線性變換的特征值與特征向量

線性變換的特征值與特征向量線性變換的特征值與特征向量定義6-4設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，σ是V上的一個(gè)線性變換.如果存在數(shù)域F中的一個(gè)數(shù)λ與線性空間V中一個(gè)非零向量α，使得σ(α)=λα（6-9）則稱數(shù)λ為線性變換σ的一個(gè)特征值，并且稱非零向量α為線性變換σ屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.線性變換的特征值與特征向量的定義一、我們知道，線性空間是對(duì)向量空間等具有同類性質(zhì)事物的一種抽象，而向量空間是對(duì)解析幾何中的2維和3維向量空間進(jìn)行的推廣.從幾何的角度上講，式（6-9）中的非零向量α，經(jīng)過(guò)線性變換σ的作用以后，保持在同一條直線上，或者方向相同，但長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的λ（λ>0）倍；或者方向相反，但長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的|λ|（λ<0）倍；或者將α變成零向量（λ=0）.與矩陣的特征值和特征向量一樣，線性變換的特征向量是非零向量，并且一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值，從而特征值由特征向量所唯一決定；但是，特征向量卻不是由特征值唯一決定的.下面，利用線性變換與矩陣之間的對(duì)應(yīng)，介紹求得線性變換的特征值和特征向量的方法.設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)n維線性空間，α1,α2,…,αn是V的一組基，σ是V上的一個(gè)線性變換，矩陣A為σ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示.如果數(shù)λ是線性變換σ的一個(gè)特征值，非零向量α是σ屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，即σ，λ，α滿足關(guān)系

σ(α)=λα設(shè)α在基α1,α2,…,αn下的坐標(biāo)向量為(k1,k2,…,kn)

T.根據(jù)第五章的定理5-4，有σ(α)在α1,α2,…,αn下的坐標(biāo)向量而λα在基α1,α2,…,αn的坐標(biāo)向量為λ(k1,k2,…,kn)

T.由一個(gè)向量在一組基下的坐標(biāo)是唯一的，得到因?yàn)棣潦欠橇阆蛄?，故其坐?biāo)向量(k1,k2,…,kn)

T也是非零的.因此，上式說(shuō)明λ是矩陣A的一個(gè)特征值，α在基α1,α2,…,αn下的坐標(biāo)向量(k1,k2,…,kn)

T是矩陣A屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.反之，如果λ是矩陣A的一個(gè)特征值，非零向量(a1,a2,…,an)

T是矩陣A屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，即再次根據(jù)第五章的定理5-4，有因?yàn)?a1,a2,…,an)

T非零，故ξ≠0.因此，λ是線性變換σ的一個(gè)特征值，非零向量ξ是σ屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.于是，把上面的結(jié)論綜合起來(lái)，即得下面的定理.定理6-7設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)n維線性空間，α1,α2,…,αn是V的一組基，σ是V上的一個(gè)線性變換，矩陣A為σ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示.則（1）數(shù)λ是線性變換σ的一個(gè)特征值的充分必要條件是λ是矩陣A的特征值.（2）當(dāng)λ是σ的一個(gè)特征值時(shí)，α為σ屬于λ的一個(gè)特征向量的充分必要條件是α在基α1,α2,…,αn下的坐標(biāo)向量為A屬于λ的一個(gè)特征向量.由定理可知，我們可以將求一個(gè)線性變換的特征值與特征向量，轉(zhuǎn)化成計(jì)算這個(gè)線性變換在一組取定基下的矩陣表示的特征值與特征向量的問(wèn)題.提示但是，一個(gè)線性變換的矩陣表示是與線性空間的一組基聯(lián)系在一起的，隨著線性空間的基的變化，矩陣表示可能是不同的.那么，將求線性變換的特征值與特征向量轉(zhuǎn)化為求矩陣的特征值與特征向量，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)歧義呢？回答是否定的.這是因?yàn)?，根?jù)第五章的定理5-6，同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣表示是相似的，而根據(jù)本章第一節(jié)的定理6-2，相似矩陣的特征值相同.因此，線性變換的矩陣表示的特征值與基的選取無(wú)關(guān).于是，通常也將線性變換σ的矩陣表示A的特征多項(xiàng)式和特征方程，稱為線性變換σ的特征多項(xiàng)式和特征方程.于是，求線性空間V上一個(gè)線性變換σ的特征值與特征向量的具體步驟如下：（1）在V中取定一組基α1,α2,…,αn，寫出σ在這組基下的矩陣表示A，即A滿足σ(α1,α2,…,αn)=(α1,α2,…,αn)A（2）求出矩陣A的特征多項(xiàng)式fA(λ)=λE-A在數(shù)域F中全部根，這就是A的全部特征值.（3）對(duì)于每個(gè)特征值λ=λ0，求出齊次線性方程組(λ0E-A)X=0

