向量組的秩課件

向量組的秩向量組的秩向量組的極大無(wú)關(guān)組與秩一、定義3-9設(shè)向量組Ⅰ0:αi1,αi2,…,αir

是向量組Ⅰ:α1,α2,…,αs的一個(gè)部分組.如果(1）向量組Ⅰ0是線性無(wú)關(guān)的.(2）向量組Ⅰ可以由向量組Ⅰ0線性表出.

則稱部分組Ⅰ0是向量組Ⅰ的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.顯然，往向量組Ⅰ:α1,α2,…,αs的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組Ⅰ0:αi1,αi2,…,αir中添加Ⅰ中任意一個(gè)向量β，所得到的向量組αi1,αi2,…,αir,β必線性相關(guān).這是因?yàn)椋蓸O大無(wú)關(guān)組的定義，β可以由Ⅰ0:αi1,αi2,…,αir線性表出，再由本章第三節(jié)的定理3-1即可得到.非零向量組Ⅰ均存在極大無(wú)關(guān)組.事實(shí)上，一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)，于是在Ⅰ中任取一個(gè)β1≠0，如果Ⅰ中其余的每個(gè)向量都與β1相關(guān)，即可由β1線性表出，則{β1}就為Ⅰ的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；否則，存在β2與β1無(wú)關(guān)，這時(shí)，{β1,β2}是Ⅰ的一個(gè)無(wú)關(guān)的部分組.如果Ⅰ中其余的每個(gè)向量都可由{β1,β2}線性表出，則{β1,β2}是Ⅰ的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；否則，存在向量β3不能由{β1,β2}線性表出，此時(shí)，{β1,β2,β3}是Ⅰ的一個(gè)無(wú)關(guān)的部分組.依次下去，總可以找到Ⅰ的一個(gè)部分組{β1,β2,…,βr}，使得這組向量是線性無(wú)關(guān)，且Ⅰ中的向量均可由這組向量線性表出，即{β1,β2,…,βr}是Ⅰ的極大無(wú)關(guān)組.另外，很容易看出，線性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組就是這個(gè)向量組本身.定理3-5非零向量組與其極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，換句話說，極大無(wú)關(guān)組是一個(gè)與向量組自身等價(jià)的無(wú)關(guān)部分組.證由上面的說明和極大無(wú)關(guān)組定義知，非零向量組存在極大無(wú)關(guān)組，并且原向量組可以由其極大無(wú)關(guān)組線性表出.因此，只需說明：極大無(wú)關(guān)組可以由原向量組線性表出.事實(shí)上，一個(gè)部分組可以由原向量組線性表出.因?yàn)?，如果設(shè)Ⅰ0:αi1,αi2,…,αir是向量組Ⅰ:α1,α2,…,αs的一個(gè)部分組.那么αip=0α1+…+0αip－1+1αip+0αip+1+…+0αs，αip∈Ⅰ0

即Ⅰ0可以由Ⅰ線性表出.驗(yàn)證{β1,β2}與{β2,β3}均為向量組β1=(2,1,3,1)T，β2=(1,2,0,1)T，β3=(1,－1,3,0)T

