斯托克斯公式環(huán)

斯托克斯公式環(huán)流量與旋度一、斯托克斯公式平面上封閉曲線的曲線積分與其圍成的平面區(qū)域上的二重積分之間的關(guān)系可用格林公示來表示，沿空間封閉曲面的曲面積分與其所圍成的空間閉區(qū)域上的三重積分之間的關(guān)系可用高斯公式來表示，而斯托克斯公式則建立了沿空間曲面Σ的曲面積分與沿Σ的邊界曲線Γ的曲線積分之間的聯(lián)系.一、斯托克斯公式在給出斯托克斯公式之前，先對有向曲面Σ的側(cè)與其邊界曲線Γ滿足右手法則規(guī)定如下：當右手除拇指外的四指依Γ的繞行方向時，拇指所指的方向與Σ上法向量的指向相同，這時稱Γ是有向曲面Σ的正向邊界曲線.一、斯托克斯公式設Γ為分段光滑的空間有向閉曲線，Σ是以Γ為邊界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向與Σ的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）在曲面Σ（連同邊界Γ）上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有

（10-16）定理一、斯托克斯公式公式(10-16)稱為斯托克斯公式.斯托克斯公式還可寫為其中n=cos

αi+cos

βj+cos

γk為有向曲面Σ在點(x,y,z)處的單位法向量.一、斯托克斯公式

（10-18）根據(jù)兩類曲面積分間的關(guān)系，有一、斯托克斯公式證明先證明

（10-17）假定Σ與平行于z軸的直線相交不多于一點，并設Σ為曲面z=f（

x,y

）的上側(cè)，Σ的正向邊界曲線Γ在xOy面上的投影為平面有向曲線C，C所圍成的閉區(qū)域為Dxy.由第二類曲線積分的定義及格林公式,有一、斯托克斯公式又有向曲面Σ的法向量的方向余弦為因此故即

（10-19）一、斯托克斯公式比較式(10-18)和式(10-19)，可知式(10-17)成立.如果Σ取下側(cè)，Γ也相應地改成相反的方向，那么式(10-17)兩端同時改變符號，因此式(10-17)仍成立.同樣可證

（10-20）

（10-21）一、斯托克斯公式將式(10-17)、式(10-20)和式(10-21)相加即得公式(10-16).若曲面與平行于z軸的直線交點多于一個，則可用一些光滑曲線把Σ分成若干小塊，使每小塊能用這種形式來表示，因而這時式(10-16)也成立.一、斯托克斯公式求其中Γ是曲線從z軸正向看去Γ的方向是順時針方向.【例1】一、斯托克斯公式解法1令x=cos

θ,y=sinθ，則z=2－x+y=2－cos

θ+sinθ，所以一、斯托克斯公式解法2設Σ是平面x－y+z=2上以Γ為邊界的有限部分，其法向量與z軸正向的夾角為鈍角，Dxy為Σ在xOy面上的投影域.由斯托克斯公式得一、斯托克斯公式求其中Γ是曲線從z軸正向看去Γ的方向是逆時針方向.解設Σ是曲面x2+y2=2z上以Γ為邊界的有限部分，Σ的單位法向量為其法向量與z軸正向的夾角為銳角，由斯托克斯公式得【例2】一、斯托克斯公式

二、向量場的環(huán)流量與旋度設有向量場其中函數(shù)P,Q,R均連續(xù)，Γ是A的定義域內(nèi)的一條分段光滑的有向閉曲線，τ是Γ在點x,y,z處的單位切向量，則積分稱為向量場A沿有向閉曲線Γ的環(huán)流量.由兩類曲線積分的聯(lián)系，環(huán)流量又可表達為二、向量場的環(huán)流量與旋度在向量場A中任取一點M，過點M作一平面π，在平面π上任取一包圍點M的光滑閉曲線Γ，取Γ的方向與平面π的法向量n符合右手規(guī)則，Γ所圍區(qū)域D的面積記為S(D),則表示向量場A沿平面曲線Γ繞n旋轉(zhuǎn)的平均環(huán)量.二、向量場的環(huán)流量與旋度求向量場沿曲線（從z軸的正方向看去，L為逆時針方向）的環(huán)流量.解L的參數(shù)方程為【例3】二、向量場的環(huán)流量與旋度于是在π上令Γ收縮到點M,若存在，則稱此極限值為向量場A在點M處沿n方向的方向旋量.由斯托克斯公式及積分中值定理可知二、向量場的環(huán)流量與旋度

其中因此,如果記向量則這個式子表明，左端的極限值等于向量T在該向量n上的投影，而向量T只與向量場A有關(guān)，為此稱向量T是向量場A在點M的旋度，記為rotA(M),則二、向量場的環(huán)流量與旋度

利用向量微分算子Δ，向量場A的旋度rotA可表示為Δ×A，即二、向量場的環(huán)流量與旋度旋度具有下列性質(zhì)：(1)Δ×CA=CΔ×A(C為常數(shù)).(2)Δ×(A+B)=Δ×A+Δ×B.(3)Δ×uA=uΔ×A+Δu×A(u為數(shù)量函數(shù)).(4)Δ·(Δ×A)=0.(5)Δ×Δu=0(u為數(shù)量函數(shù)).二、向量場的環(huán)流量與旋度斯托克斯公式可寫為斯托克斯公式表明,