《電磁波-傳輸.輻射.傳播》課件第4章

第4章輻射電磁場4.1電磁波輻射原理

*4.2運動電荷輻射場的簡化計算

*4.3基本振子的輻射場

4.4電流環(huán)的輻射場

4.5對稱振子的輻射場

4.6天線參數(shù)

4.7二元振子系的方向性

4.8反射面的影響

4.9互易原理簡述

4.10惠更斯原理

*4.11矩形口面的輻射場

4.1電磁波輻射原理

相對靜止的電荷周圍存在著電場。這個電場依附于電荷，它不會脫離電荷而在空間自行運動。當電荷作勻速運動時(例如直流電)，除了電場之外，還存在著磁場。這個磁場依附于電流(勻速運動的電荷)，它也不會脫離電流而在空間自動行進。當電荷加速運動時，就有電磁場脫離運動電荷而在空間中自動傳播。電荷加速運動中最典型的就是正弦交流電。這種交流電必然會產(chǎn)生脫離波源的電磁波。此外，在電場建立的初期(例如電容器的充電)和消失過程(例如電容器的放電)中，以及在磁場建立的初期(例如接通電感電路)和消失過程(例如與電感電路斷開)中，都由于電荷作加速運動而有輻射。不同的是，當正弦交流電達到穩(wěn)定狀態(tài)時，輻射的電磁波也是穩(wěn)態(tài)的；電感和電容中的電流和電壓發(fā)生瞬態(tài)變化時，

輻射的電磁波是瞬態(tài)脈沖波。

在沒有電荷的空間，電場要能維持其存在和運動而不消失，必須有另外的產(chǎn)生電場的原因；在沒有電流的空間，磁場要能維持其存在和運動而不消失，必須有另外的產(chǎn)生磁場的原因。這種產(chǎn)生電場和磁場的原因，既不是電荷也不是電流，而是運動中的電場和磁場本身。換句話說，運動中的磁場會產(chǎn)生電場以維護電場，不使之消失；運動中的電場也會產(chǎn)生磁場以維持磁場，不使之消失。這種運動中的電場和磁場互相產(chǎn)生的規(guī)律是人們在長期的生產(chǎn)和科學實踐中逐步認識的。一旦認識了這種規(guī)律，人們就進一步掌握了無線電波的輻射和傳播規(guī)律。

上述規(guī)律中的第一條是：運動磁場產(chǎn)生電場。這就是通常的發(fā)電機原理。我們在基本電磁學中已經(jīng)知道，若將一段長為l的導線放在均勻磁場中并使它垂直于磁場，然后讓磁場以速度v垂直于導體和磁場的方向運動，如圖4－1所示，則在此導體內(nèi)將會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢e,它的大小由下式計算：圖

4-1磁生電

這里，B是磁場的磁感應(yīng)強度，它與磁場強度H的關(guān)系為:B=μH。μ是介質(zhì)的導磁率。感應(yīng)電動勢e的單位是伏特。感應(yīng)電動勢存在的標志就是圖4-1中導體的a端為負極，b端為正極。如把ab兩端用導線接通，就有電流不斷地從b端經(jīng)外電路到a端?？梢娫趯w內(nèi)有一種作用力，它能把導體中的正電荷不斷地從a端推到b端去。而能夠推動電荷運動的必然是電場。所以，人們很自然地認為，正是由于磁場B在運動中同時產(chǎn)生了電場E，因此在電場E存在的區(qū)域中放置導體就會在導體兩端引起確定的電位差。在沒有和外電路接通時，這一開路電位差(即電壓)的數(shù)值等于感應(yīng)而生的電動勢e。既然如此，我們可以斷定，導體的存在只是感應(yīng)電動勢出現(xiàn)的條件，而運動磁場產(chǎn)生的電場才是感應(yīng)電動勢出現(xiàn)的根本原因。把上式中的兩邊用l去除，就得到感應(yīng)電場的大小，即也就是

(4-1)這一電場E的產(chǎn)生只決定于式(4-1)的右端各量，并不依賴于是否有導體。

圖

4-2電生磁

人們從與上述規(guī)律相反的角度來研究，認為：既然運動的磁場會產(chǎn)生電場，則運動的電場也會產(chǎn)生磁場，如圖4-2所示。當均勻電場在與之垂直的方向以速度v運動時，會產(chǎn)生一個磁場。這一磁場強度H的大小為H=εEv

(4-2)這兩條定律實際上是較普通的電磁場運動定律，在無界空間(電參數(shù)為ε和μ)橫電磁波(TEM)情況下的簡化結(jié)果。它們足以說明電磁輻射的最基本現(xiàn)象。下面我們進一步說明式(4-1)和式(4-2)所表示的輻射場特性，并用它們來解釋電磁波的輻射原理。

首先，要看到圖4-1和圖4-2所表示的E、H和v三者在方向上的關(guān)系。把它們結(jié)合起來，就是圖4-3所示的矢量關(guān)系。它表明電場運動的方向必須與電場垂直，磁場運動的方向必須與磁場垂直。于是，速度v的方向必然垂直于電場矢量E和磁場矢量H。換言之，電場要作橫向運動才能產(chǎn)生磁場，磁場要作橫向運動才能產(chǎn)生電場。運動的速度方向為從矢量E依右手螺旋轉(zhuǎn)到矢量H時，螺旋前進的方向。圖

4-3輻射場的方向關(guān)系

其次，

由式(4-1)和(4-2)可以計算出：

(4-3)該式表明，電磁場運動的速度只決定于介質(zhì)的電磁參數(shù)，而與電荷本身以多大速度運動無關(guān)。即50Hz每秒的交流電產(chǎn)生的電磁波和10kHz每秒的交流電產(chǎn)生的電磁波，乃至于頻率更高得多的光波，都只具有同樣的由式(4-3)所決定的波速。也就是說，一旦由電荷加速而激起了橫向運動的電場和磁場之后，它們將以自己的速度前進。這個速度在真空中(當ε和μ變?yōu)棣?和μ0時)可以計算出為3×108m/s。在式(4-1)和式(4-2)所描述的橫電磁波中，沿速度v的方向每單位時間通過每單位垂直面積的能量為S,即

