第二章-時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析教材課程

第二章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析主講：溫川雪內(nèi)容提要：介紹序列的Fourier變換及其對稱性質(zhì)周期序列的傅立葉級(jí)數(shù)及傅立葉變換表達(dá)式時(shí)域離散信號(hào)的傅立葉變換與模擬信號(hào)傅立葉變換之間的關(guān)系序列的Z變換2.1、引言信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻域分析方法，本章學(xué)習(xí)序列的傅立葉變換，它和模擬域中的傅立葉變換是不一樣的。各種域和變換之間的關(guān)系2.2序列的Fourier變換的定義和性質(zhì)2.2.1.Fourier變換的定義FT(FourierTransform)存在FT的條件：序列絕對可和IFT(InverseFourierTransform)【例2.2.1】設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。

解

（2.2.4）當(dāng)N=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖2.2.1所示。圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線習(xí)題練習(xí)(cont’)四、傅立葉變換的MATLAB實(shí)現(xiàn)2.2.2.序列Fourier變換的性質(zhì)R4的幅頻特性FT的時(shí)域、頻域卷積定理時(shí)域卷積定理頻域卷積定理FT的對稱性質(zhì)共軛對稱序列：共軛反對稱序列：實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:其中：頻域上同樣，任意序列的Fourier變換也可表示成共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和。其中：任意序列傅里葉變換的對稱性質(zhì)序列Fourier變換實(shí)數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性實(shí)部是ω的偶函數(shù)虛部是ω的奇函數(shù)9．已知x(n)=anu(n),0<a<1，分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。

解：因?yàn)閤e(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(ejω)的實(shí)部，xo(n)的傅里葉變換對應(yīng)X(ejω)的虛部乘以j，因此實(shí)因果序列與其偶函數(shù)he(n)和奇函數(shù)ho(e)的關(guān)系【例2.2.3】x(n)=anu(n),0<a<1。求其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)。

解

x(n)=xe(n)+xo(n)

8．設(shè)x(n)=R4(n)，試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)，并分別用圖表示。

解：xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。題8解圖習(xí)題1．設(shè)X(ejω)和Y(ejω)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：(2)x*(n)(6)nx(n)因?yàn)閷υ撌絻蛇叇厍髮?dǎo)，得到2.3周期序列的離散Fourier級(jí)數(shù)及Fourier變換表示式1.周期序列的離散Fourier級(jí)數(shù)【例2.3.1】設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，周期為8，求DFS［］。解：圖2.3.1例2.3.1圖4．設(shè)將x(n)以4為周期進(jìn)行周期延拓，形成周期序列，畫出x(n)和的波形，求出的離散傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。解：或者2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式其中上式中的表示單位沖擊函數(shù)（連續(xù)），而表示單位脈沖序列（離散）【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。解將例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到：

其幅頻特性如圖2.3.3所示。圖2.3.3例2.3.2圖【例2.3.3】令為有理數(shù)，求其FT。(2.3.13)式表明，cosω0n的FT是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，且以2π為周期進(jìn)行延拓，如圖2.3.4所示。圖2.3.4cosω0n的FT表2.3.2基本序列的傅里葉變換【例2.3.3】令為有理數(shù)，求其FT。

解將用歐拉公式展開：

其FT推導(dǎo)如下：cosω0n的FT是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，且以2π為周期進(jìn)行延拓，如圖所示。

圖2.3.4cosω0n的FT2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系

模擬信號(hào)的Fourier變換序列的Fourier變換和模擬信號(hào)的Fourier關(guān)系時(shí)域離散信號(hào)的頻譜也是模擬信號(hào)的頻譜周期性延拓，周期為模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系2.5序列的Z變換2.2序列的Z變換X(z)一般情況下為有理分式：ZT的收斂域：使X(z)收斂的z值，一般為某個(gè)環(huán)域：Rx-<r<Rx+

