2025屆高考物理二輪專題復(fù)習(xí)與測試模塊一力與運動專題四萬有引力定律的理解和應(yīng)用

專題四萬有引力定律的理解和應(yīng)用[專題復(fù)習(xí)定位]1．通過建立天體運動的環(huán)繞模型，能夠熟練分析天體的運動特點。2.能夠利用圓周運動知識分析天體變軌的原理和能量變化情況。3.能夠熟練分析“雙星模型”問題。命題點1開普勒定律的理解和應(yīng)用1．(2024·山東卷，T5)“鵲橋二號”中繼星環(huán)繞月球運行，其24小時橢圓軌道的半長軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則月球與地球質(zhì)量之比可表示為(D)A．eq\r(\f(r3,a3)) B．eq\r(\f(a3,r3))C．eq\f(r3,a3) D．eq\f(a3,r3)解析：“鵲橋二號”中繼星在24小時橢圓軌道上運行時，由開普勒第三定律有eq\f(a3,T2)＝k，對地球同步衛(wèi)星由開普勒第三定律有eq\f(r3,T2)＝k′，其中k、k′與中心天體質(zhì)量成正比，則有eq\f(M月,M地)＝eq\f(k,k′)＝eq\f(a3,r3)，D正確。命題點2萬有引力定律的理解和應(yīng)用2．(2024·安徽卷，T5)2024年3月20日，我國探月工程四期鵲橋二號中繼星成功發(fā)射升空。當(dāng)?shù)诌_距離月球表面某高度時，鵲橋二號開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行，如圖所示，軌道的半長軸約為51900km。后經(jīng)多次軌道調(diào)整，進入凍結(jié)軌道運行，軌道的半長軸約為9900km，周期約為24h，則鵲橋二號在捕獲軌道運行時(B)A．周期約為144hB．近月點的速度大于遠月點的速度C．近月點的速度小于在凍結(jié)軌道運行時近月點的速度D．近月點的加速度大于在凍結(jié)軌道運行時近月點的加速度解析：凍結(jié)軌道和捕獲軌道的中心天體是月球，根據(jù)開普勒第三定律得eq\f(Teq\o\al(2,1),Req\o\al(3,1))＝eq\f(Teq\o\al(2,2),Req\o\al(3,2))，整理得T2＝T1eq\r(\f(Req\o\al(3,2),Req\o\al(3,1)))≈288h，A錯誤；根據(jù)開普勒第二定律得，近月點的速度大于遠月點的速度，B正確；鵲橋二號在近月點從捕獲軌道到凍結(jié)軌道進行近月制動，捕獲軌道近月點的速度大于在凍結(jié)軌道運行時近月點的速度，C錯誤；兩軌道的近月點所受的萬有引力相同，根據(jù)牛頓第二定律可知，鵲橋二號在捕獲軌道運行時近月點的加速度等于在凍結(jié)軌道運行時近月點的加速度，D錯誤。3．(2024·廣西卷，T1)潮汐現(xiàn)象出現(xiàn)的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。圖中a、b和c處單位質(zhì)量的海水受月球引力大小在(A)A．a(chǎn)處最大B．b處最大C．c處最大D．a(chǎn)、c處相等，b處最小解析：根據(jù)F＝Geq\f(Mm,R2)，可知圖中a處單位質(zhì)量的海水受到月球的引力最大。4．(2023·廣東卷，T7)如圖(a)所示，太陽系外的一顆行星P繞恒星Q做勻速圓周運動。由于P的遮擋，探測器探測到Q的亮度隨時間做如圖(b)所示的周期性變化，該周期與P的公轉(zhuǎn)周期相同。已知Q的質(zhì)量為M，引力常量為G。關(guān)于P的公轉(zhuǎn)，下列說法正確的是(B)A．周期為2t1－t0B．半徑為eq\r(3,\f(GM(t1－t0)2,4π2))C．角速度的大小為eq\f(π,t1－t0)D．加速度的大小為eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))解析：由題圖(b)可知探測器探測到Q的亮度隨時間變化的周期T＝t1－t0，則P的公轉(zhuǎn)周期為t1－t0，故A錯誤；P繞恒星Q做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得半徑r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))＝eq\r(3,\f(GM\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1－t0))2,4π2))，故B正確；P的角速度ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t1－t0)，故C錯誤；P的加速度大小a＝ω2r＝(eq\f(2π,t1－t0))2·eq\r(3,\f(GM\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1－t0))2,4π2))＝eq\f(2π,t1－t0)·eq\r(3,\f(2πGM,t1－t0))，故D錯誤。5．