S=EH(4-4)式中，S稱為功率密度，其單位為W/m2，它和電場、磁場在方向上的關(guān)系仍由圖

4-3的右手螺旋定則來確定。

所謂電流元，是指一段長度比波長λ小得多的天線。在一段小電流元上加交變電壓(為簡單起見設(shè)為正弦交流電)后，它的電荷和電流將如圖4－4所示那樣變化。設(shè)電荷依正弦變化，

則

q=Qsinωt

這里，Q是電荷變化中的最大值(振幅)。由電流和電荷的關(guān)系

i=dq/dt可得

i=ωQcosωt=Icosωt

其中，I=ωQ為電流振幅。

圖4－4電流元上的交流電圖

4-5輻射過程

電流元輻射場的具體計算結(jié)果(復數(shù)形式)是(見圖4-6)：

(4-5)其中：Eθ的方向是圓弧APB上指向θ增加的切線方向；H￠的方向是圓弧CPD上指向￠增加的切線方向。根據(jù)圖上的矢量關(guān)系，利用圖4-3的右手螺旋定則，能夠判定功率密度S的方向是沿半徑增加的方向。這說明電磁能量是以球面波的形式自波源向外傳播的。公式(4-5)成立的條件是電流元的直徑d遠小于其長度l，即dl;電流元的長度l遠小于其波長λ，即l<<λ；波長λ遠小于觀察點的距離r，即λ<<r。這一重要結(jié)果是計算其他各種形式天線輻射場的基礎(chǔ)。圖

4-6輻射場的坐標系

*4.2運動電荷輻射場的簡化計算

電荷是帶電粒子的集合形成的。在遠處觀察時，可將它看成一個點。在以下的討論中，設(shè)它為一個帶電量Q的正點電荷。正點電荷周圍的電場通常用自Q點開始向外輻射的電力線表示。近處密表示場強大，遠處稀表示場強小。在距Q點r處選一根電力線，它和電荷移動的方向成θ角，如圖4-7所示。圖

4-7輻射場的計算

當電荷移動的速度u遠小于自由空間的光速v0時，圖4-7中的電力線在O處和O′處與Q的關(guān)系是一樣的，如圖4-7中的OA和O′B。但為了保持電力線的連通，從OA到O′B必須有一個曲折，如圖4-8所示。圖4-8是圖4-7中電力線曲折處的放大表示。圖

4-8輻射電場的計算

用E‖表示沿電力線方向的電場強度，稱為縱場。用E⊥表示垂直于電力線方向的電場強度，稱為橫場。由圖可知，O′B∥OA。再從B點引出垂直于OA的線段BC，于是橫場E⊥與縱場E‖的大小之比應(yīng)為(4-6)如不然，在A點的電力線不會與靜止電荷的電力線連接，在B點的電力線不會與運動電荷的電力線連接。

兩者的合成方向應(yīng)為曲折的電力線方向。

在式(4-6)中,BC=ABsinθ，而AB又分為兩段。一段是以加速度a在Δt內(nèi)經(jīng)過的距離，其表達式依據(jù)力學原理是a(Δt)2/2。另一段是電荷移動并加速到u以后經(jīng)過的距離ut，t>>Δt。這樣一來，式(4-6)中的BC、AC分別為其中，v0是自由空間(真空)中的光速。將上面兩式代入式(4-6)，由于(Δt)2是二階小量，可以在BC的表達式中略去，于是式(4-6)變?yōu)橛捎趗=aΔt,代入上式，約去分子、分母中的Δt后得

已知，對于點電荷Q在相距r處的電場強度用國際單位制表示為E‖=Q/(4πε0r2)。其中,ε0是自由空間的介電常數(shù)。把這一結(jié)果代入上式，考慮到場自O(shè)到r處經(jīng)歷的時間是t=r/v0,

則橫向電場E⊥的表達式為

這一結(jié)果表示橫向電場的大小和電荷的加速度a成正比，與距離r的一次方成反比。E⊥在θ=0處最小，在θ=90°處最大，表明它的大小有方向性。這一結(jié)果與用嚴密的電磁場理論導出的結(jié)果一致。它是在Δt時間內(nèi)由電荷加速運動而產(chǎn)生的輻射電場，即波動電場。依照球坐標中表示矢量的規(guī)定，E⊥就是圖4-6中的Eθ,即

在推導中，我們認為Δt很小，a為常數(shù)。如果a是時間的連續(xù)函數(shù)，則Eθ式中a應(yīng)認為是a(t)。

下面我們來看電荷作正弦振動的情形。設(shè)電荷Q在z軸的原點上下振動，振動的位移是z=lcosωt。這里l表示振幅，它是指在z軸原點上下振動的最大位移。由此可以算出加速度a=d2z/dt2=-lω2sinωt。于是(4-8)另一方面，如設(shè)q=Qcosωt，則由i=dq/dt而得

i=-Qωsinωt=-Isinωt

(4-9)比較式(4-8)和式(4-9)可知，如果電流振幅I=Qω,則可得這就是說，一個在2l范圍作正弦振動的不變電荷Q可以等效于一個在l線段上作正弦振動的電流元，如圖4-9所示。把式(4-8)中的t改為延遲時間t-(r/v0)之后，將它代入式(4-7)中，再將I=Qω代入即得圖

4-9運動電荷與電流元的等效

將代入上式則為

根據(jù)式(4-1)、式(4-2)和圖4-3的右手螺旋關(guān)系可以斷定相應(yīng)的磁場為

把它們寫成復數(shù)形式即得

(4-10)它就是式(4-5)。這是電流元的輻射場表示式。由于I=Qω，因此Il=Qlω=Pω。這里，P是一對相距極近的等量正負電荷的電矩，即電偶極子的電矩。因此，上述電流元又叫電偶極子。此外，在進一步對天線的計算中它又是計算的基本出發(fā)點，所以，上式又稱為基本振子的輻射場。振子就是有電流在其上振動以激發(fā)電磁波輻射的器件。在天線原理中常用這個名稱，也常用電流元的表示式而不把它化為電偶極子。*4.3基本振子的輻射場