；

ZT的零點(diǎn)：使X(z)=0的z值，在Z平面上用“o”表示；ZT的極點(diǎn)：使X(z)趨向無窮大的z值，在Z平面上用“x”表示。收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界的ZT的ROC(RegionofConvergence)Z平面收斂域、零極點(diǎn)表示ZT與FT的關(guān)系【例2.5.1】x(n)=u(n),求其Z變換。解

X(z)存在的條件是|z－1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>1,因此X(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓，因此其傅里葉變換不存在2.5.2四種序列的Z變換的收斂域1.有限長序列【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。

解這是一個(gè)因果的有限長序列，因此收斂域?yàn)?<|z|≤∞。2,右邊序列Z變換【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域。解

在收斂域中必須滿足|az－1|<1，因此收斂域?yàn)閨z|>|a|。3,左邊序列Z變換【例2.5.4】求x(n)=－anu(－n－1)的Z變換及其收斂域。

解這里x(n)是一個(gè)左序列，當(dāng)n≥0時(shí)，x(n)=0，

X(z)存在要求|a－1|＜1，即收斂域?yàn)閨z|＜|a|,因此

4,雙邊序列故雙邊序列的收斂域?yàn)樽筮呅蛄械氖諗坑蚺c右邊序列收斂域的公共區(qū)域【例2.5.5】x(n)=a|n|,a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。解

第一部分收斂域?yàn)閨az|<1，得|z|<|a|－1;第二部分收斂域?yàn)閨az－1|<1,得到|z|>|a|。如果|a|<1,兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a|－1,其Z變換如下式:

如果|a|≥1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當(dāng)0<a<1時(shí)，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。圖2.5.2例2.5.5圖小結(jié)序列ZT為有理分式的收斂域以極點(diǎn)為邊界收斂域內(nèi)不能包括任何極點(diǎn)，可以包含零點(diǎn)相同的零極點(diǎn)分別可能對應(yīng)不同的收斂域，即：不同的序列可能有相同的ZT；收斂域匯總：右外、左內(nèi)、雙環(huán)；有限長Z平面。2.5.3逆Z變換z反變換的求解方法：一、圍線積分法（留數(shù)法）如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理有留數(shù)輔助定理圍線c內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)ZK，在c外有M個(gè)極點(diǎn)Zm【例2.5.6】已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z變換x(n)。解先找出F(z)的極點(diǎn)。顯然，F(xiàn)(z)的極點(diǎn)與n的取值有關(guān)。n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z1=a；n<0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個(gè)極點(diǎn)：z1=a,z2=0（n階）；n≥0時(shí)，n<0時(shí)，z=0是n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)。采用留數(shù)輔助定理求解該例題中圍線C外沒有極點(diǎn)，故n<0,x(n)=0。滿足分母比分子高二階或以上∴x(n)=anu(n)【例2.5.7】已知,求其逆變換x(n)。解該例題沒有給定收斂域，為求出唯一的原序列x(n)，必須先確定收斂域。X(z)，有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，這樣收斂域有三種選法，它們是（1）|z|>|a－1|，對應(yīng)的x(n)是因果序列；（2）|z|<|a|，對應(yīng)的x(n)是左序列；（3）|a|<|z|<|a－1|，對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。|z|>|a－1||z|<|a||a|<|z|<|a－1|（3）收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a－1|:對應(yīng)的x(n)是雙邊序列。F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。n≥0時(shí)，有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，

c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z=a,

x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0時(shí)c內(nèi)極點(diǎn):z=a和z=0(n階)c外極點(diǎn)：z=a－1x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n