(2023·山東卷，T3)牛頓認為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)，且都滿足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為(C)A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))解析：設(shè)地球半徑為R，由題知，地球表面的重力加速度為g，則有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球繞地球公轉(zhuǎn)有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，聯(lián)立有T＝120πeq\r(\f(r,g))。6.(多選)(2024·廣東卷，T9)如圖所示，探測器及其保護背罩通過彈性輕繩連接降落傘。在接近某行星表面時以60m/s的速度豎直勻速下落。此時啟動“背罩分離”，探測器與背罩斷開連接，背罩與降落傘保持連接。已知探測器質(zhì)量為1000kg，背罩質(zhì)量為50kg，該行星的質(zhì)量和半徑分別為地球的eq\f(1,10)和eq\f(1,2)。地球表面重力加速度大小g取10m/s2。忽略大氣對探測器和背罩的阻力。下列說法正確的有(AC)A．該行星表面的重力加速度大小為4m/s2B．該行星的第一宇宙速度為7.9km/sC．“背罩分離”后瞬間，背罩的加速度大小為80m/s2D．“背罩分離”后瞬間，探測器所受重力對其做功的功率為30kW解析：在行星表面，根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得g＝eq\f(GM,R2)，可得該行星表面的重力加速度大小g′＝4m/s2，故A正確；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，故該行星的第一宇宙速度v行＝eq\f(\r(5),5)v地＝eq\f(\r(5),5)×7.9km/s，故B錯誤；“背罩分離”前，繩的彈力F彈＝(m背＋m探)g′，分離后瞬間，F(xiàn)彈不變，a＝eq\f(F彈－m背g′,m背)＝80m/s2，故C正確；“背罩分離”后瞬間探測器所受重力對其做功的功率P＝m探g′v＝1000×4×60W＝240kW，故D錯誤。命題點3衛(wèi)星和天體運行的分析7．(2024·新課標(biāo)卷，T16)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的(B)A．0.001 B．0.1C．10倍 D．1000倍解析：設(shè)紅矮星質(zhì)量為M1，行星質(zhì)量為m1，運行半徑為r1，周期為T1；太陽的質(zhì)量為M2，地球質(zhì)量為m2，運行半徑為r2，周期為T2，Geq\f(M1m1,req\o\al(2,1))＝m1eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(M2m2,req\o\al(2,2))＝m2eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，聯(lián)立可得eq\f(M1,M2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2，解得eq\f(M1,M2)≈0.1。8.(2024·湖北卷，T4)太空碎片會對航天器帶來危害。設(shè)空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑，則(A)A．空間站變軌前、后在P點的加速度相同B．空間站變軌后的運動周期比變軌前的小C．空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小D．空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大解析：在P點變軌前后空間站所受到的萬有引力不變，空間站變軌前、后在P點的加速度相同，故A正確；因為變軌后其半長軸大于原軌道半徑，空間站變軌后的運動周期比變軌前的大，故B錯誤；變軌后在P點因反沖運動相當(dāng)于瞬間獲得豎直向下的速度，原水平向左的圓周運動速度不變，因此合速度變大，故C錯誤；由于空間站變軌后在P點的速度比變軌前大，而比在近地點的速度小，則空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的小，故D錯誤。9.(多選)(2024·河北卷，T8)2024年3月20日，鵲橋二號中繼星成功發(fā)射升空，為嫦娥六號在月球背面的探月任務(wù)提供地月間中繼通信。鵲橋二號采用周期為24h的環(huán)月橢圓凍結(jié)軌道(如圖)，近月點A距月心約為2.0×103km，遠月點B距月心約為1.8×104km，CD為橢圓軌道的短軸，下列說法正確的是(BD)A．鵲橋二號從C經(jīng)B到D的運動時間為12hB．鵲橋二號在A、B兩點的加速度大小之比約為81∶1C．鵲橋二號在C、D兩點的速度方向垂直于其與月心的連線D．