1.方向性電磁波的發(fā)射總有一個波源。在遠區(qū)觀察輻射場時，這個分布在有限區(qū)域的波源可視為一個點源。因此，在輻射問題中所研究的一般是球面波。在這種情形下采用球坐標來表示最合適。在球坐標中通常把Oxy平面稱為赤道面，把Oyz平面稱為子午面，如圖4－10(a)所示。如果把基本振子放在原點且其導體長度與z軸相合，則由圖4-6和式(4-5)中可以看出其電場(磁場也一樣)在子午面內(nèi)隨θ而變化的規(guī)律為正弦函數(shù)sinθ。即θ=0時場為零，θ=90°時場最強。在整個子午面上給定距離r，繞行一周，場強振幅大小的變化為形如8字的兩個圓，如圖4-10(c)所示。在赤道面上如果在給定的距離r上繞行一周，則因式(4-5)所表示的場強與無關(guān)，所以場強處處相同，振幅的軌跡是一個圓，如圖4-10(d)所示。將兩個方面的振幅變化結(jié)合起來，可在空間的一定距離上畫出如圖4-10(b)所示的面圈形。圖4-10(b)是空間的立體方向圖，圖(c)為子午面上的方向圖，圖(d)是赤道面上的方向圖。通常在表示方向圖時，都取相對于最大發(fā)射場強的數(shù)值之比。這樣，在圖4-10(c)中的圓直徑為1，圖(d)中的圓半徑為1。振幅變化的這種方向性是一切天線所固有的基本特性。實際上不存在沒有方向性的天線。圖4-10(c)的赤道面又常稱為水平平面，子午面又常稱為垂直平面。這種稱呼是相對于地面來說的。按這個稱呼，圖4-10(c)就是垂直平面上的方向圖，(d)就是水平平面上的方向圖。此外，還有以無線發(fā)射電波的極化面來區(qū)分的方式。

圖

4-10基本振子的方向性

2.輻射場的極化情況

研究式(4-5)和圖4-6可知，在θ=90°時，電場強度Eθ垂直于赤道面，磁場強度H￠在赤道面上。從原點引出的在赤道面上的任何直線上，電場都是垂直振動的線極化波；磁場都是水平振動的線極化波。因而，子午面就是E面，赤道面就是H面，如圖4-11(a)所示。E面和H面的稱呼決定于天線發(fā)射的電波極化情況。所以，如把振子水平放置，則E面和H面自然就換了位置，如采用E面H面的概念，則圖4－10(c)是E面的方向圖，圖(d)是H面的方向圖。由圖4-11可知，沿x軸或y軸看，電場矢量和振子長度方向平行。通常判定電磁波的極化以電場矢量為準。因此，在振子垂直于地面放置時，它輻射垂直極化波；在振子平行于地面放置時，它輻射水平極化波。前者的E面垂直于地面，后者的E面平行于地面。

圖

4-11輻射場的極化面

3.輻射功率

由式(4-4)可以計算基本振子的平均輻射功率。先計算式(4-4)在一個周期的平均值。它是電場和磁場振幅之積的1/2，

由式(4-5)可知為

這是通過垂直于發(fā)射方向的每單位面積的平均功率。要計算輻射總功率應(yīng)該在一個球面上積分。

已知球面的面積元為

如圖

4-12所示。通過此面元的能流量為

于是總功率應(yīng)為

這里用K代替了不參與積分的各量。上式計算結(jié)果為

即

在自由空間Z0=120π,并用電流的有效值Ie來代替振幅，則

(4-11)式中：長度的基本單位為m;電流的基本單位為A；功率的基本單位為W。圖

4-12輻射功率計算

從這一計算結(jié)果可知，在式(4-5)成立的條件下，頻率越高，振子越長，電流越大，則輻射功率越大。此外，從式(4-11)還可看出，輻射功率與距離r無關(guān)。這一點表明它脫離了波源就不再返回。要得到這一結(jié)果，不僅需要輻射的電場和磁場同相，而且要求它的振輻隨距離r變化的規(guī)律為與1/r成正比。在以上的討論中，我們只說明了輻射場的計算及其特性。實際上離開波源而輻射的電磁場只是電磁場中的一部分。依附于電流和電荷的電磁場始終在波源附近振動而不輻射。在基本振子的情況下，這一部分電磁場也是能夠確切地計算出來的。從計算的結(jié)果可知，依附于波源的電磁場是與1/r2或1/r3成正比的。由它們的橫向分量計算出來的總功率將隨距離的增加而急速減小。這就說明它們不代表輻射功率。這一部分電磁場常稱為感應(yīng)場，又叫近區(qū)場。近區(qū)意味著存在于波源附近。輻射的電磁場則稱為遠區(qū)場。4.4電流環(huán)的輻射場

圖4-13是一個方形電流環(huán)，每邊都是基本振子，放在坐標原點。和y軸對稱的兩邊長為b，和x軸對稱的兩邊長為a。電流的正方向如圖所示。計算的條件仍然是導線的粗細遠小于導線的長度，導線的長度遠小于波長，波長遠小于觀察點P與原點的距離r。從圖上可見，它的電磁場仍然是圍繞著z軸對稱的。所以可以預(yù)期電磁場將與￠角無關(guān)。為簡便起見，我們可在xz平面計算輻射場，如圖4-13(b)所示。在此面上和x軸對稱的小環(huán)兩邊，由于其上電流相反，在P點的場強相對于xz平面完全對稱，所以兩者抵消。因而，只有和y軸對稱的兩邊對P點的電磁場有貢獻。它們的方向都垂直于xz平面。在xz平面上，兩振子的電場相當于式(4-5)中θ=90°時的值，而它們的方向在P點是平行于y軸的。由此，可以寫成后一式中的負號表示它的電流和第一式的相反。在計算振幅時可以認為當r很大時，r1≈r2=r。在計算相位關(guān)系時，不能這樣籠統(tǒng)地近似。因為在這種情況下，r1和r2的差別會在相位上引起顯著的不同。所以我們采用下面的近似：此兩式中加減的一段距離如圖4-13所示。合成場應(yīng)該是兩者的疊加，即Ey=Ey1+Ey2。于是把上述關(guān)系代入以后得

圖4-13方形電流環(huán)輻射場計算在此式中

在a<<λ時它很小。所以sinα(a/2)sinθ≈α(a/2)sinθ=(π/λ)asinθ。于是上式成為其中，A=ab是小環(huán)的面積。所得的結(jié)果就是沿￠角增加的圓弧切線方向的電場E￠。同時，從能流S與電場E￠的關(guān)系可以斷定，相應(yīng)的磁場必然為Hθ。兩者之間的振幅比為Z0。(4-12)在此式中，Hθ的負號表示它指向θ減小的圓弧切線方向。此外，在小環(huán)的情況下，方環(huán)和圓環(huán)是沒有差別的。

