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微分中值定理微分中值定理微分中值定理給出了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ).微分中值定理包括羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理與柯西(Cauchy)中值定理,它們在微分學(xué)理論中占有重要地位.
一、羅爾定理如圖4-1所示,函數(shù)y=f(x)(x∈[a,b])是一條連續(xù)的曲線弧,除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線,且兩個端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,可以發(fā)現(xiàn)在曲線弧的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處,曲線有水平的切線.如果用數(shù)學(xué)語言把這個幾何現(xiàn)象描述出來,就可得到下面的羅爾中值定理(簡稱羅爾定理).
圖4-1一、羅爾定理定理1(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)在閉區(qū)間[a,b]端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b);那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ[ξ∈(a,b)],使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零,即f′(ξ)=0.
值得注意的是,羅爾定理要求f(x)應(yīng)同時滿足三個條件,若函數(shù)f(x)滿足定理的三個條件,則曲線y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi),至少有一條水平切線;若函數(shù)f(x)不能同時滿足定理的三個條件,則曲線y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi),可能就沒有水平切線.
一、羅爾定理例如,函數(shù)f(x)=|x|,x∈[-1,1],函數(shù)在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo),不滿足定理中可導(dǎo)的條件,如圖4-2所示,顯然,曲線沒有水平切線.
圖4-2一、羅爾定理又如函數(shù)g(x)=x,x∈[0,2],因?yàn)間(0)=0,g(2)=2,如圖4-3所示,兩個端點(diǎn)處函數(shù)值不相等,顯然,曲線也沒有水平切線.
由于羅爾定理的結(jié)論相當(dāng)于確定方程f′(x)=0在(a,b)內(nèi)有根,故常常利用羅爾定理來證明方程的根的存在性.
圖4-3一、羅爾定理設(shè)f(x)在[1,e]上連續(xù),在(1,e)上可導(dǎo),且f(1)=0,f(e)=1.證明方程【例1】一、羅爾定理羅爾定理表明,若連接曲線兩端的弦是水平的,則曲線上必有一點(diǎn),該點(diǎn)的切線也是水平的.如果將曲線轉(zhuǎn)一個角度,這時弦與切線的水平性雖被破壞了,但它們相互平行的性質(zhì)仍保持,進(jìn)而得到下面的定理.二、拉格朗日中值定理在羅爾定理中,由于f(a)=f(b),使得弦AB平行于x軸,因此點(diǎn)C處的切線實(shí)際上平行于弦AB(見圖4-4).現(xiàn)在如果取消f(a)=f(b)這個條件,那么弦AB不平行于x軸,此時,曲線弧AB上是否存在一個點(diǎn)C,使曲線在C處的切線平行于弦AB呢?以下介紹的拉格朗日中值定理回答了這個問題.圖4-4二、拉格朗日中值定理定理2(拉格朗日中值定理)若函數(shù)y=f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).
(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).
則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得(4-1)
或(4-2)二、拉格朗日中值定理由圖4-4可見,
為弦AB的斜率,而f′(ξ)為曲線在點(diǎn)C處切線的斜率.拉格朗日中值定理的幾何意義:在滿足定理?xiàng)l件的情況下,曲線y=f(x)上至少有一點(diǎn)C,使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于弦AB.由圖4-4亦可看出,羅爾定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)時的特殊情形.通過這種特殊關(guān)系,還可進(jìn)一步聯(lián)想到利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理.事實(shí)上,因?yàn)橄褹B方程為二、拉格朗日中值定理而曲線y=f(x)與弦AB在區(qū)間端點(diǎn)a,b處相交,故若用曲線方程y=f(x)與弦AB方程的差做成一個新函數(shù),則這個新函數(shù)在端點(diǎn)a,b處的函數(shù)值相等.由此即可證明拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理證構(gòu)造輔助函數(shù)容易驗(yàn)證F(x)滿足羅爾定理的條件,從而在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得F′(ξ)=0,即由此得即二、拉格朗日中值定理式(4-1)和式(4-2)均稱為拉格朗日中值公式.式(4-2)的左端f(b)-f(a)b-a表示函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上整體變化的平均變化率,右端f′(ξ)表示開區(qū)間(a,b)內(nèi)某點(diǎn)ξ處函數(shù)的局部變化率.于是,拉格朗日中值公式反映了可導(dǎo)函數(shù)在[a,b]上的整體平均變化率與在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)ξ處函數(shù)的局部變化率的關(guān)系.若從力學(xué)角度看,式(4-2)表示整體上的平均速度等于某一內(nèi)點(diǎn)處的瞬時速度.因此,拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶.拉格朗日中值公式對于b<a也成立.注二、拉格朗日中值定理設(shè)x,x+Δx∈(a,b),在以x,x+Δx為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用式(4-1),則有f(x+Δx)-f(x)=f′(x+θΔx)·Δx(0<θ<1),
即
Δy=f′(x0+θΔx)·Δx(0<θ<1).(4-3)
式(4-3)精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,這個公式又稱為有限增量公式.
拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有重要地位,也稱這個定理為微分中值定理.
已知常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零;但反過來,導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)是否為常數(shù)呢?回答是肯定的,現(xiàn)在就用拉格朗日中值定理來證明其正確性.二、拉格朗日中值定理推論1
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零,那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).
證在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)x1,x2(x1<x2),在區(qū)間[x1,x2]上應(yīng)用拉格朗日中值定理,由式(4-1)得f(x1)-f(x2)=f′(ξ)(x1-x2)(x1<ξ<x2),
由假設(shè)f′(ξ)=0,于是f(x1)=f(x2),再由x1,x2的任意性知,f(x)在區(qū)間I上任意點(diǎn)處的函數(shù)值都相等,即f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).
推論1表明,導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)就是常數(shù)函數(shù).這一結(jié)論在以后的積分學(xué)中將會用到.由推論1立即可得下面的推論2.二、拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間I上恒有f′(x)=g′(x),那么在區(qū)間I上f(x)=g(x)+C(C為常數(shù)).
二、拉格朗日中值定理證明不等式
sinx-siny≤x-y.證設(shè)f(t)=sint,易知該函數(shù)在以x與y為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件,故有
sinx-siny=cosξ(x-y)(ξ在x與y之間),因?yàn)閏os
ξ≤1,所以
sinx-siny≤x-y.【例2】三、柯西中值定理對于拉格朗日中值定理所討論的事實(shí),即一段處處具有不垂直于x軸切線的連續(xù)曲線弧,在它上面一定有平行于聯(lián)結(jié)兩個端點(diǎn)的弦的切線.
如果曲線由參數(shù)方程三、柯西中值定理于是得我們可以把這一事實(shí)表述成另一個定理,這一定理與拉格朗日中值定理的證明類似,關(guān)鍵是引入滿足羅爾定理的輔助函數(shù),如果用Ψ(t)表示輔助函數(shù),則有下面就給出柯西中值定理.三、柯西中值定理定理3(柯西中值定理)若函數(shù)F(x)和Φ(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F′(x)≠0
.
則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得證由假設(shè)可知F(b)-F(a)≠0,否則由于
F(b)-F(a)=F′(η)(b-a)=0,可得F′(η)=0,與假設(shè)矛盾.
三、柯西中值定理引進(jìn)輔助函數(shù)Ψ(t),顯然Ψ(t)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且有Ψ(a)=Ψ(b)=0.
由羅爾定理可知,至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)使Ψ′(ξ)=0,即
由此得如取F(t)=t,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理,因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例.
三、柯西中值定理驗(yàn)證柯西中值定理對函數(shù)f(x)=x2+3x-1,
g(x)=x+1在區(qū)間[0,1]上的正確性.解顯然函數(shù)f(x)=x2+3x-1和g(x)=x+1在區(qū)間[0,1]上連續(xù),在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f′(x)=2x+3,g′(x)=1≠0.于是f(x),g(x)滿足柯西中值定理的條件.一方面,由于【例3】三、柯西中值定理設(shè)0<x1<x2,求證:存在ξ∈(x1,x2),使得
x1ex2-x2ex1=(1-ξ)eξ(x1-x2).
【例4】三、柯西中值定理分析將欲證明的等式變形為三、柯西中值定理三、柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),證明:存在ξ∈(
a,b
),使得
b2f(b)-a2f(a)-(b-a)[2ξf(ξ)+ξ2f′(ξ)]=0.【例5】三、柯西中值定理分析將欲
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