24.2.2第3課時　切線長定理和三角形的內(nèi)切圓教案2024-2025學年人教版數(shù)學九年級上冊

24.2.2第3課時切線長定理和三角形的內(nèi)切圓1.會作三角形的內(nèi)切圓，理解三角形內(nèi)心的含義和性質(zhì).2.掌握切線長的定義及切線長定理.（重點）3.能用切線長定理和三角形內(nèi)心的性質(zhì)來解決簡單的問題.（難點）一、新課導入1.切線的判定定理是什么？經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2.切線的性質(zhì)定理是什么？圓的切線垂直于過切點的半徑.二、新知探究（一）切線長定理【思考】上節(jié)課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線，如果點P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長.注意：切線和切線長是兩個不同的概念：①切線是直線，不能度量；②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.【思考】如圖，PA，PB是☉O的兩條切線，切點分別為A，B.在半透明的紙上畫出這個圖形，沿著直線PO將圖形對折，圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.幾何語言表示：∵PA，PB分別切☉O于點A，B，∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.【思考】如圖PA，PB是☉O的兩條切線，A，B為切點.求證：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.證明：連接OA和OB.∵PA是☉O的切線，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.又OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP.∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.【歸納總結(jié)】我們學過的切線，常有以下性質(zhì)：1.切線和圓只有一個公共點；2.切線和圓心的距離等于圓的半徑；3.切線垂直于過切點的半徑；4.經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；5.經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心；6.從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.三、新知應用例1PA，PB是☉O的兩條切線，A，B為切點，直線OP交☉O于點D，E，交AB于點C.（1）寫出圖中所有的垂直關系.解：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（2）寫出圖中與∠OAC相等的角.解：∠OAC＝∠OBC＝∠APC＝∠BPC.（3）寫出圖中所有的全等三角形.解：△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）寫出圖中所有的等腰三角形.解：△ABP，△AOB.（二）三角形的內(nèi)切圓【思考】如圖，是一塊三角形的鐵皮，如何在它上面裁下一塊圓形的用料，并且使裁下的圓與三角形的三條邊相切？【交流討論】如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？（1）如果半徑為r的☉I與三角形的三邊都相切，那么圓心I應滿足什么條件？圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.（2）在三角形的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？三角形三條角平分線交于一點，這一點到三角形的三邊距離相等.圓心I應是三角形的三條角平分線的交點.【自主學習】已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.作法：（1）作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O；（2）過點O作OD⊥BC，垂足為D；（3）以O為圓心，OD為半徑作☉O.☉O就是所求的圓.【歸納總結(jié)】1.與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做這個三角形的內(nèi)心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.如圖：☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心三角形三邊垂直平分線的交點1.OA＝OB＝OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等2.內(nèi)心在三角形內(nèi)部例2△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的長.解：設AF＝x，則AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得（13－x）＋（9－x）＝14.解得x＝4.∴AF＝4，BD＝5，CE＝9.四、課堂小結(jié)切線長定理定理三角形的內(nèi)切圓定義五、課堂訓練1.如圖，PA，PB是☉O的兩條切線，切點分別是A，B，如果AP＝4，∠APB＝40°，則∠APO＝20°，PB＝4.2.如圖，已知點O是△ABC的內(nèi)心，且∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，則∠BOC＝110°.3.△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長為C，求△ABC的面積S.解：如圖，記△ABC的內(nèi)心為O，連接OA，