式(4-12)所示的電磁場表示于圖4-14中。從圖上可見，E面是水平面(赤道面)，H面是垂直面(子午面)。電場和磁場之間的相位振幅等關(guān)系仍然和基本振子的相同。方向性也沒有變化。不同的是，小環(huán)的輻射場與基本振子的輻射場換了位置。在小環(huán)所在平面內(nèi)，給定距離r繞行一周，場強不變。在垂直于小環(huán)面的平面內(nèi)給定距離r繞行一周，場強振幅的變化為由兩個圓所構(gòu)成的八字形方向圖。由此可見，如果要用小環(huán)作接收天線，應(yīng)該將環(huán)面平行于發(fā)射方向才能使收到的信號最強。收音機中的磁性環(huán)形天線就具有這樣的方向性。圖

4-14小環(huán)的輻射場

用同樣的方向，可以計算出平均輻射功率。即

計算結(jié)果為

如用電流的有效值Ie代替振幅I，并以Z0=120π代入，則得到最后的結(jié)果為(4-13)此式中：尺寸的基本單位為m；電流的基本單位為A；功率的單位即為W。可見，在保持前述的條件之下，頻率越高，電流越大，環(huán)面積越大，則輻射越強。

現(xiàn)在，可以利用式(4-11)和式(4-13)來比較電流元和電流環(huán)的輻射。假定我們把長為l的基本振子，折轉(zhuǎn)為小圓環(huán)，使l=2πa，a是小環(huán)半徑；再利用圓面積的關(guān)系A(chǔ)=πa2就能把式(4-13)變?yōu)樗c式(4-11)之比為

由于我們的計算條件就是l<<λ，可見，小圓環(huán)的輻射功率比小電流元的小得多。這就是為什么一般的發(fā)射天線不采用環(huán)形天線的原因。一個小電流環(huán)可等效為一個磁偶極子。所謂磁偶極子，就是由距離很短的正(北極)負(南極)磁荷Qm形成的偶極子，如圖4-15所示。磁偶極子磁矩可以表示為M=IA。這里，A是電流環(huán)的面積。因此，本節(jié)所講的電流環(huán)的輻射場，又稱為磁偶極子的輻射場。圖

4-15磁偶極子與電流環(huán)

4.5對稱振子的輻射場

把直導線從中間斷開并接入電源作為天線，就稱為對稱振子?？梢园阉醋魇情_路的雙導線傳輸線張開的結(jié)果。當電源正弦變化時，開路線上的電源是正弦駐波，終端是波節(jié)，電流應(yīng)該為零。張開以后仍然是波節(jié)，斷開處傳輸線送入的電流是反向的，張開之后，電流方向變得相同，在斷開處幅度應(yīng)相等。由這兩個要求，再把振子中點放在原點，振子長度與z軸相合，則可設(shè)定張開后振子上的駐波電流振幅的分布形式為I=I0sin(l-|z|)其中：|z|是z軸坐標的絕對值，這樣寫表示原點上下對稱位置的電流幅度一樣；l為振子一半(即一個臂)的長度；I0是駐波的最大振幅，亦即波腹點的電流。實踐證明，這樣設(shè)定的電流分布在導線細且不太長時是與實際情況相符的，見圖4-16。在振子上取dz一段為電流元，把它當做基本振子，則它的輻射電場由式(4-5)可以表示為

在振幅上可以認為r1≈r，在相位因子上則有

r1=r-zcosθ

圖4-16對稱振子的計算代入上式得

各個電流元在遠區(qū)P點處的電場dEθ可以近似地認為是同方向的。因而對上式直接積分就能計算出對稱振子的電場。

所以

利用積分公式

則得

(4-14)相應(yīng)地，對稱振子的磁場和基本振子一樣為H￠，且與電場相比少一個Z0因子，故為(4-15)這就是對稱振子的輻射場。它和基本振子一樣在垂直于振子的平面上(xOy平面)沒有方向性，在包含振子的平面(通過z軸的平面)內(nèi)有方向性。但是它比基本振子復雜得多。如命(4-16)則它在幾種情形下的方向圖如圖4-17所示。圖(a)中1表示基本振子的情況?？梢钥闯?，對稱振子的方向圖比基本振子的更尖銳，且隨著長度相對于波長之比的增加而越來越尖銳。在l/λ＞0.5以后，開始出現(xiàn)副瓣。l/λ=1時，變?yōu)?個同等強度的發(fā)射方向，如圖4-17(b)所示。和上述幾種方向圖對應(yīng)的電流分布情況如圖4-18所示。從圖上可見，方向圖出現(xiàn)副瓣發(fā)生于振子上有反向電流出現(xiàn)的情況下，這時在某些方向上各電流元的輻射可能完全抵消。這種情形在l/λ=1時最嚴重，以至于在水平平面和垂直平面內(nèi)輻射都抵消為零。從對稱振子的這種方向圖的變化可知，如果波長λ不變，要想增加輻射功率必須注意不能無限制地增加天線的長度。反過來，如果天線長度不變，也不能使頻率變得太高。通常在工作中使用的對稱振子為l/λ=1/4的半波振子(即天線的總長為半個波長)。這種振子的方向函數(shù)F(θ)為(4-17)圖

4-17對稱振子方向圖

圖

4-18不同的電流分布

半波振子是對稱振子天線中應(yīng)用最廣的一類。如果導線的饋電端不在中點斷開，則為非對稱饋電。它的理論分析方法比較復雜，這里不做介紹。對稱振子輻射場的極化情況和基本振子一樣。它發(fā)射線極化波，包含振子的極化平面為E面，與振子垂直的極化平面為H面。因此，對稱振子平行于地面放置時發(fā)射水平極化波，垂直于地面放置時發(fā)射垂直極化波。4.6天

線

參

數(shù)

1.輻射功率與輻射電阻

天線的輻射功率是離開波源而不再返回的能量。從這一意義來說，可以把它比做電路上電阻的功率損耗。因為，電阻的功率損耗也是一種無法收回的能量。因此，天線的發(fā)射能力可用輻射電阻來表示。在電路中已知電阻損耗功率為P=I2R。這里，在交流電路情況下，I代表通過電阻之電流有效值。根據(jù)這一點，由式(4-11)和式(4-13)即可判定：小電流元(基本振子)的輻射電阻為(4-18)小電流圈(磁偶極子)的輻射電阻為