最后將x(n)表示為即x(n)=a|n|

2.部分分式展開法適合于單階極點(diǎn)的序列【例2.5.8】已知

,求逆Z變換。解第一部分極點(diǎn)是z=2，收斂域?yàn)閨z|>2。第二部分極點(diǎn)是z=-3，收斂域應(yīng)取|z|<3。查表2.5.1，得到：x(n)=2nu(n)+(－3)nu(－n－1)2<|z|<319．用部分分式法求以下X(z)的反變換：(2)解：(2)MATLAB求部分分式展開式調(diào)用[r,p,k]=residuez(b,a)程序?qū)嵗齝lc;clear;b=[05];a=[11-6];[b,a]=eqtflength(b,a);%Makelengthsequal.[r,p,k]=residuez(b,a);disp('polesareat');disp(p);zplane(b,a)ep258.mzplane函數(shù)長除法求Z逆變換2.5.4Z變換的性質(zhì)例題分析2.5.5利用Z變換解差分方程

1．求穩(wěn)態(tài)解

2．求暫態(tài)解設(shè)（2.5.33）對（2.5.30）式進(jìn)行單邊Z變換，有例題分析【例2.5.11】已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(－1)=2,求y(n)。

解將已知差分方程進(jìn)行Z變換：

式中于是

收斂域?yàn)閨z|>max(|a|,|b|),因此

式中第一項(xiàng)為零輸入解，第二項(xiàng)為零狀態(tài)解。2.6利用z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)傳輸函數(shù)表征系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)函數(shù)表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，2.6.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性MATLAB函數(shù)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定functionstab(A)%stab:系統(tǒng)穩(wěn)定性判定函數(shù)，A是H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)向量disp(′系統(tǒng)極點(diǎn)為：′)P=roots(A) %求H(z)的極點(diǎn)，并顯示disp(′系統(tǒng)極點(diǎn)模的最大值為：′)M=max(abs(P))%求所有極點(diǎn)模的最大值，并顯示ifM<1disp(′系統(tǒng)穩(wěn)定′),else,disp(′系統(tǒng)不穩(wěn)定′),end如果H(z)的分母多項(xiàng)式系數(shù)A=［2－2.980.172.3418－1.5147］，則調(diào)用該函數(shù)輸出如下:P=－0.90000.7000+0.6000i0.7000－0.6000i0.9900系統(tǒng)極點(diǎn)模的最大值為：M=0.9900系統(tǒng)穩(wěn)定。聯(lián)系課后32題【例2.6.1】已知，分析其因果性和穩(wěn)定性。解H(z)的極點(diǎn)為z=a,z=a－1。

（1）收斂域?yàn)閍－1<|z|≤∞:系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，,不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an－a－n)u(n)這是一個(gè)因果序列，但不收斂。（2）收斂域?yàn)?≤|z|<a:系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a－n－an)u(－n－1),這是一個(gè)非因果且不收斂的序列。（3）收斂域?yàn)閍<|z|<a－1:對應(yīng)一個(gè)非因果系統(tǒng)的穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個(gè)收斂的雙邊序列，2.6.3利用系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=ejω代入上式，得到傳輸函數(shù)率響應(yīng)：頻響的幾何表示(書中的錯(cuò)誤圖）系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)取決于零矢量長度之積除以極矢量長度之積零點(diǎn)位置影響凹谷點(diǎn)的位置與深度零點(diǎn)在單位圓上，谷點(diǎn)為零零點(diǎn)趨向于單位圓，谷點(diǎn)趨向于零極點(diǎn)位置影響凸峰的位置和深度極點(diǎn)趨向于單位圓，峰值趨向于無窮極點(diǎn)在單位圓上，系統(tǒng)不穩(wěn)定原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)?！纠?.6.3】設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為y(n)=by(n－1)+x(n)用幾何法分析其幅度特性。解由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為

式中，0<b<1。系統(tǒng)極點(diǎn)z=b，零點(diǎn)z=0?！纠?.6.4】已知H(z)=1－z－N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。

解

H(z)的極點(diǎn)為z=0，這是一個(gè)N階極點(diǎn)，它不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。零點(diǎn)有N個(gè)，由分子多項(xiàng)式的根決定

即圖2.6.5梳狀濾波器的極零點(diǎn)分布及幅頻、相頻特性Matlab程序仿真（zplanefreqz）B=［10000