曲 率教學(xué)課件

曲率曲率已知如果兩個函數(shù)的單調(diào)性相同，它們所對應(yīng)的凹凸性不一定相同.即使兩個函數(shù)凹凸一致也不能判定它們所對應(yīng)的函數(shù)相等，因?yàn)樗鼈儓D形的彎曲程度不一定相同.在生產(chǎn)實(shí)踐和工程技術(shù)中，常常需要研究曲線的彎曲程度.例如，設(shè)計鐵路、髙速公路的彎道時，就需要根據(jù)最高限速來確定彎道的彎曲程度.所以，引出了曲率，用它來描述曲線的彎曲程度.

作為曲率的預(yù)備知識，先介紹弧微分的概念.一、弧微分設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，x0為a,b內(nèi)一定點(diǎn)，x,x+Δx為a,b內(nèi)兩個鄰近的點(diǎn)，M0,M,M′分別為曲線y=f(x)上與x0,x,x+Δx對應(yīng)的點(diǎn)，如圖4-17所示.在曲線y=f(x)上取定點(diǎn)M0作為度量弧長的起點(diǎn)，并規(guī)定依增大的方向作為弧的正向.圖4-17一、弧微分以s表示這條曲線由點(diǎn)M0到點(diǎn)M的一段弧M0M的長度，即s=M0M(有向曲線弧M0M的值也常記為M0M).顯然，弧長s是隨點(diǎn)Mx,y的確定而確定的，也就是說s是x的函數(shù)，記為s=s(x),而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù).

下面用已知函數(shù)y=f(x)來表示弧長s的微分ds.

設(shè)對應(yīng)于x的增量Δx，弧長s的增量為Δs，則Δs=MM′(見圖4-17).因?yàn)橄襇M′的長度MM′2=Δx2+Δy2,

一、弧微分一、弧微分上式稱為弧s=s(x)關(guān)于x的弧微分公式.二、曲率的概念及其計算先從幾何圖形上分析哪些量與曲線彎曲程度有關(guān).

如圖4-18所示，弧段M1M2比較平直，當(dāng)動點(diǎn)沿著這段弧從M1移動到M2時，切線轉(zhuǎn)過的角度為φ1，而弧段M2M3彎曲得比較厲害，當(dāng)動點(diǎn)沿著這段弧從M2移動到M3時，切線轉(zhuǎn)過的角度為φ2.圖4-18二、曲率的概念及其計算顯然φ2>φ1.然而，從圖4-19可以看出，兩曲線弧M1M2及N1N2的切線轉(zhuǎn)角相同，但彎曲程度明顯不同，短弧段比長弧段彎曲得厲害些.因此，曲線弧的彎曲程度與弧段的長度和切線轉(zhuǎn)過的角度均有關(guān).

圖4-19二、曲率的概念及其計算由此，引入描述曲線彎曲程度的概念——曲率.

設(shè)M,M′是曲線y=f(x)上兩點(diǎn)(見圖4-20)，設(shè)曲線在點(diǎn)M和點(diǎn)M′處切線的傾斜角分別為α和α+Δα，當(dāng)點(diǎn)從M沿曲線y=f(x)變到M′時，切線的轉(zhuǎn)角為Δα，而改變這個角度所經(jīng)過的路程則是弧長Δs=MM′.圖4-20二、曲率的概念及其計算二、曲率的概念及其計算例如，直線的切線就是其本身，當(dāng)點(diǎn)沿直線移動時，切線的

它表明直線上任一點(diǎn)的曲率都等于零.這與人們的直覺“直線不彎曲”是一致的.

又如，半徑為R的圓，圓上點(diǎn)M，M′處的切線所夾的角Δα等于中心角∠MO′M′(見圖4-21)，由于

所以圖4-21二、曲率的概念及其計算這表明，圓上各點(diǎn)處的曲率都等于半徑的倒數(shù)，且半徑越小曲率越大，即彎曲得越厲害.

下面來推導(dǎo)實(shí)際計算曲率的公式.

二、曲率的概念及其計算在直角坐標(biāo)系下，不能直接得到α與s之間的關(guān)系，但可以得到變量α，s與變量x的關(guān)系.二、曲率的概念及其計算【例49】二、曲率的概念及其計算【例50】三、曲率圓前面講過，圓周函數(shù)的任意點(diǎn)的曲率都是相同的，并且等于圓周半徑的倒數(shù)，這就啟發(fā)人們對于一般的曲線，都可以定義它的任意一點(diǎn)的曲率的倒數(shù)為曲線在這點(diǎn)的曲率半徑.

顯然，這個定義是具有非常直觀的意義的，因?yàn)楦鶕?jù)前面曲率的一般計算公式，可以看到一般曲線在某點(diǎn)的曲率完全由曲線在該點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)決定，因此如果過曲線上任意一點(diǎn)作一個圓與曲線相切，圓的半徑就是該點(diǎn)的曲率半徑，那么曲線在該點(diǎn)的曲率只與該點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的性質(zhì)，就完全可以通過研究通過該點(diǎn)的這個圓而得到，因?yàn)樗鼈兙哂型瑯拥陌纪剐院颓?，以及共同的切線.稱這個圓為曲線在該點(diǎn)的曲率圓，而這個圓的圓心則稱為曲線在該點(diǎn)的曲率中心.

三、曲率圓根據(jù)曲率半徑的定義，曲線上某點(diǎn)處的曲率半徑ρ與曲線在該點(diǎn)處的曲率K互為倒數(shù)，即上述公式表明，曲線上某點(diǎn)處的曲率半徑越大，曲線在該點(diǎn)處的曲率越小，則曲線越平緩；曲率半徑越小，曲率越大，則曲線在該點(diǎn)處彎曲得越厲害.三、曲率圓下面求曲率中心的坐標(biāo).

如圖4-22所示，設(shè)曲線的方程為y=f(x)，其二階導(dǎo)數(shù)y″在點(diǎn)x處不等于零，則曲線在點(diǎn)M(x,y)處的曲率中心O′(a,b)的坐標(biāo)為圖4-22三、曲率圓三、曲率圓當(dāng)點(diǎn)M(x,y)沿著曲線C