鵲橋二號在地球表面附近的發(fā)射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s解析：鵲橋二號圍繞月球做橢圓運動，從A→C→B做減速運動，從B→D→A做加速運動，則從C→B→D的運動時間大于半個周期，即大于12h，故A錯誤；鵲橋二號在A點時，有Geq\f(Mm,req\o\al(2,A))＝maA，同理在B點有Geq\f(Mm,req\o\al(2,B))＝maB，聯(lián)立解得aA∶aB＝81∶1，故B正確；鵲橋二號速度方向應(yīng)為軌跡的切線方向，則鵲橋二號在C、D兩點的速度方向不可能垂直于其與月心的連線，故C錯誤；鵲橋二號未脫離地球的束縛，故鵲橋二號的發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D正確。10．(多選)(2024·湖南卷，T7)2024年5月3日，“嫦娥六號”探測器順利進入地月轉(zhuǎn)移軌道，正式開啟月球之旅。相較于“嫦娥四號”和“嫦娥五號”，本次的主要任務(wù)是登陸月球背面進行月壤采集，并通過升空器將月壤轉(zhuǎn)移至繞月運行的返回艙，返回艙再通過返回軌道返回地球。設(shè)返回艙繞月運行的軌道為圓軌道，半徑近似為月球半徑。已知月球表面重力加速度約為地球表面的eq\f(1,6)，月球半徑約為地球半徑的eq\f(1,4)。關(guān)于返回艙在該繞月軌道上的運動，下列說法正確的是(BD)A．其相對于月球的速度大于地球第一宇宙速度B．其相對于月球的速度小于地球第一宇宙速度C．其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛(wèi)星周期的eq\r(\f(2,3))D．其繞月飛行周期約為地球上近地圓軌道衛(wèi)星周期的eq\r(\f(3,2))倍解析：Geq\f(M月m,req\o\al(2,月))＝meq\f(veq\o\al(2,月),r月)，Geq\f(M月m,req\o\al(2,月))＝mg月，聯(lián)立解得v月＝eq\r(g月r月)，v地＝eq\r(g地r地)，代入題中數(shù)據(jù)可得v月＝eq\f(\r(6),12)v地，故A錯誤，B正確；根據(jù)T＝eq\f(2π,v)·r可得T月＝eq\r(\f(3,2))T地，故C錯誤，D正確。11.(2023·湖北卷，T2)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯?nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出(B)A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8B．當(dāng)火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4D．下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前解析：火星和地球均繞太陽運動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,地))＝eq\f(Teq\o\al(2,火),Teq\o\al(2,地))可得eq\f(T火,T地)＝eq\r(\f(req\o\al(3,火),req\o\al(3,地)))＝eq\f(3\r(3),2\r(2))，故A錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運動，速度大小均不變，當(dāng)火星與地球相距最遠時，由于兩者的速度方向相反，故此時兩者相對速度最大，故B正確；在星球表面根據(jù)萬有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，由于不知道火星和地球的質(zhì)量比和半徑比，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度之比，故C錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運動，有ω火＝eq\f(2π,T火)，ω地＝eq\f(2π,T地)，要發(fā)生下一次火星沖日則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)－\f(2π,T火)))t＝2π，得t＝eq\f(T火T地,T火－T地)>T地，可知下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之后，故D錯誤。題型一開普勒定律的理解和應(yīng)用已知地球同步衛(wèi)星距地面的高度約為地球半徑的6倍，月球繞地球一圈的時間約為27天。如圖，某時刻地球、月球和同步衛(wèi)星的中心在一條直線，此時月球到同步衛(wèi)星的距離與地球半徑之比約為(C)A．28 B．48C．56 D．63[解析]設(shè)月球圍繞地球運行的軌道半徑為R月，同步衛(wèi)星的運行軌道半徑為R同，根據(jù)開普勒第三定律有eq\f(Req\o\al(3,月),Teq\o\al(2,2))＝eq\f(Req\o\al(3,同),Teq\o\al(2,1))，其中T1＝1天，T2＝27天，R同＝6R＋R，聯(lián)立解得R月＝63R，故此時月球到同步衛(wèi)星的距離與地球半徑之比約為eq\f(R月－R同,R)＝eq\f(63R－7R,R)＝56。題型二萬有引力定律的理解和應(yīng)用1．