21.4二次函數的應用同步練習2023-2024學年滬科版 九年級數學上冊

21.4二次函數的應用第一課時一、單選題1．在一個邊長為2的正方形中挖去一個邊長為x（0＜x＜2）的小正方形，如果設剩余部分的面積為y，那么y關于x的函數解析式是（）A． B． C． D．2．一位運動員在距籃筐正下方水平距離處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為時，達到最大高度，然后準確落入籃筐．如圖所示，建立平面直角坐標系，已知籃筐中心到地面的距離為，該運動員身高，在這次跳投中，球在頭頂上方處出手，球出手時，他跳離地面的高度是()A． B． C． D．3．某地網紅秋千在推出后吸引了大量游客前來，其秋千高度h（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系可以近似地用二次函數刻畫，其圖象如圖所示，已知秋千在靜止時的高度為0.6m．根據圖象，當推出秋千3s后，秋千的高度為（）A．10m B．15m C．16m D．18m4．北中環(huán)橋是省城太原的一座跨汾河大橋(如圖1)，它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉鎖與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱(近似看成二次函數的圖象-拋物線)在同一豎直平面內，與拱腳所在的水平面相交于A，B兩點，拱高為78米(即最高點O到AB的距離為78米)，跨徑為90米(即AB=90米)，以最高點O為坐標原點，以平行于AB的直線為軸建立平面直角坐標系，則此拋物線鋼拱的函數表達式為()A． B． C． D．5．某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經過調查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低5元，每天可多售出10件，下列說法錯誤的是（）A．銷售單價降低15元時，每天獲得利潤最大B．每天的最大利潤為1250元C．若銷售單價降低10元，每天的利潤為1200元D．若每天的利潤為1050元，則銷售單價一定降低了5元二、填空題6．某商店銷售一批頭盔，售價為每頂80元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經調查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進價為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為_______元．7．在平面直角坐標系xOy中，函數y1＝x（x＜m）的圖象與函數y2＝x2（x≥m）的圖象組成圖形G．對于任意實數n，過點P（0，n）且與x軸平行的直線總與圖形G有公共點，寫出一個滿足條件的實數m的值為_____（寫出一個即可）．8．把一根長為50cm的鐵絲彎成一個長方形，設這個長方形一邊的長為xcm，它的面積為ycm2，則y與x之間的函數關系式為____．9．如圖，一段拋物線：記為，它與軸交于兩點，；將繞旋轉得到，交軸于；將繞旋轉得到，交軸于；如此進行下去，直至得到，若點在第段拋物線上，則___________．三、解答題10．某大型商場出售一種時令鞋，每雙進價100元，售價300元，則每天能售出400雙．經市場調查發(fā)現(xiàn)：每降價10元，則每天可多售出50雙．設每雙降價x元，每天總獲利y元．（1）如果降價40元，每天總獲利多少元呢？（2）每雙售價為多少元時，每天的總獲利最大？最大獲利是多少？11．某植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為a米的墻，現(xiàn)準備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開．小俊設計了如圖甲和乙的兩種方案：方案甲中AD的長不超過墻長；方案乙中AD的長大于墻長．（1）若a=6．①按圖甲的方案，要圍成面積為25平方米的花圃，則AD的長是多少米？②按圖乙的方案，能圍成的矩形花圃的最大面積是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪種方案能圍成面積最大的矩形花圃？請說明理由．

12．某隧道橫斷面由拋物線與矩形的三邊組成，尺寸如圖所示.(1)以隧道橫斷面拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，求該拋物線對應的函數關系式；(2)某卡車空車時能通過此隧道,現(xiàn)裝載一集裝箱箱寬3m,車與箱共高4.5m,此車能否通過隧道?并說明理由13．某店因為經營不善欠下38400元的無息貸款的債務，想轉行經營服裝專賣店又缺少資金，某電視臺欄目組決定借給該店30000元資金，并約定利用經營的利潤償還債務（所有債務均不計利息）.已知該店代理的品牌服裝的進價為每件40元，該品牌服裝日銷售量（件）與銷售價（元/件）之間的關系可用圖中的一條折線（實線）來表示.該店應支付員工的工資為每人每天82元，每天還應支付其他費用為106元（不包含債務）.（1）求日銷售量（件）與銷售價（元/件）之間的函數關系式；（2）若該店暫不考慮償還債務，當某天的銷售價為48元/件時，當天正好收支平衡（收人=支出），求該店員工的人數；（3）若該店只有2名員工，則該店最少需要多少天能還清所有債務，此時每件服裝的價格應定為多少元？14．某商店以每件50元的價格購進一批新型產品，如果按每件60元出售，那么每周可銷售500件．根據市場規(guī)律，這種產品的銷售單價每提高1元，其銷售量每周相應減少10件，但每件產品的銷售單價不低于60元，且不能高于85元，設每周的銷售量為y（件），這種產品的銷售單價為x（元），解答下列問題：（1）請直接寫出y與x之間的函數關系式；（2）商家要想每周獲得8000元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？