22.1.2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)+教學(xué)設(shè)計+2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊

課程基本信息課題第二十二章二次函數(shù)22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)教材人教版九年級上冊教學(xué)目標1.經(jīng)歷類比一次函數(shù)的研究方法開展有條理的探究活動，能用描點法畫二次函數(shù)y=ax2的圖象，總結(jié)圖象特征，歸納性質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識2.積累利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗，體會函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，感受數(shù)形結(jié)合的思想3.通過白主探究和小組討論，歸納二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)，發(fā)展敢于質(zhì)疑，善于思考的科學(xué)精神以及同伴交流合作的能力教學(xué)重點理解拋物線的有關(guān)概念，會用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2的圖象教學(xué)難點探索二次函數(shù)性質(zhì)，尤其是分段討論二次函數(shù)y=ax2中y隨x的增大如何變化教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)回顧，引入新課問題：一次函數(shù)的圖象是什么?生：一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條經(jīng)過(0，b)的直線問題：通常怎樣畫一個函數(shù)的圖象?生：列表，描點，連線三個步驟列表：列出一個包含白變量和函數(shù)的表，在自變量的取值范圍內(nèi)隨機列出一些自變量的值，通過函數(shù)解析式，求出對應(yīng)的函數(shù)值描點：在平面直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點(3)連線：按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑的曲線順次連接，向兩端無限延伸設(shè)計意圖：通過回憶一次函數(shù)的研究方法，讓學(xué)生掌握研究函數(shù)的基本方法為本節(jié)課探究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)做了鋪墊，滲透了類比的思想二、合作探究，獲取新知像研究一次函數(shù)一樣，現(xiàn)在我們來研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合圖象討論性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)的重要方法，我們將從最簡單的二次函數(shù)y=x2開始，逐步深入地討論一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題：用描點法畫二次函數(shù)y=x2的圖象在二次函數(shù)y=x2中，自變量x的取值范圍是全體實數(shù)列表x...-3-2-10123...y=x2...9410149...描點(3)連線學(xué)生嘗試畫圖，叫兩位同學(xué)板演，教師關(guān)注學(xué)生畫圖情況，學(xué)生畫完后在組內(nèi)交流展示師生共同觀察，可以看出，二次函數(shù)y=x2的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃時或擲鉛球時球在空中所經(jīng)過的路線，只是這條曲線開口向上，這條曲線叫做拋物線y=x2。實際上，二次函數(shù)的圖象都是拋物線，它們的開口或者向上或者向下。一般地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c問題：觀察二次函數(shù)y=x2的圖象，你可以發(fā)現(xiàn)它具有哪些性質(zhì)呢?學(xué)生觀察，交流分享，總結(jié)匯報(1)y軸是拋物線y=x2的對稱軸(2)拋物線y=x2與它的對稱軸的交點（0，0）叫做拋物線y=x2的頂點，它是拋物線的最低點實際上，每條拋物線都有對稱軸，拋物線與對稱軸的交點叫做拋物線的頂點，頂點是拋物線的最低點或最高點。問題：進一步觀察，y隨x的變化如何變化呢?學(xué)生觀察，思考，交流討論，教師啟發(fā)學(xué)生從圖象，點坐標的變化和列表三個方面進行分析，師生共同得出結(jié)論從二次函數(shù)y=x2的圖象可以看出：在對稱軸的左側(cè)，拋物線從左到右下降；在對稱軸的右側(cè)，拋物線從左到右上升。也就是說，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生自己動手畫圖，觀察，思考交流，總結(jié)歸納，培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力和應(yīng)用能力，結(jié)合圖象探究函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)形結(jié)合的研究問題的方法例題解析，應(yīng)用新知例：在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=x2和y=2x2的圖象學(xué)生用描點法自主畫圖y=x2(1)列表；(2)描點；(3)連線x...-4-3-2-101234...y=x2...84.520.500.524.58...y=2x2(1)列表；(2)描點；(3)連線x...-2-1.5-1-0.500.511.52...y=2x2...84.520.500.524.58...問題:觀察三個函數(shù)的圖象，它們之間有什么共同點和不同點呢?