(4-19)如果不用電流的有效值而用電流的振幅來計算，則輻射電阻應(yīng)由P=I2Rr/2來確定。在此式中，P是輻射功率，I是電流振幅。但是實際的天線上各點的電流振幅又不相同。所以，輻射電阻的數(shù)值會隨所選定的電流大小而變。在一般的駐波天線中，常以波腹電流為準。即輻射電阻由下式來確定：(4-20)其中，I0是波腹電流。由此我們可以計算對稱振子的輻射電阻。

由TEM波的平均能流S與電場強度振幅E0的關(guān)系 可知，輻射功率為

其中，E0θ是式(4-14)中除去復數(shù)因子的振幅部分?？紤]到Z0=120π，故(4-21)把式(4-21)代入輻射功率公式，則得

于是相對于波腹電流的輻射電阻Rr為

積分結(jié)果是一個相當冗長的計算式，在此不再介紹。通常由圖4-19的曲線來說明這樣算出的輻射電阻隨天線相對長度l/λ的變化情況。圖

4-19對稱振子的輻射電阻

如果天線本身的熱損耗可以忽略，則輻射功率就是饋電端的輸入功率。已知對稱振子饋電端的電流振幅為并令Rin表示輸入電阻，則由

可知

(4-23)由此可見，如為半波振子，則l/λ=1/4，于是Rin=Rr。這是因為半波振子饋電端的電流振幅就是波腹電流。從式(4-23)可知，當l為λ/2的整數(shù)倍時，Rin→∞。這一結(jié)果顯然是不對的。這情形也告訴我們，認為對稱振子上的電流是正弦駐波分布只是一種近似，它在l為λ/2的整數(shù)倍時毫無意義，但在實際情況中，人們總是采用半波振子，因此這種假定是有實際意義的。

2.天線的輸入阻抗一個天線在工作時，除脫離波源而輻射的電磁場外還有依附于天線而振蕩的電磁波。前者可以等效為電阻，后者可以等效為電抗。因此，從電路觀點看，天線是一個阻抗。從天線與傳輸線匹配的觀點來看，需要具體地確定天線的阻抗，以便于采取措施使天線和傳輸線匹配良好。所以，對于每一種天線，確定它的阻抗計算關(guān)系是很重要的工作。但是，當我們這樣做時將遇到很大的困難。因此，常采用近似的方法來計算它。下面我們介紹一種最簡單的等效傳輸線法。

等效傳輸線法就是把天線看作終端開路的平行雙導線，如圖4-20(a)所示。由于在傳輸線中依附于導體的電磁場能夠用確定的電路參數(shù)來描述，因此，把天線與之等效以后也能求得相應(yīng)的阻抗。在第2章講到有損耗傳輸線時曾經(jīng)求得開路線的輸入阻抗表示式為式(2-47)，即

其中，Zc0是無損耗線的特性阻抗，即 ；l是傳輸線的長度。把上式中實部和虛部分開之后可寫為(4-24)式中：Zc0由下式計算：

其中：D是線間距，r為線的半徑。β是衰減常數(shù)，在高頻時β=R/(2Zc0);其中，R為單位長的電阻。α是相移常數(shù)，即α=2π/λ。把對稱天線等效為開路傳輸線，認為天線導體的半徑和傳輸線一樣，工作波長和相移常數(shù)也一樣。不同的是無損耗特性阻抗Zc0和衰減常數(shù)β。

先算Zc0。在傳輸線上，Zc0在各處都是一樣的。但在天線上由于線間距離處處不一樣，故它的特性阻抗也隨之而變。由圖4-20(b)可見，此時相應(yīng)的線間距D=2Z。為了獲得一個確定的數(shù)值，我們來計算平均單位長度的特性阻抗。即

計算出的結(jié)果為

(4-25)其次計算衰減常數(shù)。為此，必須先算單位長度電阻。在計算時，我們略去導線本身的電阻，而把單位長度電阻視為天線的輻射電阻，這樣傳輸線的損耗變成了天線的輻射損耗。參考圖4-20，設(shè)等效傳輸線上任一處的電流為I(z)，則整個傳輸線上的損耗功率為

令它等于式(4-22)中的輻射功率，

則

圖4-20計算平均特性阻抗在對稱振子中曾設(shè)I(z)=I0sinα(l-z)，把這一式子代入上式積分后，即可算出等效的單位長度電阻為(4-26)由此可以把衰減常數(shù)寫成

(4-27)圖

4-21對稱振子輸入阻抗

3.天線的效率

設(shè)P是天線的發(fā)射功率，P0是輸入到天線的功率，天線的損耗功率為PL。顯然，PL=P0-P。由此，天線的效率可規(guī)定為(4-28)天線的損耗功率包括：天線中的電阻損耗、介質(zhì)損耗和感應(yīng)損耗。后者是指天線的架設(shè)設(shè)備中和地中感應(yīng)電流引起的損耗。天線的效率常用百分數(shù)表示。一般實際的數(shù)值大約為：長波天線η=10%～40%；中波天線η=70%～80%；短波天線η=90%；超短波及微波天線η=100%。

4.方向圖和主瓣寬度

表示天線場強大小與方向關(guān)系的圖稱為方向圖。一般來說，場強的方向性可用球坐標的兩個角變量θ和￠來表征，這種情形下，表示天線方向性的函數(shù)F(θ,￠)規(guī)定為

即

(4-29)在此式中，|E(θ,￠)|是某個方向上的場強振幅；|EM|是最大發(fā)射方向的場強振幅。

除依場強的方向性函數(shù)畫方向圖外，還常依平均能流S(θ,￠)來畫天線的方向圖。顯然，S(θ,￠)與F2(θ,￠)成正比。圖4-22是以極坐標和直角坐標表示的天線方向圖。圖上虛線是功率流[AKS-]的方向圖。天線的方向性一般不采用空間的立體方向圖表示，而采用兩個特定的互相垂直的平面上的方向圖表示。這種方向圖是空間方向圖與這兩個平面的交線。這兩個平面可取赤道面(水平平面)和子午面(垂直平面)；也可依天線本身發(fā)射的電波極化平面取E面和H面。