（3）銷售單價為多少元時，每周獲得的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？第二課時一、單選題1．從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度(單位：)與小球運動時間(單位：)之間的函數關系如圖所示．下列結論：①小球在空中經過的路程是；②小球拋出3秒后，速度越來越快；③小球拋出3秒時速度為0；④小球的高度時，．其中正確的是()A．①④ B．①② C．②③④ D．②③2．某農產品市場經銷一種銷售成本為40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲一元，月銷售量就減少10千克．設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，則y與x的函數關系式為（）A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]3．如圖，兩條拋物線y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1與分別經過點(－2，0)，(2，0)且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為()A．8 B．6 C．10 D．44．如圖，正方形的邊長為，動點，同時從點出發(fā)，在正方形的邊上，分別按，的方向，都以的速度運動，到達點運動終止，連接，設運動時間為，的面積為，則下列圖象中能大致表示與的函數關系的是（）A． B．C． D．5．已知拋物線y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）與x軸最多有一個交點．以下四個結論：①abc＞0；②該拋物線的對稱軸在x=﹣1的右側；③關于x的方程ax2+bx+c+1=0無實數根；④≥2．其中，正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題6．如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經過點A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集為______________．7．如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千.拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為米.8．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍、兩邊）.設，若在處有一棵樹與墻、的距離分別是和，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），則花園面積的最大值為___.9．在某市中考體考前，某初三學生對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系為，由此可知該生此次實心球訓練的成績?yōu)開______米．三、解答題10．某文具店購進一批紀念冊，每本進價為20元，出于營銷考慮，要求每本紀念冊的售價不低于20元且不高于28元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y（本）與每本紀念冊的售價x（元）之間滿足一次函數關系：當銷售單價為22元時，銷售量為36本；當銷售單價為24元時，銷售量為32本．（1）求出y與x的函數關系式；（2）當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是多少元？（3）設該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元，將該紀念冊銷售單價定為多少元時，才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大？最大利潤是多少？11．已知二次函數y=ax2+bx﹣3a經過點A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D，（1）求此二次函數解析式；（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．12．某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．(1)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數關系式；(2)求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，那么銷售單價應控制在什么范圍內？13．如圖，（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在線段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點F，交BC的延長線于點N,FN⊥BC．（1）若點E是BC的中點（如圖1），AE與EF相等嗎？（2）點E在BC間運動時（如圖2），設BE=x，△ECF的面積為y．①求y與x的函數關系式；②當x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值.14．當今，越來越多的青少年在觀看影片《流浪地球》后，更加喜歡同名科幻小說，該小說銷量也急劇上升．書店為滿足廣大顧客需求，訂購該科幻小說若干本，每本進價為20元．