2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第7章-第8節(jié) 空間距離【課件】

第七章立體幾何與空間向量第8節(jié)

空間距離會用幾何法與向量法求點到直線、點到平面的距離.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE圖23.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l，m之間的距離，可在其中一條直線l上任取一點P，則兩條平行直線間的距離就等于點P到直線m的距離.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)平面α上不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β.(

)(2)點到直線的距離也就是該點到直線上任一點連線的長度.(

)(3)直線l平行于平面α，則直線l上各點到平面α的距離相等.(

)(4)直線l上兩點到平面α的距離相等，則l平行于平面α.(

)××√解析(1)當(dāng)平面α上三點在平面β的兩側(cè)時，α與β相交.(2)點到直線的距離是過該點作直線的垂線，該點與垂足之間的距離.(4)直線l上的兩個點在平面α的兩側(cè)時，l與平面α相交.×解析由題意，點F到平面ABC的距離為

4.如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，

則平面AMN與平面EFBD間的距離為________.解析以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，N(4，2，4).易知MN∥EF，MN?平面AMN，EF

平面AMN，∴EF∥平面AMN，又BF∥AM，AM?平面AMN，BF

平面AMN，∴BF∥平面AMN，∵EF∩BF＝F，EF，BF?平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一利用幾何法求距離A解析如圖，取PA的中點M，連接BM，CM，因為PB⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以PB⊥BC，又因為AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因為M是PA的中點，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC?平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM?平面BCM，所以CM⊥PA，即CM為點C到直線PA的距離.(2)(2024·安慶模擬)一底面半徑為1的圓柱，被一個與底面成45°角的平面所截(如圖)，O為底面圓的中心，O1為截面的中心，A為截面上距離底面最小的點，A到圓柱底面的距離為1，B為截面圖形弧上的一點，且∠AO1B＝60°，則點B到底面的距離是________.解析圓柱半徑為1，截面與底邊所成角為45°，作BC⊥AO1于C，感悟提升1.求點線距一般要作出這個距離，然后利用直角三角形求解，或利用等面積法求解.2.求點面距時，若能夠確定過點與平面垂直的直線，即作出這個距離，可根據(jù)條件求解，若不易作出點面距，可借助于等體積法求解.D解析如圖，連接CB1，設(shè)AC的中點為D，連接B1D，則B1D⊥AC，設(shè)點C到直線AB1的距離為h，(2)(2024·威海模擬)已知圓柱的高和底面半徑均為4，AB為上底面圓周的直徑，點P是上底面圓周上的一點且AP＝BP，PC是圓柱的一條母線，則點P到平面ABC的距離為________.解析由題可得AB＝8，因為AP＝BP，考點二利用向量法求距離例2

(1)如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，則點P到直線BD的距離為(

)A解析如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，角度1點到直線的距離A解析以A為空間直角坐標(biāo)原點，以垂直于AC的直線為x軸，以AC所在直線為y軸，以AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由ABC－A1B1C1是棱長均為a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點，角度2點到平面的距離感悟提升訓(xùn)練2

如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點.求：（1）點N到直線AB的距離；（2）點C1到平面ABN的距離.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1C的中點.(1)求點E到直線AF的距離；(2)求點B1到平面A1BE的距離.設(shè)n＝(x，y，z)為平面A1BE的一個法向量，2.(2024·江西五市九校聯(lián)考)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，AB＝AE＝2BF＝2.(1)證明：平面EAC⊥平面EFC；證明

取EC的中點G，連接BD交AC于點N，連接GN，GF.因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且N是AC的中點，又AE∥BF，AE＝2BF＝2，所以GN∥BF且GN＝BF，所以四邊形BNGF是平行四邊形，所以GF∥BN.又EA⊥平面ABCD，BN?平面ABCD，所以EA⊥BN，又因為AC∩EA＝A，AC，EA?平面EAC，所以BN⊥平面EAC，所以GF⊥平面EAC.又GF?平面EFC，所以平面EFC⊥平面EAC.(2)求點B到平面CEF的距離.解

因為EA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以EA⊥AC.因為EA∥BF，所以BF⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BF⊥BC.因為∠ABC＝60°，AB＝2，所以AC＝2，取AB的中點M，連接CM，因為四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC為等邊三角形，又因為EA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，所以EA⊥CM，且AB∩EA＝A，AB，EA?平面ABFE，所以CM⊥平面ABFE.設(shè)點B到平面CEF的距離為d，因為VB－CEF＝VC－BEF，3.如圖，已知△ABC為等邊三角形，D，E分別為AC，AB邊的中點，把△ADE沿DE折起，使點A到達(dá)點P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直線DE到平面PBC的距離.解如圖，設(shè)DE的中點為O，BC的中點為F，連接OP，OF，OB，則OP⊥DE，因為平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，所以O(shè)P⊥平面BCDE.因為在△ABC中，點D，E分別為AC，AB邊的中點，所以DE∥BC.因為DE

平面PBC，BC?平面PBC，所以DE∥平面PBC.又OF⊥DE，所以以點O為坐標(biāo)原點，OE，OF，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，解在正三棱柱ABC－A1B1C1中，因為M為A1B1的中點，所以C1M⊥A1B1.又A1A⊥平面A1B1C1，C1M?平面A1B1C1，則有AA1⊥C1M，而AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1?平面AA1B1B，所以C1M⊥平面AA1B1B.又C1M?平面BC1M，所以平面BC1M⊥平面AA1B1B.在平面AA1B1B內(nèi)過點A作AQ⊥BM交BB1于點Q.因為平面BC1M∩平面AA1B1B＝BM，因此AQ⊥平面BC1M，故點Q即為所要找的點.顯然△ABQ∽△BB1M，(2)求點C到平面BC1M的距離.解取AB的中點N，連接CN，MN，因為M為A1B1的中點，所以MN∥BB1∥CC1，MN