6.4.3.2正弦定理【超級課堂】2022-2023學年高一數(shù)學教材配套教學精-品課件+分層練習人教A版2019必修第二冊

6.4.3.2正弦定理余弦定理

已知三邊,怎樣求三個角呢？推論：CBAbac溫故知新回憶一下直角三角形的邊角關系?ABCcba兩等式間有聯(lián)系嗎？在其他三角形中是否也存在這樣的等量關系嗎？復習導入在非直角三角形ABC中有這樣的關系嗎?所以CD=asinB=bsinA,即同理可得DCabAB圖1過點C作CD⊥AB于D,此時有若三角形是銳角三角形,如圖1,探究一且仿上可得D若三角形是鈍角三角形,以上等式仍然成立嗎?此時也有交BC延長線于D,過點A作AD⊥BC，CAcbB圖2探究二正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.即思考是否可以用其他方法證明正弦定理?

方法二：如圖，過B作直徑BA'，則∠A'=∠A，∠BCA'=90°A’即:BCAcba故:同理:即:若A是鈍角呢？方法三在銳角三角形中由向量加法的三角形法則BAC在鈍角三角形中ABC具體證明過程馬上完成!正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.即公式變形：a=2RsinAb=2RsinBc=sinCACB1正弦定理已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角例2

已知a=16，b=，A=30°

.求角B，C和邊c已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊和角解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°當時Ｂ＝60°C=90°C=30°當Ｂ＝120°時B16300ABC16316解：∵正弦定理應用一：已知兩角和任意一邊，求其余兩邊和一角已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角正弦定理的常見變形鞏固提升：（1）在中，一定成立的等式是（

）

C（2）在中，若，則是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等邊三角形D

例4在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．【思路點撥】利用正弦定理將角的關系式sin2A＝sin2B＋sin2C轉化為邊的關系式，從而判斷△ABC的形狀．互動探究若本例中的條件“sinA＝2sinBcosC”改為“sin2A＝2sinBsinC”，試判斷△ABC的形狀．解：由sin2A＝sin2B＋sin2C，得a2＝b2＋c2.∴A＝90°.∵sin2A＝2sinBsinC，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc.∴b＝c，∴△ABC為等腰直角三角形．三角形面積公式

例5在中，，求的面積S．

hABC三角形面積公式解：∴由正弦定理得

三角形面積公式變式訓練AABBCCaabbABCabAB1B2CaabABCba=bsinAABCba<bsinA方法二：畫圓法

若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況:（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3，求B;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3，求B;（3）b＝20，A＝60°，a＝15，求B.60°ABCb

例6在

ABC中，已知b＝20，A＝60°，

思考：當b＝20，A＝60°，a＝？時，有1解、2解、無解.（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinAa12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°應舍去.（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3B＝90°.sinB＝＝1，bsinAa（3）b＝20，A＝60°，a＝15.2√33

∵>1，∴無解.sinB＝＝，bsinA

a2√33

思考：當b＝20，A＝60°，a＝？時，求角B

有1解