3年高考2年模擬2025版新教材高考數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2基本不等式第2課時基本不等式的應(yīng)用講義新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE1第2課時基本不等式的應(yīng)用課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.進(jìn)一步嫻熟駕馭基本不等式,能夠利用基本不等式求最值.(重點(diǎn))2.能夠利用基本不等式解決實際問題.(難點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)利用基本不等式求代數(shù)式的最值,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.在利用基本不等式解決實際問題的過程中,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).基本不等式與最大(小)值兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有最大值;兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有最小值.(1)已知x,y都是正數(shù),假如和x+y等于定值S,那么當(dāng)①x=y時,積xy有最大值②14S2(2)已知x,y都是正數(shù),假如積xy等于定值P,那么當(dāng)③x=y時,和x+y有最小值④2P.思索1:x+1x提示不是.只有當(dāng)x>0時,x+1x的最小值才是2.思索2:已知x,y為正數(shù),且1x+4下面是某位同學(xué)的解題過程:解:因為x>0,y>0,所以1=1x+4y≥2×2xy=4xy,所以請推斷這位同學(xué)的解法是否正確,并說明理由.提示這位同學(xué)的解法是錯誤的.理由如下:解題過程中連續(xù)兩次運(yùn)用基本不等式,但這兩個不等式中的等號不能同時成立.第一個不等式當(dāng)且僅當(dāng)1x=4y=12正確解法:∵x>0,y>0,1x+4y=1,∴x+y=(x+y)1x+4y=1+yx+4xy探究一利用基本不等式求最值例1(1)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大值;(2)已知x>3,求x+4x解析(1)∵m,n>0,且m+n=16,∴由基本不等式可得mn≤m+n2當(dāng)且僅當(dāng)m=n=8時,等號成立,∴mn的最大值為64.(2)∵x>3,∴x-3>0,4x于是x+4x-3=x-3+4當(dāng)且僅當(dāng)x-3=4x-3思維突破1.利用基本不等式求最值,必需依據(jù)“一正,二定,三相等”的原則求解.(1)一正:符合基本不等式a+b2(2)二定:不等式的一邊轉(zhuǎn)換為定值.(3)三相等:必需存在取等號的條件,即等號成立.以上三點(diǎn)缺一不行.2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)積為定值;若是求積的最大值,通常化(或利用)和為定值,其解答技巧是恰當(dāng)變形,合理拆分項或配湊因式.1.(1)若x<0,求12x(2)若x>2,求1x(3)已知0<x<12,求1解析(1)因為x<0,所以12x+3x=--12x+(-3x)≤-2(2)因為x>2,所以x-2>0,1x-2+x=1x-2+x-2+2≥2(3)因為0<x<12,所以1-2x>0,12x(1-2x)=14×2x(1-2x)≤1當(dāng)且僅當(dāng)2x=1-2x,即x=14時等號成立,所以12x(1-2x)的最大值為探究二利用基本不等式解決實際問題例2某汽車公司購買了4輛大客車,每輛200萬元,用于長途客運(yùn),預(yù)料每輛車每年收入約100萬元,每輛車第一年的各種費(fèi)用約為16萬元,且從其次年起先每年比上一年所需費(fèi)用要增加16萬元.(1)寫出4輛車運(yùn)營的總利潤y(萬元)與運(yùn)營年數(shù)x(x∈N*)的函數(shù)關(guān)系式;(2)這4輛車運(yùn)營多少年可使年平均運(yùn)營利潤最大?注:1+2+3+…+n=解析(1)依題意,每輛車運(yùn)營x年的總收入為100x萬元,總支出為200+16×(1+2+…+x)=200+12x(x+1)·16萬元,∴y=4100x-200(2)年平均運(yùn)營利潤為yx=1623-2∵x∈N*,∴x+25x≥2x當(dāng)且僅當(dāng)x=5時,等號成立,此時yx∴運(yùn)營5年可使年平均運(yùn)營利潤最大,最大運(yùn)營利潤為48萬元.思維突破在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時,應(yīng)留意的思路和方法:(1)先理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為因變量;(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;(4)依據(jù)實際背景寫出答案.2.2024年11月3日20點(diǎn)43分我國長征五號運(yùn)載火箭在海南文昌放射中心勝利放射,它被公認(rèn)為是我國從航天大國向航天強(qiáng)國邁進(jìn)的重要標(biāo)記.長征五號運(yùn)載火箭的設(shè)計生產(chǎn)采納了許多新技術(shù)新產(chǎn)品,甲工廠擔(dān)當(dāng)了某種產(chǎn)品的生產(chǎn),當(dāng)其以x千克/時的速度勻速生產(chǎn)時(為保證質(zhì)量要求1≤x≤10),每小時可消耗A材料(kx2+9)千克,已知每小時生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時,消耗A材料10千克.假如消耗A材料的總重量為y千克,那么要使生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗A材料最少,工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度?