函數(shù)的極限課件

函數(shù)的極限

函數(shù)的極限第一節(jié)討論了數(shù)列的極限，由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即定義在正整數(shù)集上的函數(shù)xn=f(n)，因而，數(shù)列有兩個(gè)基本特點(diǎn)：一是自變量n(n∈N*)的變化是間斷的(跳躍的)；二是n無限制地增大.在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中，所討論的自變量往往是連續(xù)變化的并且絕對(duì)值無限增大或自變量趨近于某一點(diǎn)時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)，這就是本節(jié)要學(xué)習(xí)的函數(shù)的極限問題.

一、函數(shù)極限的定義當(dāng)自變量絕對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限1.設(shè)f(x)為定義于無限區(qū)間上的函數(shù)，所謂x的絕對(duì)值無限增大，包括如下三種情形：(1)

x取正值無限增大，記作x→+∞.

(2)

x取負(fù)值而|x|無限增大，記作x→－∞.

(3)

x不限定正負(fù)而|x|無限增大，記作x→∞.

一、函數(shù)極限的定義考察函數(shù)f(x)=xx+1，從圖2-5中可以看出，當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f(x)=xx+1無限趨近于常數(shù)1，此時(shí)稱1為函數(shù)f(x)=xx+1當(dāng)x→+∞時(shí)的極限.圖2-5一、函數(shù)極限的定義當(dāng)x→+∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限與當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列f(n)的極限十分類似，所不同的只是自變量x→+∞與n→∞的方式不同：x是連續(xù)地趨于+∞，而n是間斷地趨于∞.因此，它們的極限定義也極為類似，只需把數(shù)列極限中的“存在正整數(shù)N”用“存在正數(shù)M”來代替，當(dāng)“n>N時(shí)”用“當(dāng)x>M時(shí)”來代替，就可得下述定義.一、函數(shù)極限的定義定義4設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(a,+∞)上，且存在常數(shù)A，如果對(duì)于任意給定的ε>0，總存在正數(shù)M，當(dāng)x>M時(shí)，恒有

|f(x)－A|<ε成立，則稱A為x→+∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記為

limx→+∞f(x)=A或f(x)→A(x→+∞)

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關(guān)于x→－∞時(shí)函數(shù)極限的定義，可仿照定義4給出.一、函數(shù)極限的定義定義5設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(－∞,a)上，且存在常數(shù)A，如果對(duì)于任意給定的ε>0，總存在正數(shù)M，當(dāng)x<－M時(shí)，恒有

|f(x)－A|<ε成立，則稱A為x→－∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限，記為

limx→－∞f(x)=A或f(x)→A(x→－∞)

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為了準(zhǔn)確描述函數(shù)f(x)當(dāng)x的絕對(duì)值無限增大時(shí)的變化情況，我們給出函數(shù)極限的“ε-M”定義.

一、函數(shù)極限的定義定義6如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論多么小)，總存在一個(gè)正數(shù)M，使得當(dāng)|x|>M時(shí)，恒有|f(x)－A|<ε成立，則稱當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)的極限為A，記作對(duì)于給定的正數(shù)ε，作兩條平行線y=A－ε和y=A+ε，總有一個(gè)正數(shù)M存在，當(dāng)x∈(－∞,－M)∪(M,+∞)時(shí)，y=f(x)的圖形全部落在這兩條平行線之間(見圖2-6).

一、函數(shù)極限的定義讀者可仿照定義6給出x→+∞和x→－∞時(shí)函數(shù)極限的“ε-M”定義的幾何解釋.

圖2-6一、函數(shù)極限的定義【例14】一、函數(shù)極限的定義【例15】一、函數(shù)極限的定義“ε-M”證法的一般步驟是：①ε>0；②令f(x)－A<ε；③推出x>φ(ε)；④取M=φ(ε).其中關(guān)鍵的一步是由

f(x)－A<εx>φ(ε)，找到M=φ(ε)，并用定義敘述結(jié)論.利用定義不難推出如下定理成立.注一、函數(shù)極限的定義定理9一、函數(shù)極限的定義【例16】一、函數(shù)極限的定義當(dāng)自變量趨向于某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f(x)的極限2.【例17】圖2-7一、函數(shù)極限的定義一、函數(shù)極限的定義一、函數(shù)極限的定義定義7設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論多么小)，總存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x－x0|<δ時(shí)，恒有

|f(x)－A|<ε成立，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)的極限為A，記作

一、函數(shù)極限的定義對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，作兩條平行線y=A－ε和y=A+ε，總有一個(gè)正數(shù)δ存在，當(dāng)0<|x－x0|<δ，即x0－δ<x<x0+δ時(shí)，y=f(x)的圖形全部落在這兩條平行線之間(見圖2-8).