基本思路根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma求出相應(yīng)物理量的表達式即可討論或求解，需要注意的是a、v、ω、T均與衛(wèi)星質(zhì)量無關(guān)。2．天體運行的基本規(guī)律在地面附近靜止忽略自轉(zhuǎn)：Geq\f(Mm,R2)＝mg，故GM＝gR2(黃金代換式)在地面附近靜止考慮自轉(zhuǎn)(自轉(zhuǎn)角速度為ω0)兩極：Geq\f(Mm,R2)＝mg赤道：Geq\f(Mm,R2)＝mg0＋mωeq\o\al(2,0)R衛(wèi)星的發(fā)射地球第一宇宙速度：v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s(天體)衛(wèi)星在圓軌道上運行eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(G\f(Mm,r2)＝,Fn＝))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(man→an＝\f(GM,r2)→an∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))高軌低速周期長，低軌高速周期短考向1天體運行中的失重現(xiàn)象空間站是一種在近地軌道長時間運行、可供航天員工作和生活的載人航天器，其運行軌道可以近似為圓。圖甲為我國三名航天員站立在空間站內(nèi)地板上的情景，圖乙是航天員王亞平在空間站做的實驗。已知同步衛(wèi)星的軌道半徑大于近地軌道半徑，下列說法正確的是(D)A．空間站內(nèi)的航天員處于平衡狀態(tài)B．空間站內(nèi)的航天員不能用拉力器鍛煉肌肉力量C．空間站的加速度比地球同步衛(wèi)星向心加速度小D．空間站內(nèi)飄浮的水滴呈球形是由水完全失重和水的表面張力共同造成的[解析]空間站內(nèi)的航天員處于完全失重狀態(tài)，不是平衡狀態(tài)，故A錯誤；拉力器的工作原理是彈簧的形變，與重力無關(guān)，所以依然能用拉力器鍛煉肌肉力量，故B錯誤；因為空間站的軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma可知，空間站的加速度比地球同步衛(wèi)星向心加速度大，故C錯誤；空間站內(nèi)飄浮的水滴呈球形是由水完全失重和水的表面張力共同造成的，故D正確。考向2萬有引力定律的應(yīng)用(2023·遼寧卷，T7)在地球上觀察，月球和太陽的角直徑(直徑對應(yīng)的張角)近似相等。如圖所示，若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為(D)A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2C．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 D．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2[解析]設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得Geq\f(m地m月,req\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,req\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，其中eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)＝eq\f(R地,kR日)，ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πR3)，聯(lián)立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))eq\s\up12(2)，故選D。(2023·湖南卷，T4)根據(jù)宇宙大爆炸理論，密度較大區(qū)域的物質(zhì)在萬有引力作用下，不斷聚集可能形成恒星。恒星最終的歸宿與其質(zhì)量有關(guān)，如果質(zhì)量為太陽質(zhì)量的1～8倍將坍縮成白矮星，質(zhì)量為太陽質(zhì)量的10～20倍將坍縮成中子星，質(zhì)量更大的恒星將坍縮成黑洞。設(shè)恒星坍縮前后可看成質(zhì)量均勻分布的球體，質(zhì)量不變，體積縮小，自轉(zhuǎn)變快。不考慮恒星與其他物體的相互作用。已知逃逸速度為第一宇宙速度的eq\r(2)倍，中子星密度大于白矮星。根據(jù)萬有引力理論，下列說法正確的是(B)A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同B．恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大C．