依據(jù)方向圖可以確定主瓣寬度。所謂主瓣寬度，即是輻射功率密度降至最大輻射方向一半時的兩個發(fā)射方向之間的夾角，如圖4-22中的2θ0。對場強來說，是指場強降至最大方向值的1/＝0.707時的主瓣寬度。例如，米波的引向天線2θ0約為幾十度到十幾度；米波的同相水平天線約為十幾度到幾度；

厘米波的拋物面天線為幾度或1°以下。

圖4-22天線的方向圖

5.方向系數(shù)和增益系數(shù)實際的天線都是有方向性的，它們發(fā)射的功率密度S并非在各個方向都是相同的，但為了確定一個反映方向性的參數(shù)，我們可以設(shè)想存在著一種各向同性的發(fā)射。換句話說，如果我們把天線輻射的總功率P平均地分配到各個方向上，那么在各個方向的功率密度將是一樣的。

這就是各向同性輻射。如用Sa表示這種輻射功率密度，則

(4-30)其中，分母表示半徑為r的球面積。由此可以定義方向系數(shù)D，它是實際的能流密度S與這個Sa之比，即(4-31)可見，方向系數(shù)是在相同的發(fā)射功率條件下，在某一方向上，有方向性天線與無方向性天線相比的功率密度增加的倍數(shù)。

在自由空間發(fā)射的球面波是TEM波。如用EA表示有方向性天線某點輻射電場的振幅，則

(4-32)于是從式(4-30)、

式(4-31)和式(4-32)可計算出

(4-33)由此可見，方向系數(shù)D的意義又可以理解為：在輻射場中同一點要獲得相同的場強時，無方向性天線的發(fā)射功率要比有方向性天線的發(fā)射功率增加的倍數(shù)。即原來的發(fā)射功率若為P，則現(xiàn)在要增加到PD?；蛘哒f是在同一點保持相同場強時，把無向天線改為有向天線時，總發(fā)射功率減少的倍數(shù)。例如，對于基本振子，由式(4-10)可知：把它代入式(4-32)可計算出S。然后從式(4-10)求得其輻射功率再代入式(4-30)，就能算出Sa。這樣由式(4-31)算出的方向系數(shù)為D=1.5sin2θ

在最大發(fā)射方向上，，于是,D=1.5。這是基本振子的方向系數(shù)。對于對稱振子天線系統(tǒng)，

由式(4-14)可知，

在一般情況下有

代入式(4-32)得

另一方面由式(4-20)可知：

然后利用式(4-31)就能算出這類天線的方向系數(shù)為

(4-34)實際上通常所說的天線方向系數(shù)就是指天線在最大發(fā)射方向的方向系數(shù)，

即

(4-35)例如，對半波振子l/λ=1/4，從式(4-17)可知，F(xiàn)max(θ)=1，從圖4-19查出,Rr=73.1Ω。由此算出D=1.64。方向系數(shù)在米波引向天線為幾十；在米波同相水平天線陣為幾百；在微波拋物面天線可達幾千以上。方向系數(shù)又常用分貝(dB)數(shù)表示，即D(dB)=10lgD

(4-36)如果不用發(fā)射功率P，而以天線輸入端的功率P0來定平均能流密度，并用S0表示，則可以得到和式(4-31)相似的關(guān)系，用G表示，稱為天線的增益系數(shù)，即(4-37)式中：

即認為用無方向性天線以η=100%的效率發(fā)射，于是全部天線輸入功率成為理想的無方向性天線的發(fā)射功率。將式(4-33)代入式(4-32)中，并考慮到上式就能算出增益系數(shù)G與方向系數(shù)D的關(guān)系為式中，η為天線的效率。在超高頻天線中由于η≈1，故增益系數(shù)G和方向系數(shù)D沒有差別。增益系數(shù)也常用分貝表示，

即

G(dB)=10lgG

(4-39)(4-38)

6.天線的通頻帶把上述天線參數(shù)符合所規(guī)定的技術(shù)要求時的工作頻率范圍，稱為天線的通頻帶。在涉及天線的帶寬時，要特別注意的是方向函數(shù)、增益特性、副瓣電平、極化和阻抗等隨頻率的變化情況。一般天線通頻帶的相對寬度Δf/f0×100%可以是百分之幾至百分之幾十，這主要決定于天線的種類和結(jié)構(gòu)。

7.天線的有效面積

有效面積是接收天線的一個重要參數(shù)。它的定義是：接收的最大功率Pmax和在接收點的功率密度S之比。前者的單位為W，后者的單位為W/m2。所以，兩者之比的單位是面積，即

(4-40)其中，A表示有效面積。根據(jù)這一定義可以導出有效面積A與方向系數(shù)D之間的關(guān)系：

(4-41)4.7二元振子系的方向性

1.二元振子的一般情況

在式(4-14)中，如果把表示方向性的函數(shù)F(θ)去掉，則電場強度為此式表明，在r一定的球面上，Eθ的大小處處相同。

因此，這是各向同性輻射場。但是電場強度是一個矢量，各波源發(fā)射的電場應(yīng)該是矢量相加。不過由于我們只在一定的平面上研究系統(tǒng)的方向性，而這個平面或者與電場垂直或者與電場矢量相合，如圖4－23所示。不論是哪一種情況，都可以用兩個電場的代數(shù)和來代替矢量和。因為，在電場垂直于所研究的平面時，各矢量是平行的，它們的矢量和就是代數(shù)和；在電場矢量處于所研究的平面上時，只要足夠遠，各電場矢量在方向上的差異也很小，可以忽略，所以仍然能用代數(shù)和來代替矢量和。圖4-23兩電場的疊加(a)兩電場垂直于紙面；

(b)兩電場在紙面上

為簡單起見，我們用常數(shù)K代表上式中不隨空間變化的部分。于是對圖4-23所示的兩個波源，可設(shè)由A發(fā)出的電場為

由B發(fā)射的電場為

即相距為d的兩振子，電流振幅相同，相位不同，EB超前于EA一個￠角。觀察點P與坐標原點的距離為r，與橫坐標的夾角為θ。由圖4-24可知：圖4-24計算合成場在計算振幅時可認為r1≈r2≈r。把這些結(jié)果代入就能算出E：或者寫為