根據以往經驗：當銷售單價是25元時，每天的銷售量是250本；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10本，書店要求每本書的利潤不低于10元且不高于18元．（1）直接寫出書店銷售該科幻小說時每天的銷售量（本）與銷售單價（元）之間的函數關系式及自變量的取值范圍．（2）書店決定每銷售1本該科幻小說，就捐贈元給困難職工，每天扣除捐贈后可獲得最大利潤為1960元，求的值．第一課時答案一、單選題B.A．B．B.D.二、填空題6．707．1（答案不唯一）8．9．-1三、解答題10．（1）根據題意知：每降價1元，則每天可多售出5雙，∴(400+5×40)×(300－40－100)=600×160=96000(元)答：如果降價40元，每天總獲利96000元．（2）根據題意，得y=(400+5x)(300－x－100)=－5x2+600x+80000=－5(x—60)2+98000∵a=－5，開口向下，y有最大值，∴當x=60時，即當售價為300—60=240元時，y有最大值=98000元答：每雙售價為240元時，每天的總獲利最大，最大獲利是98000元．11．解：（1）①設AB的長是x米，則AD=20-3x，根據題意得，x（20-3x）=25，解得：x1=5，x2=，當x=時，AD=15＞6，∴x=5，∴AD=5，答：AD的長是5米；②設AB的長是x米，矩形花圃的最大面積是y平分米，則AD=（20-3x+6），根據題意得，y=x（20-3x+6）=-x2+13x=-（x-）2+，答：按圖乙的方案，能圍成的矩形花圃的最大面積是平方米；（2）按圖甲的方案，設AB=x，能圍成的矩形花圃的面積為S，∴S=x（20-3x）=-3x2+20x=-3（x-）2+，當x=時，AD=10＞a，故第二種方案能圍成面積最大的矩形花圃．12．(1)如圖，設拋物線對應的函數關系式為y=ax2拋物線的頂點為原點，隧道寬6m，高5m，矩形的高為2m，所以拋物線過點A(?3,?3)，代入得?3=9a，解得a=?，所以函數關系式為(2)如果此車能通過隧道，集裝箱處于對稱位置，將x=1.5代入拋物線方程，得y=?0.75，此時集裝箱角離隧道的底為5?0.75=4.25米，不及車與箱總高4.5米，即4.25<4.5.從而此車不能通過此隧道.13．（1）當時，設y與x的函數關系式為y=k1x+b1，由圖象可得，解得，∴y=-2x+140.當時，設y與x的函數關系式為y=k2x+b2，由圖象得，解得，∴y=-x+82.綜上所述：y與x的函數關系式為；（2）設該店員工的人數為a，當x=48時，y=-2×48+140=44，∴（48-40）×44=106+82a，解得a=3.（3）設該店還清所有債務需要b天，則：b［（x-40）y-82×2-106］68400∴b.當時，由（1）知：.b∵x=55時，-2（x-55）2+180的最大值為180，∴b，即b380.當時，由（1）知：b∵x=61時，-（x-61）2+171的最大值為171，∴b，即b400.綜合兩種情形得b380，即該店最少需要380天能還清所有債務，此時每件服裝的價格應定為55元.14．解：（1）由題意可得；（2）由題意可得：解得：（不符合x的取值范圍，故舍去）答：商家要想每周獲得8000元的銷售利潤，銷售單價應定為70元．（3）設銷售利潤為w，由題意可得∵-10＜0∴當x=80時，銷售利潤為w的最大值為9000答：銷售單價為80元時，每周獲得的銷售利潤最大，最大利潤9000元．第二課時答案一、單選題D．C.A.A．C．二、填空題7．0.58．1809．10三、解答題10．(1)設y與x的函數關系式為y＝kx＋b.把(22，36)與(24，32)代入，得解得∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）.(2)設當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時，每本紀念冊的銷售單價是x元，根據題意，得(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.解得x1＝25，x2＝35(舍去)．答：每本紀念冊的銷售單價是25元．(3)由題意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.∵售價不低于20元且不高于28元，當x＜30時，y隨x的增大而增大，∴當x＝28時，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．答：該紀念冊銷售單價定為28元時，能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大，最大利潤是192元．11．（1）∵二次函數y=ax2+bx﹣3a經過點A（﹣1，0）、C（0，3），∴將A（﹣1，0）、C（0，3），代入，得，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）如圖，連接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4得，D點坐標為（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）y=﹣x2+2x+3對稱軸為直線x=1．假設存在這樣的點P,①以CD為底邊，則P1D=P1C，設P1點坐標為（x，y），根據勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P1點（x，y）在拋物線上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，(不滿足在對稱軸右側應舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即點P1坐標為（，）．②以CD為一腰，∵點P2在對稱軸右側的拋物線上，由