圖2-8一、函數(shù)極限的定義①在極限定義中，要求|x－x0|>0是為了去掉x=x0的情形.因函數(shù)f(x)在x=x0處是否有定義并不影響函數(shù)f(x)在x→x0時(shí)是否有極限.但當(dāng)x→1時(shí)，其極限為4，所以定義中的0<|x－x0|<δ不能寫成|x－x0|<δ.②δ是由給定的ε和不等式|f(x)－A|<ε來確定的，故δ與ε有關(guān)，且ε越小δ就越小.有時(shí)為了表示這種依賴關(guān)系，就寫成δ(ε)，但是δ的值不是唯一的(若δ滿足要求，則比δ小的任何正數(shù)都滿足要求).③由定義求函數(shù)極限時(shí)，常常先限定自變量x的變化范圍：|x－x0|<δ0.由于我們考察的是：當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì)，所以在點(diǎn)x0鄰域(x0－δ0,x0+δ0)之外，函數(shù)f(x)的變化是無關(guān)緊要的.注一、函數(shù)極限的定義【例18】一、函數(shù)極限的定義【例19】一、函數(shù)極限的定義“ε-δ”證法的一般步驟是：①將f(x)－A化簡(jiǎn)或適當(dāng)放大成f(x)－A≤φ(x－x0)；②ε>0，令φ(x－x0)<ε，解得x－x0<δ(ε)；③取δ=δ(ε)或δ=min{1,δ(ε)}等；④用“ε-δ”語言敘述結(jié)論.其中關(guān)鍵的一步是“瞄準(zhǔn)”式子x－x0，由

f(x)－A≤φ(x－x0)<εx－x0<δ(ε)，找到δ.有時(shí)為了找δ，還要輔以放大不等式，先不妨設(shè)x－x0<1等技巧.注一、函數(shù)極限的定義單邊極限3.在定義4中，所謂的“x→x0”指的是x從x0的左、右兩側(cè)趨近于x0，我們把f(x)在點(diǎn)x0的極限稱為雙邊極限.但在有些問題中，往往只需要考慮x從x0的一側(cè)趨近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)的變化趨勢(shì)，我們把f(x)在點(diǎn)x0的一側(cè)趨近于x0時(shí)的極限稱為單邊極限.一、函數(shù)極限的定義定義8設(shè)函數(shù)f(x)在x0的左側(cè)有定義，如果當(dāng)x從x0的左側(cè)(x<x0)趨近于x0(記為x→x－0)時(shí)f(x)以A為極限，即如果對(duì)于任意給定的ε>0，總存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)0<x0－x<δ(或x0－δ<x<x0)時(shí)，恒有

|f(x)－A|<ε，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的左極限，記為類似地有下面的定義.一、函數(shù)極限的定義定義9設(shè)函數(shù)f(x)在x0的右側(cè)有定義，如果當(dāng)x從x0的右側(cè)(x>x0)趨近于x0(記為x→x+0)時(shí)f(x)以A為極限，即如果對(duì)于任意給定的ε>0，總存在一個(gè)正數(shù)δ，使得當(dāng)0<x－x0<δ(或x0<x<x0+δ)時(shí)，恒有

|f(x)－A|<ε，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的右極限，記為

為了精確描述函數(shù)f(x)當(dāng)x無限趨近于某一點(diǎn)(即x→x0)時(shí)的變化情況，我們給出函數(shù)極限的“ε-δ”定義.

由雙邊極限及單邊極限的定義不難推出，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的極限與函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的左、右極限有如下關(guān)系.一、函數(shù)極限的定義定理10一、函數(shù)極限的定義【例20】一、函數(shù)極限的定義定義10如果因變量Y在自變量的某一變化過程中，無限趨近于某一常數(shù)A，則稱A為變量Y的極限，簡(jiǎn)記為limY=A或Y→A

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利用極限的精確定義證明極限時(shí)，有關(guān)“ε”的特性和“N，M，δ”的尋找方法，本書不再詳細(xì)介紹，有興趣的讀者可參看數(shù)學(xué)分析有關(guān)教材和參考書.二、函數(shù)極限的性質(zhì)定理11(有界性定理)若limx→x0f(x)=A，則必存在x0的某一鄰域，使得函數(shù)f(x)在該鄰域內(nèi)有界，即存在正數(shù)M和δ，當(dāng)0<x－x0<δ時(shí)，有

f(x)≤M.

證按極限定義，對(duì)于任意給定的ε>0，總存在δ>0，使得當(dāng)x滿足0<x－x0<δ時(shí)，恒有