(4-42)這是二元各向同性振子合成場的一般性結(jié)果。這一結(jié)果告訴我們在給定方向(例如θ一定)上，電場振幅的大小基本上決定于兩個因素。一個是因振子位置不同，到達觀察點的波程不同而引起的相位差。波程差導致的相位差由α(d/2)sinθ反映出來。另一個是振子上激勵電流的相位差。這個相位差由￠反映出來。注意到這兩者，就容易從概念上判定方向性。2.二元振子系的特殊情況

第一種情形：兩電流同相，￠=0。這時式(4-42)變?yōu)?4-42)此式表明，由無方向性的振子排列起來能夠得到有方向性的場強。在θ=0，即在垂直于振子連線的中心軸上，場強最大為2E0。這個方向是最大發(fā)射方向。因為，一方面波源同相；一方面兩振子到此軸線上任一點所經(jīng)過的距離相同，即由路程而引起的相位差一樣；所以在此軸線上任一點兩個電場同相相加，構(gòu)成了最大發(fā)射方向。在θ≠0的其他點，如果(πd/λ)sinθ是2π的整倍數(shù)，則場強振幅最大；如果(πd/λ)sinθ是π的奇數(shù)倍，則場強為零。這些場強的最大值和零值在最大發(fā)射方向兩邊對稱地分布。這種情況下有一種很有用的例子，是當振子相距λ/2的情形。這時在式(4－43)中以d=λ/2代入則得(4-44)這時，場強的方向圖上有兩處極大值，即θ=0和θ=180°；有兩處零值，即θ=90°和θ=270°；如圖4-25所示。最大發(fā)射方向在連接振子的直線兩邊，并在中點處垂直于此連接直線。圖

4-25相距半波同相激勵

第二種情形：兩電流反相，￠=π。這時式(4-42)變?yōu)?/p>

即

(4-45)此式表明，θ=0的方向是電場為零的方向。在此方向的兩邊對稱地分布著場強的極大值和零點。當(πd/λ)sinθ是π/2的奇數(shù)倍時，場強為極大值2E0；當(πd/λ)sinθ是π的整數(shù)倍時，場強為零。

在此情況中一個有用的特例為d=λ/2的情形。這時式(4-43)變?yōu)?/p>

(4-46)它表明最大發(fā)射方向在θ=90°和θ=270°的位置；零方向在θ=0°和θ=180°的位置。整個方向圖如圖4-26所示，與圖4-25相比恰好轉(zhuǎn)了90°。兩個最大發(fā)射方向和連接振子的直線一致。這一點可以由波源和波程的相位來解釋。由于波源是反相激勵的，而沿θ=0的直線上任一點與波源的距離相等，沒有路程引起的相位差，因此在此直線上任一點的電場處處反相抵消為零。在θ=90°的方向上，振子B的電流反相，被經(jīng)過λ/2的路程引起的180°相移所補償，故在此直線上任一點的電場處處同相加，形成最大發(fā)射方向。

圖

4-26相距半波反相激勵

第三種情形：兩振子電流相位差￠=π/2。這時式(4-42)成為

此式可化為

然后計算其幅度，最后得到

(4-47)在此情況下有一個特殊的例子是當d=λ/4的情形。這時式(4-47)變?yōu)?/p>

(4-48)由此可見，θ=0時， ；θ=90°時，E=2E0為最大；θ=180°時，E=2E0；θ=270°時，E=0。它所表示的方向圖如圖4-27所示，常稱為心形方向圖。這一結(jié)果說明當振子相距λ/4時，激勵電流超前90°的振子好像變成了一個反射器，把電場向另一振子方向反射過去，以致最大發(fā)射方向是從相位超前90°的振子指向落后于它90°的振子方向。

這是因為在θ=90°的線上，也就是振子的連線上靠振子A的一邊，其上任一點由B發(fā)出的波經(jīng)過λ/4波長的距離后，有90°的滯后，把原來超前90°激勵的相位抵消了，故它在該點的波和振子A發(fā)出的波同相，因此使該方向發(fā)射最強。反過來，如果在圖4-27中的振子上，A的激勵電流超前于B，則A將成為反射器使最大發(fā)射方向轉(zhuǎn)變到θ=-90°的位置。圖

4-27心形方向圖

3.方向圖相乘原理在上述關(guān)于二元振子的討論中，我們暫時略去了振子本身的方向性，而僅由振子的排列和電流的大小相位來獲得一定的方向性。這樣做至少需要兩個振子。兩個以上的天線依一定的規(guī)則排列，依一定的規(guī)則饋電，就稱為天線陣。由此而得到的方向圖函數(shù)叫做陣因子。方向圖相乘的原理告訴我們，如果每一振子有同樣的方向函數(shù)f(θ,￠)，用這種振子排列天線陣所得的陣因子為F(θ,￠)，那么整個天線陣的方向圖就由兩者之積f(θ,￠)F(θ,￠)決定。有兩個半波天線，平行放置，相距λ/4，第一振子的激勵電流超前于第二振子90°，求在垂直于振子的平面(H面)和在包含振子的平面(E面)上的方向圖。已知在垂直于振子的平面上，振子本身無方向性，它的方向圖是原點為中心的圓。但由圖4-27可知它的陣因子為 ，兩者相乘，方向圖的函數(shù)式仍與式(4-48)所表示的一樣，如圖4-28(a)所示。在包含振子的平面內(nèi)，已知單個半波振子的方向圖如圖4-17所示。它乘上式(4-48)所示的方向函數(shù)之后，應(yīng)為圖4-28二元半波振子方向圖(a)H面方向圖；

(b)E面方向圖

4.8反射面的影響

反射面就是金屬導體面或地面。它們與天線的輻射有密切關(guān)系。在處理地面對天線輻射的影響時，常常首先把它看作理想的金屬導體平面，然后再依實際地面的情況對計算結(jié)果作修正。

所以，本節(jié)主要說明理想的導體面對天線的影響。

導體面對天線的影響，可根據(jù)鏡像原理來處理。這個原理指出導體面的影響可以看成是在導體面下對稱位置有一相同的天線輻射的結(jié)果。換言之，就是把導體面對電磁波的反射用一個在反射面后對稱位置的假想天線來代替。這一假想天線的位置和電流方向應(yīng)依照交界面對稱點的電荷反號這一原則來判定。由此可得出圖4-29所示的各種位置天線的鏡像。由圖可見，垂直天線的鏡像電流與原天線的同向；水平天線的鏡像電流與原天線的反向。