并求出此時消耗的A材料的重量的最小值.解析由題意,得k+9=10,即k=1,生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品須要的時間是1000x,所以生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料的重量y=1000x(x2+9)=1000x+9x故工廠應(yīng)選取3千克/時的生產(chǎn)速度,此時消耗的A材料最少,為6000千克.探究三基本不等式的綜合應(yīng)用例3(1)設(shè)x>0,y>0,且1x+1(2)已知a>0,b>0,若不等式2a+1b≥解析(1)∵x>0,y>0,1x+1y∴2x+y=1x+1y(2x+y)=3+yx+2xy≥3+2yx·∴2x+y的最小值為3+22.(2)因為a>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使2a+1b≥m2a+b恒成立,只需m≤(2a+b)·2a思維突破(1)應(yīng)依據(jù)已知條件適當(dāng)進(jìn)行“拆”“拼”“湊”“合”“變形”,創(chuàng)建應(yīng)用基本不等式及使等號成立的條件.當(dāng)連續(xù)應(yīng)用基本不等式時,要留意各不等式取等號時的條件一樣,否則不能求出最值.特殊留意“1”的代換.(2)若是已知不等式,則需將字母參數(shù)分別出來,轉(zhuǎn)換為求函數(shù)式的最值.求函數(shù)式的最值時,可能用到基本不等式.3.(1)(變條件)把例3(1)中的條件變?yōu)閤>0,y>0,且2x+8y=xy,求2x+y的最小值;(2)(變條件)把例3(2)中的條件變?yōu)閍>b>c,且1a-b+1解析(1)由2x+8y=xy及x>0,y>0,得8x+2y∴2x+y=(2x+y)8x+2y=8yx+當(dāng)且僅當(dāng)8yx=4x∴2x+y的最小值是18+82.(2)由a>b>c知a-b>0,b-c>0,a-c>0,原不等式等價于a-ca要使不等式恒成立,只需a-ca∵a-ca-b+a-cb-c=(a-b∴m≤4,即m的最大值為4.1.若正實數(shù)a、b滿意a+b=2,則ab的最大值為()A.1 B.22 C.2 D.4答案A因為a,b為正實數(shù),a+b=2,所以由基本不等式得,ab≤a+b2.設(shè)x>0,則3-3x-1xA.3 B.3-22 C.-1 D.3-23答案D∵x>0,∴3x+1x≥23x·1x=23,當(dāng)且僅當(dāng)x=33時取等號,∴-3x+1x≤-233.下列等式中最小值為4的是()A.y=x+4x B.y=2t+C.y=4t+1t(t>0) D.y=t+答案CA中,當(dāng)x=-1時,y=-5<4;B中,當(dāng)t=-1時,y=-3<4;C中,∵t>0,∴y=4t+1t≥24t·14.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=1a+4A.72 B.4 C.9答案C∵a+b=2,∴a+b∴1a+4b=1a+4b·a+b2=52+2ab+b2a≥5故y=1a+4b的最小值為5.已知x>0,求y=2x解析y=2xx2+1=2x+∴y≤22=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1故y=2x邏輯推理——利用基本不等式求最值問題在1=1□+9素養(yǎng)探究:解決探究性試題要依據(jù)題設(shè)條件,恰當(dāng)?shù)芈?lián)系相關(guān)學(xué)問(如利用基本不等式求最值時應(yīng)構(gòu)造應(yīng)用基本不等式的條件),多方位進(jìn)行探究,探究,尋求解題的思路,解題過程中體現(xiàn)邏輯推理核心素養(yǎng).解析設(shè)1a+9b=1,a,b∈N*則a+b=(a+b)·1=(a+b)1a+9b=1+9+ba當(dāng)且僅當(dāng)ba=9又1a+9b=1,∴1a∴這兩個數(shù)分別是4,12.已知正數(shù)x,y滿意x+y=1,則x-y的取值范圍是,1x+xy的最小值為答案-1<x-y<1;3解析∵正數(shù)x,y滿意x+y=1,∴y=1-x,0<x<1,∴x-y=2x-1,又0<x<1,∴0<2x<2,∴-1<2x-1<1,即x-y的取值范圍是-1<x-y<1.1x+xy=x+yx+xy=1+yx∴1x+x1.(多選)若x>0,y>0且x+y=4,則下列不等式中恒成立的是()A.1x+y>14 B.C.xy≤2 D.1xy1.答案BC若x>0,y>0,由x+y=4,得1x+y=1x+1y=14(x+y)1x+當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時,等號成立,故B正確;因為x>0,y>0,x+y=4,且x+y≥2xy,所以xy≤2,故C正確;∵xy≤2,∴xy≤4,∴1xy≥12.若實數(shù)a,b滿意1a+2b=A.2 B.2 C.22D.42.答案C由題意,得a>0,b>0.∵ab=1a+2b≥22ab=22ab,當(dāng)且僅當(dāng)∴ab≥22.3.已知m>0,n>0,m+n=1且x=m+1m,y=n+1A.4 B.5 C.8 D.103.答案B依題意有x+y=m+n+1m+1n=1+m+n+nm+mn≥3+2=5,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=4.若-4<x<1,則x2A.有最小值1 B.有最大值1C.有最小值-1 D.有最大值-14.答案Dx2-2x+22∵-4<x<1,∴x-1<0.∴-(x-1)>0.∴x2-2x+22x當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x5.已知a>0,b>0,2a+1b=A.8 B.7 C.6 D.55.答案C由已知,可得62a+∴2a+b=62a+1當(dāng)且僅當(dāng)2ab=6.已知x,y都是正數(shù).(1)假如xy=15,則x+y的最小值是;