學(xué)生觀察，思考，交流匯報共同點:三條拋物線都開口向上，對稱軸都是y軸，頂點都是坐標原點，且原點是拋物線的最低點，在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大不同點：拋物線開口大小不同，拋物線的開口和a值有關(guān)，a越大，即a越大，拋物線的開口越小歸納：由以上三個函數(shù)的圖象和性質(zhì)推廣到一般情況，得到二次函數(shù)y=ax2(a>0)的圖象和性質(zhì)一般的，當(dāng)a>0時，拋物線y=ax2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最低點，a越大，拋物線的開口越小師：探究完a>0的情況，下面我們探究a<0的情況，同學(xué)們，根據(jù)剛才的經(jīng)驗，我們應(yīng)從哪個函數(shù)入手比較簡單呢?生：從二次函數(shù)y=-x2的圖象和性質(zhì)開始探究師：你能用描點法畫出函數(shù)y=-x2的圖象，再結(jié)合圖象來探究性質(zhì)嗎?學(xué)生嘗試用列表法畫圖，教師關(guān)注學(xué)生畫圖情況(1)列表x...-3-2-10123...y=-x2...-9-4-10-1-4-9...(2)描點(3)連線師：你能在剛才的坐標系中畫出函數(shù)y=-x2和y=-2x2圖象嗎？學(xué)生嘗試自己畫圖，并在組內(nèi)交流討論學(xué)生用描點法自主畫圖y=-x2(1)列表；(2)描點；(3)連線x...-4-3-2-101234...y=-x2...-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8...y=-2x2(1)列表；(2)描點；(3)連線x...-2-1.5-1-0.500.511.52...y=-2x2...-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8...問題：觀察三個函數(shù)的圖象，它們之間有什么共同點和不同點呢?學(xué)生觀察思考，交流討論一般的，當(dāng)a＜0時，拋物線y=ax2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點，頂點是拋物線的最高點，a越小，拋物線的開口越小問題：結(jié)合a>0和a<0兩種情況，你能歸納出二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)嗎?學(xué)生嘗試歸納，互相補充一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點，當(dāng)a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點；當(dāng)a<0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點。對于拋物線y=ax2，|a|越大，拋物線的開口越小從二次函數(shù)y=ax2的圖象可以看出：如果a>0，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大；如果a<0，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小師：以上性質(zhì)，可以用表格的形式來總結(jié)y=ax2a>0a<0圖象位置開口開口向上，在x軸上方開口向下，在x軸下方|a|越大，開口越小對稱性關(guān)于y軸對稱，對稱軸是直線x=0頂點最值頂點（0，0）是最低點頂點（0，0）是最高點當(dāng)x=0時，y最小值=0當(dāng)x=0時，y最大值=0增減性在對稱軸左側(cè)，拋物線從左到右下降，y隨x的增大而減??；在對稱軸右側(cè)，拋物線從左到右上升，y隨x取值的增大而增大在對稱軸左側(cè)，拋物線從左到右上升，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，拋物線從左到右下降，y隨x取值的增大而減小設(shè)計意圖：二次函數(shù)的性質(zhì)是本節(jié)課的重點，探究性質(zhì)是本節(jié)課的難點，先由特殊函數(shù)的性質(zhì)推廣到一般情況，滲透了由特殊到一般的情況，對于每一種情況通過描點法畫圖再探究性質(zhì)，讓學(xué)生掌握了最基本的研究函數(shù)的思路和方法以圖表的形式總結(jié)函數(shù)的性質(zhì)，簡潔明了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美，同時使本節(jié)課的知識形成完整的知識結(jié)構(gòu)四、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了最簡單的二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)，我們的研究方法是先用描點法畫出函數(shù)的圖像，再結(jié)合圖像探究函數(shù)的性質(zhì)，在探究函數(shù)性質(zhì)時，重點關(guān)注四個方面：開口方向及大小，對稱軸，頂點坐標，增減性教學(xué)反思本節(jié)課從回顧一次函數(shù)的圖象及畫法，逐步推廣到二次函數(shù)的研究過程中，類比畫一次函數(shù)圖象的過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷列表、描點、連線三個步驟，畫出二次函數(shù)的圖象，然后學(xué)生根據(jù)既定圖象自主探究，由y=x2和y=-x2的圖象和性質(zhì)推廣到一般情況，得出了二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)，滲透了由特殊到一般的思想本節(jié)課在探究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的過程中，本著知識問題化，問題活動化的原則，教師先提出問題，鼓勵學(xué)生進行自主探究，合作交流得出結(jié)論，并通過小組討論和展示評價的方式修正完善結(jié)論，提高了學(xué)生