圖

4-29鏡像原理

應(yīng)當指出，鏡像天線的作用只是為了計算面上空間的輻射場。把它用于面下是沒有意義的。根據(jù)這一點我們可以采用二元振子系的計算方法來研究天線置于導體面上的輻射場。當天線平行于導體面放置時，鏡像天線的電流和它相反，相當于兩天線反相激勵。設(shè)此水平天線與導體面的距離為H，則由圖4-26可知，只要把式(4-45)中的d用2H代替就能得出導電面對水平振子的影響。即表示方向的因子為(4-49)如圖4-30(a)所示。對于垂直導體面的振子，則可參看式(4-43)及圖4-25而得出，即

(4-50)如圖4-30(b)所示。如上述導體面是地面，則式(4-49)適用于水平振子，式(4-50)適用于垂直振子。這時，Δ稱為仰角，H是天線距地面的高度。

圖

4-30反射方向因子的導出

式(4-49)和式(4-50)告訴我們，完全反射面的影響可使一個無方向性天線也具有瓣形結(jié)構(gòu)的方向圖。產(chǎn)生這種方向性的原因主要是電流相位和波程相位的不同。圖4-31表示了一個水平振子和一個垂直振子放在地面上而把地面視為理想導體時的方向圖。同時也指明了當?shù)孛婢哂杏邢揠妼蕰r的結(jié)果(虛線)。

圖4-31地面對天線的影響(a)水平天線；

(b)垂直天線

4.9互易原理簡述

電路中的互易原理，最簡單的形式如圖4-32所示。該原理指出：理想的電壓源U(無內(nèi)阻抗)在支路1中，它在支路3中產(chǎn)生電流I；如把此電壓源自支路1中取出(取出后電路接通)安放到支路3中，則它在支路1中產(chǎn)生的電流仍然為I。對于圖4-32所示的簡單電路，

可以通過直接計算來證明。

圖

4-32電路互易原理

將此原理更形象地應(yīng)用于天線則是在圖4-33所示的網(wǎng)絡(luò)中，具有零值內(nèi)阻抗的電源位置和電流計(圖上A)的位置可以互換而不影響電流計的讀數(shù)。根據(jù)這一原理可知一個天線可用作發(fā)射，也可用于接收。不論用于發(fā)射或接收，天線的性能和參數(shù)都不變?；ヒ自泶嬖诘臈l件是電路阻抗值與電流或電壓無關(guān)，即電路必須是線性的。同時，在搬動電壓源時應(yīng)把實際電源的內(nèi)阻抗留下，在搬動電流表時也應(yīng)把實際的電表內(nèi)阻抗留下。此外，該原理用在天線中時還要求傳播介質(zhì)的電參數(shù)(ε,μ)與電場強度和磁場強度無關(guān)，即要求介質(zhì)是線性的，例如不存在氣體放電、磁飽和現(xiàn)象及電離區(qū)域等。圖

4-33天線的互易原理

4.10惠

更

斯

原

理

波是由波源的振動產(chǎn)生的。波是這種振動的傳播。波在傳播過程中又依次在介質(zhì)中激起振動。因此，我們可以設(shè)想，在一定的介質(zhì)中傳播的波，其波陣面的每一點都可視為向下一步傳播的新波源。從這一概念出發(fā)提出了惠更斯原理?；莞乖碚J為，在前進中的波陣面上每一點的作用都相當于一個小球面波源,見圖4-34(a)。從這些波源產(chǎn)生了二次發(fā)射的球面子波。相繼的波陣面就是這些二次子波波陣面的疊加?；蛘邚膸缀斡^點來說，新的波陣面是和這些子波波面相切的曲面。這一曲面又稱為包絡(luò)面。在圖4-34(b)中，A是原波陣面，A′是傳播中的下一個波陣面?？梢钥吹紸′和A上各個球面子波波面的包絡(luò)面。

這些小球面波源。

常稱為惠更斯源。

圖4-34惠更斯原理(a)平面波；

(b)球面波；

(c)任意曲面波

應(yīng)用惠更斯原理時要注意的是，某一波陣面上的惠更斯源只對構(gòu)成下一波陣面有作用，它在原波陣面后方不起作用。這一點在原則上是可以證明的(證明過程從略)。惠更斯原理是波動中的一個普遍原理。在機械波和電磁波中都同樣適用。但是，電磁波是本身以波動形式存在的電磁場。因此，就電磁波而言，惠更斯源就是在傳播過程中，在一定的波陣面上振動著的電磁場。下面我們進一步說明在電磁場中這種惠更斯源的性質(zhì)。

圖

4-35波陣面上的面元

設(shè)想在空間傳播著橫電磁(TEM)波，我們在它的波陣面上取很小的一個小方塊。在此方塊上電場強度E和磁場強度H都是均勻分布的。如把此面元放在坐標原點與xy平面相合，則將如圖4-35所示。電場E在x軸正方向，磁場H在y軸正方向，傳播方向為z軸正方向。此外，根據(jù)TEM波的特點，在傳播中，儲存于電場和儲存于磁場的能量是相同的。因此，如果要把此面元上的E和H看作惠更斯源，則電場E的振動將激起一個電磁場；磁場H的振動也將激起一個電磁場。這兩個電磁場之和才是此面元上電磁場激起的子波輻射場。那么什么樣的輻射源所產(chǎn)生的電磁場，才分別與圖4-35所示的電場和磁場相當呢?為此，需要回憶電偶極子(電流元)和磁偶極子(電流環(huán))的電磁場。由圖4-7和圖4－14可知，如果像圖4-36那樣放置電偶極子和磁偶極子，則相應(yīng)的磁場和電場將如圖4－35那樣。因此，橫電磁(TEM)波波陣面上任一點的惠更斯源可用電偶極子和磁偶極子來等效。從這種等效可以導出惠更斯源所產(chǎn)生的輻射場的一般表示式。

圖4-36等效惠更斯源(a)電偶極子；

(b)磁偶極子

在圖4-37中于坐標原點處，沿x軸的負方向放置電偶極子，用↓表示；沿y軸的正方向放置磁偶極子(與電流環(huán)中的電流成右手關(guān)系的方向),用←表示。它們在z軸上一點S處的電場和磁場如圖4-37所示，上標e表示電偶極子的場，上標m表示磁偶極子的場。場的方向分別依據(jù)式(4-5)和式(4-12)來決定。由此可見，在此圖中，x