(2)假如x+y=15,則xy的最大值是.

6.答案(1)215(2)2254解析(1)x+y≥2xy=215,即x+y的最小值是215,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=15時,取最小值.(2)xy≤x+y22=1522=7.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x=m.

7.答案20解析設(shè)矩形花園的寬為ym,則x40=40-y408.已知a>0,b>0,則1a+1b+2ab的最小值是8.答案4解析∵a>0,b>0,∴1a+1b+2ab≥21ab+2ab≥49.(1)設(shè)x,y都是正數(shù),且1x+2(2)設(shè)x>-1,求y=(x9.解析(1)2x+y=131x+2y(2x+y)=13y當(dāng)且僅當(dāng)yx=4xy,即y2∴y=2x.又∵1x+2y=3,得x=23∴當(dāng)x=23,y=43時,2x+y取得最小值,為(2)∵x>-1,∴x+1>0.設(shè)x+1=t>0,則x=t-1,于是有y=(t+4)(t+1)t當(dāng)且僅當(dāng)t=4t∴當(dāng)x=1時,函數(shù)y=(x10.設(shè)0<x<1,則4x+1A.10 B.9 C.8 D.2710.答案B∵0<x<1,∴1-x>0,4x+11=4+4(1-≥5+24(當(dāng)且僅當(dāng)4(1-x)x=x111.已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若x+2y>mA.m≤-22或m≥22 B.m≤-4或m≥2C.-2<m<4 D.-22<m<2211.答案D∵x>0,y>0且2x+1y∴x+2y=(x+2y)2x+1y=4+4yx+xy即x=4,y=2時取等號,∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2恒成立,只需(x+2y)min>m2恒成立,即8>m2,解得-22<m<22.12.若實數(shù)x、y滿意x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是.

