2025高考數(shù)學一輪復習-第7章-第3節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關系【課件】

第七章立體幾何與空間向量第3節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.與平面有關的基本事實及推論(1)與平面有關的三個基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過________________的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α不在一條直線上基本事實2如果一條直線上的________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條__________________P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l兩個點過該點的公共直線(2)基本事實1的三個推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過__________和這條直線外一點，有且只有一個平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過__________直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過__________直線，有且只有一個平面一條直線兩條相交兩條平行2.空間點、直線、平面之間的位置關系

直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨有關系圖形語言

符號語言a，b是異面直線a?α

3.基本事實4和等角定理(1)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線__________.(2)等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角____________.4.異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任意一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：________.互相平行相等或互補1.過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.2.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.常用結論與微點提醒1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)×××解析(1)兩條平行直線也沒有公共點，故錯誤.(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故錯誤.(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故錯誤.(4)由于a不平行于平面α，且a?α，則a與平面α相交，故平面α內(nèi)有與a相交的直線，故錯誤.(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線.(

)(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線.(

)(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.(

)(4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的所有直線與a異面.(

)×2.(必修二P128T2改編)下列命題正確的是(

)A.空間任意三個點確定一個平面B.一個點和一條直線確定一個平面C.空間兩兩相交的三條直線確定一個平面D.空間兩兩平行的三條直線確定一個或三個平面D解析A中，空間不共線的三點確定一個平面，A錯；B中，只有點在直線外時才能確定一個平面，B錯；C中，空間兩兩相交的三條直線確定一個平面或三個平面，C錯，故只有選項D正確.

3.(必修二P147例1改編)在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝1，AA′＝2，

則直線BA′與AC所成角的余弦值為________.解析如圖，連接CD′，易知CD′綉B(tài)A′，則∠ACD′是直線BA′與AC所成的角，4.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則 (1)當AC，BD滿足條件_________時，四邊形EFGH為菱形； (2)當AC，BD滿足條件__________________時，四邊形EFGH為正方形.AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD解析(1)要使四邊形EFGH為菱形，應有EF＝EH，(2)要使四邊形EFGH為正方形，應有EF＝EH且EF⊥EH，考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一基本事實的應用例1

已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.

求證：(1)D，B，E，F(xiàn)四點共面；證明如圖所示，連接B1D1.因為EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，E，F(xiàn)四點共面.(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；證明在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C，設A1，C，C1確定的平面為α，又設平面BDEF為β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點，同理，P是α與β的公共點.所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點共線.(3)DE，BF，CC1三線交于一點.證明因為EF∥BD且EF<BD，所以DE與BF相交，設交點為M，則由M∈DE，DE

平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點.感悟提升共面、共線、共點問題的證明方法(1)證明共面的方法：①先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②證明兩平面重合.(2)證明共線的方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明線共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.訓練1(1)在三棱錐A－BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，若EF∩HG＝P，則點P(

)A.一定在直線BD上

B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上

D.不在直線AC上，也不在直線BD上B解析因為EF∩HG＝P，E，F(xiàn)，G，H四點分別是AB，BC，CD，DA上的點，所以EF在平面ABC內(nèi)，HG在平面ACD內(nèi)，所以P既在平面ABC內(nèi)，又在平面ACD內(nèi)，所以P在平面ABC和平面ACD的交線上，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.(2)如圖，P，Q，R，S分別是正方體或四面體所在棱的中點，則在下列圖形中，這四個點不共面的一個圖是(

)D解析A中，由PQ與SR相交，知P，Q，R，S四點共面；B中，由QR與PS相交，知P，Q，R，S四點共面；C中，由PQ∥SR，知P，Q，R，S四點共面；D中，由QR和PS是異面直線，并且任意兩個點的連線既不平行也不相交，知四點不共面.考點二空間兩直線位置關系的判斷例2(1)(2024·鶴壁模擬)已知a，b，c是三條不同的直線，有下列三個命題：①若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線；②若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；③若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面.其中真命題的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3A解析對于①，若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c相交不是異面直線，如圖，故①為假命題；對于②，若a和b相交，b和c相交，則a和c可能相交、平行、異面，故②為假命題；對于③，若a和b共面，b和c共面，則a和c共面，錯誤，如上圖，AA′(a)與AB(b)共面，AB(b)與BC(c)共面，但AA′(a)與BC(c)異面，故③為假命題.故真命題的個數(shù)為0.故選A.(2)(多選)(2024·重慶名校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，當點P在線段BC1上(不包含端點)運動時，下列直線中一定與直線OP異面的是(

)A.AB1

B.A1C

C.A1A

D.AD1BCD解析對于A，如圖①，連接AB1，C1D，BD，當P為BC1的中點時，OP∥DC1∥AB1，故A不正確；對于C，如圖②，因為A1A?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O

A1A，P

平面AA1C1C，所以直線A1A與直線OP一定是異面直線，故C正確；對于B，如圖②，連接A1C，A1C1，AC，因為A1C

平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O

A1C，P

平面AA1C1C，所以直線A1C與直線OP一定是異面直線，故B正確；對于D，如圖③，連接AD1，D1C，AC，因為AD1?平面AD1C，O∈平面AD1C，O

AD1，P

平面AD1C，所以直線AD1與直線OP一定是異面直線，故D正確.故選BCD.感悟提升1.要判斷空間中兩條直線的位置關系(平行、相交、異面)，可利用定義，借助空間想象并充分利用圖形進行思考.判斷空間直線的位置關系，一般有兩種方法：一是構造幾何體(如正方體、空間四邊形等)模型來判斷；二是利用排除法.2.異面直線的判定方法：(1)反證法；(2)直接法.訓練2(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是(