的極大無(wú)關(guān)組.解因?yàn)閮蓚€(gè)向量α與β線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)α與β成比例，又顯然β1與β2,β2與β3不成比例，因此，{β1,β2}，{β2,β3}均為線性無(wú)關(guān)的向量組.【例3-13】另外，由β1,β2,β3作為列向量組成的矩陣化成階梯形矩陣為又由于上面階梯形矩陣的非零行的個(gè)數(shù)小于線性方程組AX=0未知數(shù)的個(gè)數(shù)，因此，方程組AX=0存在非零解，從而β1,β2,β3線性相關(guān).由定理3-3，β3可以由{β1,β2}線性表出，β1可以由{β2,β3}線性表出，于是{β1,β2,β3}可以由{β1,β2}線性表出，也可由{β2,β3}線性表出.所以{β1,β2}與{β2,β3}均為向量組{β1,β2,β3}的極大無(wú)關(guān)組.由例題可知，一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組可能不唯一.但是，由定理3-5知，如果向量組存在極大無(wú)關(guān)組時(shí)，極大無(wú)關(guān)組均與原向量組等價(jià)，但向量組的等價(jià)是滿足傳遞性和對(duì)稱性，因此，向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的.向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是相同的.定義1-10將向量組α1,α2,…,αs的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記為R(α1,α2,…,αs).因?yàn)閱蝹€(gè)零向量0構(gòu)成的向量組不存在極大無(wú)關(guān)組，我們規(guī)定其秩為0.向量組的極大無(wú)關(guān)組不一定是唯一的，可能存在很多個(gè)極大無(wú)關(guān)組，但是這些極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是唯一確定的，這個(gè)數(shù)反映了向量組本身的性質(zhì).例如，上面【例3-13】中向量組{β1,β2,β3}的秩即為2.提示定理3-6向量組α1,α2,…,αs線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是R(α1,α2,…,αs)=s，換句話說，向量組α1,α2,…,αs線性相關(guān)的充分必要條件是R(α1,α2,…,αs)<s.證我們只需證明第一個(gè)結(jié)論，而第二個(gè)結(jié)論為第一個(gè)的逆否命題.必要性：如果向量組α1,α2,…,αs線性無(wú)關(guān)，那么向量組本身即為其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，因此，R(α1,α2,…,αs)=s.充分性：如果R(α1,α2,…,αs)=s，那么α1,α2,…,αs的極大無(wú)關(guān)組中含有s個(gè)向量.而α1,α2,…,αs中只有其本身含有s個(gè)向量，故α1,α2,…,αs是其本身的極大無(wú)關(guān)組，從而α1,α2,…,αs線性無(wú)關(guān).定理3-7等價(jià)的向量組必有相同的秩.證明設(shè)向量組Ⅰ:α1,α2,…,αs與Ⅱ:β1,β2,…,βt等價(jià)，Ⅰ0，Ⅱ0分別為Ⅰ和Ⅱ的極大無(wú)關(guān)組.由定理3-5知，向量組與其極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，再由等價(jià)的傳遞性和對(duì)稱性，向量組Ⅰ0和Ⅱ0也是等價(jià)的.最后，Ⅰ0和Ⅱ0所含向量的個(gè)數(shù)相同，即R(α1,α2,…,αs)=R(β1,β2,…,βt)定理3-8設(shè)向量組α1,α2,…,αs的秩R(α1,α2,…,αs)=r,那么α1,α2,…,αs中任意含有r個(gè)向量的無(wú)關(guān)部分組均為α1,α2,…,αs的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.證明不妨設(shè)α1,α2,…,αr為α1,α2,…,αs的任意一個(gè)無(wú)關(guān)部分組.只需證明向量組的任何一個(gè)向量β均可由α1,α2,…,αr線性表出.假設(shè)β不可以由α1,α2,…,αr線性表出，那么，α1,α2,…,αr,β是線性無(wú)關(guān)的，且可以由向量組α1,α2,…,αs的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組線性表出，從而有r+1≤r，這是不可能的.因此β可由α1,α2,…,αr線性表出.從而α1,α2,…,αr為α1,α2,…,αs的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.向量組的秩與矩陣的秩二、第二章介紹過矩陣的秩的概念，那么，矩陣的秩與向量組的秩之間有什么關(guān)系呢？下面討論這個(gè)問題.設(shè)m×n型矩陣將矩陣A的每一行看作一個(gè)n維行向量，并記α1=a11,a12,…a1n，α2=a21

,a22,…a2n,…,αm=am1,am2,…amn為矩陣A的行向量組，稱該行向量組的秩為矩陣A的行秩；將矩陣A的每一列看作一個(gè)m維列向量，并記為A的列向量組，稱該列向量組的秩為矩陣A的列秩.對(duì)于一般的矩陣，它的行秩與列秩有什么關(guān)系呢？先看一個(gè)例子.例如，對(duì)于矩陣A的行向量組為α1=1,1,3,2，α2=0,1,－1,0，α3=0,0,0,0，顯然α1,α2是它的唯一極大無(wú)關(guān)組，故A的行秩為2.A的列向量組為β1=1,0,0T，β2=1,1,0T，β3=3,－1,0T，β4=2,0,0T.可以驗(yàn)證，β1,β2是列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，故A的列秩為2.容易驗(yàn)證，矩陣A的秩也是2.由此可看出，矩陣A的行秩、列秩和矩陣A的秩都相等，這個(gè)結(jié)論對(duì)任何一個(gè)矩陣都成立.據(jù)此，我們很容易得到一個(gè)求向量組α1,α2,…,αn的秩的方法.對(duì)于只含有有限個(gè)向量的向量組α1,α2,…,αn，以向量組的向量αi（i=1,

2,…,n）為列向量構(gòu)造矩陣A=α1,α2,…,αn，對(duì)A進(jìn)行初等行變換，將A化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣A的秩，也是向量組α1,α2,…,αn的秩.求向量組α1=1,－2,1T，α2=2,－4,2T，α3=1,0,3T，α4=0,－4,－4T

的秩和它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解對(duì)矩陣A=α1,α2,α3,α4做初等行變換:【例3-14】顯然，RA=RB=2，即向量組α1,α2,α3,α4的秩為2.易見，β1,β3是矩陣B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，由定理3-4知，α1,α3是矩陣A的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.定理3-9向量組B=β1,β2,…,βs能由向量組A={α1,α2,…,αr}線性表示的充分必要條件是矩陣A=（α1,α2,…,αr）的秩等于矩陣A,B=(α1,α2,…,αr,β1,β2,…,βs)的秩，即RA=RA,B.證明（略）.根據(jù)定理3-9，我們?nèi)菀椎贸鋈缦峦普摚和普?-1

如果向量組B=β1,β2,…,βs可由向量組A=α1,α2,…,αr線性表示，那么Rβ1,β2,…,βs≤Rα1,α2,…,αr.證明

記