12.答案23解析x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1,∴(x+y)2=xy+1≤x+y∴34(x+y)2≤1.∴x+y≤23313.已知不等式2x+m+8x-1>0對隨意13.答案{m|m>-10}解析∵2x+m+8x-1>0對∴m>-2x-8x-1=-2x又∵x>1,∴x-1>0,∴x-1+4x-1當(dāng)且僅當(dāng)x-1=4x∴-2x-∴m>-10,∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m>-10}.14.某人打算租一輛車從孝感動身去武漢,已知從動身點(diǎn)到目的地的距離為100km,按交通法規(guī)定:這段馬路車速限制在40~100(單位:km/h)之間.假設(shè)目前油價為7.2元/L,汽車的耗油率為3+x14.解析設(shè)總費(fèi)用為y元.由題意,得y=76.4×100x+7.2×100x×3+x因為y=9800x+2x≥219600當(dāng)且僅當(dāng)9800x所以這次租車的總費(fèi)用最少是280元,此時的車速為70km/h.15.設(shè)自變量x對應(yīng)的因變量為y,在滿意對隨意的x,不等式y(tǒng)≤M都成立的全部常數(shù)M中,將M的最小值叫做y的上確界.若a,b為正實數(shù),且a+b=1,則-12a-A.-92 B.92 C.15.答案A因為a,b為正實數(shù),且a+b=1,所以12a+2b=12a+2b×(a+b)=52+b2a+2ab≥52+2b2a·16.(多選)一個矩形的周長為l,面積為S,則如下四組數(shù)對中,可作為數(shù)對(S,l)的是()A.(1,4) B.(6,8)C.(7,12) D.316.答案AC設(shè)矩形的長和寬分別為x,y,則x+y=12l,S=xy.對于(1,4),x+y=2,xy=1,依據(jù)基本不等式滿意xy≤x+對于(6,8),x+y=4,xy=6,依據(jù)基本不等式不滿意xy≤x+對于(7,12),則x+y=6,xy=7,依據(jù)基本不等式滿意xy≤x+對于3,12依據(jù)基本不等式不滿意xy≤x+綜上可知,可作為數(shù)對(S,l)的是AC.滾動提升練(二)一、選擇題1.命題“?x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.?x∈R,x3-x2+1<0 B.?x∈R,x3-x2+1≥0C.?x∈R,x3-x2+1>0 D.?x∈R,x3-x2+1≤01.答案C由存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可得,所給命題的否定為“?x∈R,x3-x2+1>0”.故選C.2.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},則集合?U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}2.答案D由題意可知,A∪B={x|x≤0或x≥1},所以?U(A∪B)={x|0<x<1}.3.設(shè)全集為U,在下列條件中,是B?A的充要條件的有()①A∪B=A,②(?UA)∩B=?,③?UA??UB,④A∪?UB=UA.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.答案D如圖,借助Venn圖,可以推斷出A∪B=A?B?A,(?UA)∩B=??B?A,?UA??UB?B?A,A∪?UB=U?B?A,故①②③④均正確.故選D.4.(多選)若a>b>0,則下列不等式中肯定不成立的是()A.ba>b+1a+1C.a+1b>b+1a D.24.答案AD∵a>b>0,則ba-b+1a+1=b(a+1)-a(b+1)a(a+1)=b-aa(a+1)<0,∴ba>b+1a+1肯定不成立;a+1a故2a+ba5.對于實數(shù)x和y,定義運(yùn)算?:x?y=x(1-y),若對隨意x>1,不等式(x-m)?x≤1都成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.-1≤m≤3 B.m≤3C.m≤-1或m≥3 D.m≥35.答案B由運(yùn)算規(guī)則可知(x-m)?x≤1?(x-m)(1-x)≤1?m≤x+1x-當(dāng)x>1時,x+1x-1當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號,則m≤3,故選B.二、填空題6.已知集合A={1,3},B={1,2,m},若A∩B={1,3},則m=;A∪B=.

6.答案3;{1,2,3}解析∵A∩B={1,3},∴3∈B,∴m=3,∴B={1,2,3},∴A∪B={1,2,3}.7.△ABC和△A1B1C1的對應(yīng)角相等是△ABC≌△A1B1C1的條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

7.答案必要不充分解析由△ABC和△A1B1C1的對應(yīng)角相等?/△ABC≌△A1B1C1;反之由△ABC≌△A1B1C1?∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1.8.設(shè)A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A?B,則實數(shù)a的取值范圍是.

8.答案{a|a≥2}解析如圖,因為A?B,所以a≥2,即a的取值范圍是{a|a≥2}.9.設(shè)x,y∈R,且xy≠0,則x2+19.答案9解析x2+1y21x2+4y2=5+1x2y10.已知x,y為正數(shù),當(dāng)x+y=1時,xy的最大值為;當(dāng)x+y-xy=0時,x+2y的最小值為.

10.答案14;3+22解析∵x+y=1≥2xy,∴0<xy≤14,當(dāng)且僅當(dāng)x=y