)A.平行

B.異面C.相交或平行

D.平行或異面或相交均有可能D解析根據(jù)條件作出示意圖，得到以下三種可能的情況，如圖可知AB，CD有相交、平行、異面三種情況，故選D.(2)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示GH，MN是異面直線的圖形的序號為________.②④解析根據(jù)異面直線的定義可知，在題圖②④中，直線GH，MN是異面直線.在題圖①中，由G，M均為所在棱的中點可知GH∥MN.考點三求異面直線所成的角D解析法一如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接C1P，BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角，設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，法二如圖，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角，由P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點.易知A1B＝BC1＝A1C1，30°解析設BD的中點為O，連接EO，F(xiàn)O，所以EO∥AD，F(xiàn)O∥BC，則∠EOF(或其補角)就是異面直線AD與BC所成的角.所以∠EOF＝150°，從而異面直線AD與BC所成角的大小為30°.感悟提升綜合法求異面直線所成角的步驟：(1)作：通過作平行線得到相交直線；(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補角)；(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.C解析法一如圖所示，連接B1C，因為A1B1∥AB，所以∠B1A1C即為異面直線A1C，AB所成的角.因為AA1＝AC＝BC＝1，法二如圖，將直三棱柱補形為正方體ACBD－A1C1B1D1，連接BD1，AD1，則D1B∥A1C，所以異面直線A1C與AB所成的角即直線D1B與AB所成的角，課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(多選)下列推斷中，正確的是(

)A.M∈α，M∈β，α∩β＝l?M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l

α，A∈l?A

αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合ABD解析對于A，因為M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實3可知M∈l，A正確；對于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB

β，則α∩β＝AB，B正確；對于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)

α，A∈l，但A∈α，C錯誤；對于D，有三個不共線的點在平面α，β中，故α，β重合，D正確.2.若直線上有兩個點在平面外，則(

)A.直線上至少有一個點在平面內(nèi)

B.直線上有無窮多個點在平面內(nèi)C.直線上所有點都在平面外

D.直線上至多有一個點在平面內(nèi)D解析根據(jù)題意，兩點確定一條直線，那么由于直線上有兩個點在平面外，則直線在平面外，只能是直線與平面相交，或者直線與平面平行，那么可知直線上至多有一個點在平面內(nèi).3.(多選)下列命題中不正確的是(

)A.空間四點共面，則其中必有三點共線B.空間四點不共面，則其中任意三點不共線C.空間四點中有三點共線，則此四點不共面D.空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面ACD解析對于平面四邊形來說不成立，故A不正確；空間四點不共面，則其中任何三點不共線，否則由直線與直線外一點確定一個平面，這空間四點共面，故B正確；由B的分析可知C不正確；平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故D不正確.4.(2024·廣州模擬)已知α，β，γ是三個不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，則下列結論正確的是(

)A.直線b與直線c可能是異面直線B.直線a與直線c可能平行C.直線a，b，c必然交于一點(即三線共點)D.直線c與平面α可能平行C解析因為α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ.因為β∩γ＝c，所以O∈c，所以直線a，b，c必然交于一點(即三線共點)，故A，B錯誤，C正確；假設直線c與平面α平行，由O∈c，可知O

α，這與O∈α矛盾，故假設不成立，D錯誤.5.(2024·金華模擬)已知直線l、平面α滿足l

α，則下列命題一定正確的是(

)A.存在直線m

α，使l∥mB.存在直線m

α，使l⊥mC.存在直線m

α，使l，m相交B解析對于A，若直線l與α相交，則α內(nèi)的直線與l相交或異面，因此若l與α相交，則不存在直線m

α，使l∥m，故A錯誤；對于B，由于l

α，所以l與α相交或平行，不論是相交還是平行，均可在α內(nèi)找到與l垂直的直線m，故B正確；對于C，當l∥α時，α內(nèi)的直線與l平行或異面，所以不存在m

α，使l，m相交，故C錯誤；6.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確的是(

)A.A，M，O三點共線

B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面

D.B，B1，O，M共面ABC解析∵M∈A1C，A1C

平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即A，M，O三點共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選ABC.C解析法一如圖，補上一相同的長方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角(或其補角).因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，法二如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM，易知點O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角(或其補角).8.已知a，b，c是不同直線，α是平面，若a∥b，b∩c＝A，則直線a與直線c的位置關系是___________；若a⊥b，b⊥α，則直線a與平面α的位置關系是___________.相交或異面解析a，b，c是不同直線，α是平面，因為a∥b，b∩c＝A，所以直線a與直線c的位置關系是相交或異面.因為a⊥b，b⊥α，則直線a與平面α的位置關系是a∥α或a?α.a∥α或a?α9.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.4解析因為AB∥CD，由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個側面，與另外四個側面相交.10.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，過O點作一條直線l

與A1D平行，設直線l與直線OC1的夾角為θ，則cosθ＝________.解析如圖所示，設正方體的表面ABB1A1的中心為點P，容易證明OP∥A1D，所以直線l即為直線OP，∠POC1＝θ或π－θ.設正方體的棱長為2，則11.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；證明因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.證明因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點.又平面ABC