恒星坍縮前后的第一宇宙速度不變D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度[解析]恒星可看成質(zhì)量均勻分布的球體，同一恒星表面任意位置物體受到的萬有引力提供重力加速度和繞恒星自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的向心加速度，不同位置的向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A錯誤；恒星兩極處自轉(zhuǎn)的向心加速度為零，萬有引力全部提供重力加速度，恒星坍縮前后可看成質(zhì)量均勻分布的球體，質(zhì)量不變，體積縮小，由萬有引力表達式F萬＝eq\f(GMm,R2)可知，恒星表面物體受到的萬有引力變大，根據(jù)牛頓第二定律可知恒星坍縮后表面兩極處的重力加速度比坍縮前的大，B正確；由第一宇宙速度物理意義可得eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，整理得v＝eq\r(\f(GM,R))，恒星坍縮前后質(zhì)量不變，體積縮小，故第一宇宙速度變大，C錯誤；由質(zhì)量分布均勻球體的質(zhì)量表達式M＝eq\f(4π,3)R3ρ得R＝eq\r(3,\f(3M,4πρ))，已知逃逸速度為第一宇宙速度的eq\r(2)倍，則v′＝eq\r(2)v＝eq\r(\f(2GM,R))，聯(lián)立整理得v′2＝2v2＝eq\f(2GM,R)＝2Geq\r(3,\f(4πρM2,3))，由題意可知中子星的質(zhì)量和密度均大于白矮星的，結(jié)合上述表達式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D錯誤?？枷?天體運行參量的分析(2024·湛江市一模)北京時間2024年1月9日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心采用長征二號丙運載火箭，成功將“愛因斯坦探針”空間科學(xué)衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入高度為600km、傾角為29°的近地軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功。已知同步衛(wèi)星距地球表面高度約為35900km。下列說法正確的是(D)A．該衛(wèi)星的運行速度大于第一宇宙速度B．該衛(wèi)星的運行周期大于24hC．該衛(wèi)星軌道處的重力加速度大于9.8m/s2D．該衛(wèi)星運行的角速度大于同步衛(wèi)星的角速度[解析]根據(jù)牛頓第二定律Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，該衛(wèi)星的運行半徑大于地球的半徑，故運行速度小于第一宇宙速度，故A錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，該衛(wèi)星的運行半徑小于地球同步衛(wèi)星的半徑，同步衛(wèi)星的運行周期為24h，故該近地衛(wèi)星的運行周期小于24h，故B錯誤；由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))又ω＝eq\f(2π,T)知，半徑r越小，周期T越小，角速度ω越大，因為該衛(wèi)星運行周期小于同步衛(wèi)星的周期24h，故該衛(wèi)星的運行角速度大于同步衛(wèi)星的角速度，故D正確；由mg＝Geq\f(Mm,R2)，mg1＝Geq\f(Mm,r2)可知，由于r>R聯(lián)立知g1<g＝9.8m/s2，即該衛(wèi)星軌道處的重力加速度小于9.8m/s2，故C錯誤。題型三同步衛(wèi)星和“雙星模型”考向1地球同步衛(wèi)星北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓軌道(軌道半徑約28000km)衛(wèi)星、3顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星(兩種衛(wèi)星軌道半徑相等，均約為42000km)組成，則(B)A．傾斜地球同步軌道衛(wèi)星和靜止同步軌道衛(wèi)星周期不相等B．北斗三號導(dǎo)航系統(tǒng)所有衛(wèi)星繞地球運行的線速度均小于7.9km/sC．傾斜地球同步軌道衛(wèi)星能定點北京上空并與北京保持相對靜止D．中圓軌道衛(wèi)星線速度約為地球靜止同步衛(wèi)星線速度的1.5倍[解析]根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，可知傾斜地球同步軌道衛(wèi)星和靜止同步軌道衛(wèi)星周期相等，故A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，地球第一宇宙速度7.9km/s等于衛(wèi)星在地球表面軌道繞地球做勻速圓周運動的線速度，可知北斗三號導(dǎo)航系統(tǒng)所有衛(wèi)星繞地球運行的線速度均小于7.9km/s，故B正確；傾斜地球同步軌道衛(wèi)星不能與北京保持相對靜止，故C錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知中圓軌道衛(wèi)星線速度與地球靜止同步衛(wèi)星線速度之比eq\f(v1,v2)＝eq\r(1.5)，故D錯誤?？枷?