四川省成都市高中數(shù)學(xué)121任意角的三角函數(shù)1課件新人教版A版必修4

角度

弧度

復(fù)習(xí)回顧：1.2.1任意角的三角函數(shù)（1）

角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角α是否也能像銳角一樣定義三角函數(shù)呢？

初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角α為自變量，以比值為函數(shù)值，定義了角α的正弦、余弦、正切的三角函數(shù).

本節(jié)課我們研究當(dāng)角α是一個(gè)任意角時(shí)，其三角函數(shù)的定義及其幾何表示．

1.任意角的三角函數(shù)的定義

設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么α的終邊在第一象限，在α的終邊上任意一點(diǎn)P(a,b)(除開頂點(diǎn)O),它與原點(diǎn)(即頂點(diǎn))的距離是r(r>0),那么根據(jù)初中所學(xué)過的三角函數(shù)的定義，有Oxyr(1)正弦:sinα=;(2)余弦:cosα=;(3)正切:tanα=.αP(a,b)ba

由相似三角形的知識知道，這些比值不會(huì)隨點(diǎn)P的位置改變而改變，所以通常取r=1的位置。P(a,b)0xyMαA(1,0)1

設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么α的終邊在第一象限，在α的終邊上的點(diǎn)P(a,b)與原點(diǎn)(即頂點(diǎn))的距離是1,那么根據(jù)初中所學(xué)過的三角函數(shù)的定義，有(1)正弦:sinα==b;(2)余弦:cosα==a;(3)正切:tanα=.

我們稱以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.1.任意角的三角函數(shù)的定義

同樣我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).1、任意角的三角函數(shù)的定義

設(shè)α是任意一個(gè)角,α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么(1)正弦:sinα=y;(2)余弦:cosα=x;(3)正切:tanα=(x≠0).P(x,y)0xyαA(1,0)

正弦、余弦、正切都是以角(弧度)為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。三角函數(shù)sinαcosαtanα定義域

角的概念推廣后，實(shí)際上是把角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系：實(shí)數(shù)集R角的集合正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：解：（1）在直角坐標(biāo)系中，作（如圖），

得的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：解：（2）∵當(dāng)時(shí)，

在直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3）∵當(dāng)時(shí)，

在直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為不存在.xyO特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα

例2.已知角α終邊上經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值.P0(-3,-4)0xyM0P(x,y)M如圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，解：分別過點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP，M0P0，

則∽

且一般地，設(shè)角α終邊上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))P(x,y),它到原點(diǎn)(頂點(diǎn))的距離為r>0，則sinα=;cosα=;tanα=.三角函數(shù)的坐標(biāo)定義：(見教材13頁)

例2.已知角α終邊上經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值.解法2：點(diǎn)P0(-3,-4),到原點(diǎn)的距離為故由三角函數(shù)的坐標(biāo)定義知：.P0(-3,-4)0xyM0例3.

若角的終邊落在直線y=2x上，求α的三角函數(shù)值.解：①若角的終邊在第一象限，xyO可在其終邊上取一點(diǎn)P(1,2)，P則由三角函數(shù)坐標(biāo)定義得：例3.

若角的終邊落在直線y=2x上，求α的三角函數(shù)值.解：②若角的終邊在第三象限，xyO可在其終邊上取一點(diǎn)P(-1,-2)，P則由三角函數(shù)坐標(biāo)定義得：2、三角函數(shù)值的符號均為正sinαtanαx0ycosα完成P13探究內(nèi)容口訣：“一全、二正、三切、四余”

(1)正弦:sinα=y;(2)余弦:cosα=x;(3)正切:tanα=(x≠0).思考：若成立時(shí)，角θ為第幾象限角？解：由知θ的終邊