明：在上截取，使，連接，在與中．【考點(diǎn)09手拉手模型】1．（24-25八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在和中，，為銳角，，，連接，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求證：(2)線段與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【解析】（1）證明：，，即，在和中，；（2）解：理由如下：，，，，．2．（23-24八年級上·寧夏固原·期中）數(shù)學(xué)越學(xué)越聰明，不信你試試：如圖，是等腰三角形、是等腰三角形，，，，直線與交于．(1)探究1：與有什么關(guān)系？、有什么數(shù)量關(guān)系？(2)探究2：與有什么關(guān)系？寫出證明過程．【答案】(1)，，證明見解析(2)，證明見解析【解析】（1）解：，，理由如下：如圖①：∵，∴．即．在和中，，∴．∴．圖②，圖③，同理可得：．∴．（2）解：，理由如下：如圖①，記，的交點(diǎn)為，∵，∴，∵，∴．圖②，圖③，同理可得：．3．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）我們把有公共頂點(diǎn)且形狀相同的兩個三角形組成的圖形稱為“手拉手”圖形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)對“手拉手”圖形進(jìn)行了探究．(1)初步探究：如圖，與的頂點(diǎn)重合，，，，連接，他們通過測量發(fā)現(xiàn)在和繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動的過程中，，請你證明他們的結(jié)論；(2)大膽猜想：如圖，在（）的條件下，連接，他們猜想的面積與的面積相等，請證明他們的猜想是正確的；(3)拓展延伸：如圖，在（）的條件下，當(dāng)時，延長交于點(diǎn)，，的面積為，求的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)他們的猜想正確，證明見解析；(3)．【解析】（1）證明：∵，∴，∴，在與中，，∴，∴；（2）證明：過作于，過作交延長線于點(diǎn)，則，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴；（3）解：過作交的延長線于，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，即，∴（負(fù)值舍去），∵，∴，∴．4．（24-25八年級上·廣東東莞·期中）綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”，如圖1，與都是等腰三角形，其中，則．【初步把握】如圖2，與都是等腰三角形，，，且，請直接寫出圖中的一對全等三角形：______；【深入研究】如圖3，已知，以、為邊分別向外作等邊和等邊，、交于點(diǎn)，求的大小．【拓展延伸】如圖4，在兩個等腰直角三角形和中，，，；連接，，交于點(diǎn)，請判斷和的關(guān)系，并說明理由．【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由見解析【解析】初步把握：解：∵，∴，∴，∴在和中，，∴，故答案為：；深入研究：解：∵和為等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，設(shè)與的交點(diǎn)為，如圖所示：∴在和中，，∴；拓展延伸：解：，理由如下：∵，，，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，設(shè)與的交點(diǎn)為，如圖所示：∴在和中，，∴，∴．過關(guān)檢測一、單選題1．（24-25八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，依此下去．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，，，，，，，得：，，由和得：，，，同理，，…，故選：B．2．（24-25八年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，是的平分線，CF是的平分線，，CF相交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：連接，

∵，∴，∵，∴，∴，∵是的平分線，是的平分線，∴，在中，．故選：A．3．（24-25八年級上·四川德陽·期中）在中，，的平分線交于點(diǎn)，的外角平分線所在直線與的平分線交于點(diǎn)，與的外角平分線交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（

）個．A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，的平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，∴，故①正確，符合題意；∵CD平分，∴，∵，，∴，∴，故②正確，符合題意；∵，，，∴，∵平分，CE平分，∴，，∴，∴，∴，故③錯誤，不符合題意；∵，∴，∵，∴，故④正確，符合題意；綜上正確的有：①②④．故選：C．4．（24-25八年級上·天津南開·期中）如圖，和均為的外角，的平分線所在直線與的平分線相交于點(diǎn)，與的平分線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：、，，，∴，∵平分，CD平分，∴，，∵，∴，∵，∴，原選項(xiàng)錯誤，符合題意，、∵平分，平分，，∴，原選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵平分，∴，∵，，∴，原選項(xiàng)正確，不符合題意；、∵，∴，∵，∴，原選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：．5．（23-24七年級下·山東泰安·期中）如圖，，，，分別平分的內(nèi)角，外角，外角．以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【解析】解：①∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，故結(jié)論①正確；②∵，∴，∵平分，，∴，故結(jié)論②正確；③∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故結(jié)論③正確；④∵平分，∴，∵，∴，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，故結(jié)論④正確；⑤由④得，，∵，∴，∴，故結(jié)論⑤不正確；∴正確的結(jié)論有個．故選：C．6．（24-25八年級上·山東濱州·期中）如圖，在銳角三角形中，是邊上的高，分別以，為一邊，向外作正方形和（正方形四條邊都相等，四個角都是直角），連接，和，與的延長線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①；②；③是的中線；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】解：在正方形和中，，，，，即，在和中，，，，故①正確；設(shè)、相交于點(diǎn)N，，，，，，故②正確；點(diǎn)E作的延長線于P，過點(diǎn)G作于Q，，，，，，在和中，，，，故④正確，，同理可得，，在和中，，，，是的中線，故③正確．綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．故選：D．7．（24-25八年級上·山西大同·期中）如圖，在中，，D為上一點(diǎn)，，在的右側(cè)作，使，，連接，與相交于點(diǎn)O，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵，∴，即．在和中，，∴．∴．∵，∴．∵，∴，即．∴．又，∴是等邊三角形．∴．∴．又，∴是等邊三角形．∴．∴．故選：A．8．（24-25八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，在和中，，，，，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：設(shè)與相交于點(diǎn)，如圖所示：∵，∴，在和中，∴，∴，∵，則∴，∴，故選：A．二、填空題9．（24-25八年級上·新疆·期中）如圖，的度數(shù)是度．【答案】【解析】解：將線段交點(diǎn)為，再將交點(diǎn)為，如下圖所示：∵，，∴，故答案為：．10．（22-23八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在中，，，是AB上一點(diǎn)，將沿CD翻折后得到，邊CE交AB于點(diǎn)．若中有兩個角相等，則．【答案】或【解析】解：在中，，∴，∵，∴，設(shè)，則，由折疊可知：，當(dāng)時，∵，∴，∴，解得x=0(不存在)；當(dāng)時，∴，解得x=30，即；當(dāng)時，∵，∴，∴，解得，即，綜上，或30°，故答案為：或30°．11．（24-25八年級上·重慶長壽·期中）如圖，在中，和的角平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為．【答案】【解析】解：∵和的角平分線交于點(diǎn)，∴，由題意知，，∴，∴，故答案為：．12．（23-24八年級上·遼寧鐵嶺·期中）如圖1，2，3：已知中，的n等分線與的n等分線分別相交于，試猜想：與的關(guān)系．（其中n是不小于2的整數(shù)）首先得到：當(dāng)時，如圖1，，當(dāng)時，如圖2，，…如圖3，猜想．【答案】【解析】解：∵當(dāng)時，，∴；∵當(dāng)時，，∴．由可知，．故答案為：．13．（24-25八年級上·遼寧鐵嶺·期中）小強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是的相同長方