的一個(gè)基礎(chǔ)解系η1,η2,…,ηs，從而k1η1+k2η2+…+ksηs（k1,k2,…,ks不同時(shí)為0）即為矩陣A屬于特征值λ0的所有特征向量.由于η1,η2,…,ηs∈Fn，不妨設(shè)ηi=(a1i,a2i,…,ani)

T，i=1,2,…,s

令則k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs（k1,k2,…,ks不同時(shí)為0）即為線性變換σ屬于特征值λ0的所有特征向量.設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)n維線性空間，kι（k∈F任意的數(shù)）是V上的數(shù)乘變換，即

kι(α)=kα,α∈V試寫出kι的特征值和特征向量.解由kι的定義可知，kι在V的任意一組基下的矩陣表示均為kE.而矩陣kE的特征多項(xiàng)式為|λE-kE|=(λ－k)n

因此，k是線性變換kι唯一的特征值.并且，對(duì)于任意的0≠α∈V，均有kι(α)=kα.于是，V中的所有非零向量都是kι屬于特征值k的特征向量.【例6-6】線性變換的特征值與特征向量的性質(zhì)二、根據(jù)定理6-7，數(shù)λ為線性空間V上線性變換σ的一個(gè)特征值的充分必要條件是λ為σ的矩陣表示A的特征值，并且這種對(duì)應(yīng)與V的基的選取無(wú)關(guān).而在第五章第二節(jié)的定理5-3和定理5-5中還指出，在給定的一組基下，n維線性空間V上所有線性變換的集合End(V)和數(shù)域F上所有n階方陣（線性變換的矩陣表示）的集合Mn(F)是一一對(duì)應(yīng)的，且這種對(duì)應(yīng)保持End(V)中的運(yùn)算.因此，矩陣的特征值與特征向量的一些性質(zhì)在線性變換的特征值和特征向量中也是成立的.在這里，我們不加證明地列出相應(yīng)的結(jié)論.定理6-8設(shè)λ是線性變換σ的特征值，α是σ屬于λ的特征向量，則有(1)對(duì)于任意的常數(shù)k，kλ是kσ的特征值，且α是kσ屬于kλ的特征向量.(2)對(duì)于任意的正整數(shù)m，λm是σm的特征值，且α是σm屬于λm的特征向量.(3)對(duì)于φ(x)=asxs+as－1xs－1+…+a1x+a0，φ(λ)是φ(σ)=a

sσs+as－1σs－1+…+a1σ+a0ι的特征值，且α是φ(σ)屬于φ(λ)的特征向量.(4)當(dāng)σ是可逆線性變換時(shí)，λ－1是σ－1

的特征值，且α是σ－1屬于λ－1的特征向量.定理6-9

設(shè)λ1,λ2,…,λs是線性變換σ的互不相同的s個(gè)特征值，α1,α2,…,αs為分別與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則α1,α2,…,αs線性無(wú)關(guān).換句話說(shuō)，屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).定理6-10（哈密爾頓凱萊定理）設(shè)σ是n維線性空間V上的一個(gè)線性變換，fA(λ)=λn+an－1λn－1+…+a1λ+a0

是σ的特征多項(xiàng)式，即σ的矩陣表示A的特征多項(xiàng)式，則有fA(σ)=σn+an－1σn－1+…+a1σ+a0ι=0

右端的0為V上的零變換.設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)n維線性空間，σ,τ是V上的兩個(gè)可逆的線性變換.證明：στ和τσ具有相同的特征值.證明設(shè)向量組α1,α2,…,αn是V的一組基，且σ和τ在這組基下的矩陣表示分別為A和B.根據(jù)第五章第二節(jié)的定理5-5，A和B為可逆矩陣，并且στ和τσ在基α1,α2,…,αn下的矩陣表示分別為AB和BA.因此，只需證明AB和BA具有相同的特