“雙星模型”問題模型概述兩星在相互間萬有引力的作用下都繞它們連線上的某一點做勻速圓周運動特點角速度(周期)相等向心力各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供eq\f(Gm1m2,l2)＝m1ω2r1，eq\f(Gm1m2,l2)＝m2ω2r2軌道半徑關(guān)系(1)r1＋r2＝l(2)m1r1＝m2r2總質(zhì)量m1＋m2＝eq\f(4π2l3,GT2)(多選)我國天文學(xué)家通過“天眼”在武仙座球狀星團中發(fā)現(xiàn)一個由白矮星P、脈沖星Q組成的雙星系統(tǒng)。如圖所示，P、Q繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，忽略其他天體對P、Q的影響。已知P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，P、Q的總質(zhì)量為M，距離為L，運動周期均為T，則(AD)A．P的質(zhì)量小于Q的質(zhì)量B．P的線速度小于Q的線速度C．P受到的引力小于Q受到的引力D．若總質(zhì)量M恒定，則L越大，T越大[解析]P受到的引力與Q受到的引力為相互作用力，大小相等，故C錯誤；設(shè)P的質(zhì)量為mP，Q的質(zhì)量為mQ，由萬有引力提供向心力可得eq\f(GmPmQ,L2)＝mPeq\f(4π2,T2)rP，eq\f(GmPmQ,L2)＝mQeq\f(4π2,T2)rQ，可得mPrP＝mQrQ，由于P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，可知P的質(zhì)量小于Q的質(zhì)量，故A正確；根據(jù)v＝eq\f(2πr,T)可知，由于P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，可知P的線速度大于Q的線速度，故B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力可得eq\f(GmPmQ,L2)＝mPeq\f(4π2,T2)rP，eq\f(GmPmQ,L2)＝mQeq\f(4π2,T2)rQ，可得G(mP＋mQ)＝GM＝eq\f(4π2,T2)L3，若總質(zhì)量M恒定，則L越大，T越大，故D正確。題型四衛(wèi)星變軌和能量問題1．由低軌變高軌，瞬時點火加速，穩(wěn)定在高軌道上時速度較小、動能較小、機械能較大；由高軌變低軌，反之。2．衛(wèi)星經(jīng)過兩個軌道的相切點，加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度。載人飛船和空間站對接的一種方法叫“同橢圓軌道法”，其簡化示意圖如圖所示。先把飛船發(fā)射到近地圓形軌道Ⅰ，然后經(jīng)過多次變軌使飛船不斷逼近空間站軌道，當(dāng)兩者軌道很接近的時候，再從空間站下方、后方緩慢變軌進入空間站軌道。Ⅱ、Ⅲ是繞地球運行的橢圓軌道，Ⅳ是繞地球運行、很接近空間站軌道的圓形軌道。P、Q分別為橢圓軌道Ⅲ的遠地點和近地點，下列說法正確的是(A)A．在軌道Ⅲ上，載人飛船在Q點的加速度比在P點的加速度大B．載人飛船在軌道Ⅲ上運行的周期比在軌道Ⅰ上運行的周期小C．載人飛船在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的速度大于在軌道Ⅳ上經(jīng)過P點的速度D．在軌道Ⅲ上，載人飛船在P點的機械能比在Q點的機械能大[解析]根據(jù)牛頓第二定律有Geq\f(Mm,R2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,R2)，可知離中心天體越近加速度越大，Q點為近地點，P點為遠地點，因此在軌道Ⅲ上在Q點的加速度大于在P點的加速度，故A正確；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，軌道Ⅲ為橢圓軌道，其半長軸大于軌道Ⅰ的半徑，則可知在軌道Ⅲ上的運行周期大于在軌道Ⅰ上的運行周期，故B錯誤；載人飛船要實現(xiàn)在軌道Ⅲ向軌道Ⅳ變軌，則必須在兩軌相切處P點點火加速才能順利實現(xiàn)由低軌向高軌的變軌運行，因此載人飛船在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的速度小于在軌道Ⅳ上經(jīng)過P點的速度，故C錯誤；同一物體在環(huán)繞中心天體運動的過程中，軌道越高其機械能越大，而在同一軌道上運行時，其機械能守恒，因此在軌道Ⅲ上，載人飛船在P點的機械能等于在Q點的機械能，故D錯誤。(2024·廣東省下學(xué)期模擬預(yù)測)搭載神舟十八號載人飛船的長征二號F遙十八運載火箭發(fā)射過程簡化為如圖所示，飛船由“長征”火箭送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道Ⅰ，調(diào)整好姿態(tài)后在B點通過點火變軌進入預(yù)定圓軌道Ⅱ。下列說法正確的是(B)A．飛船要想從地球成功發(fā)射，發(fā)射速度可以小于地球第一宇宙速度B．飛船在軌道Ⅰ上運動到B點時的速率小于飛船在軌道Ⅱ上運動到B點時的速率C．飛船在軌道Ⅰ上具有的機械能大于在軌道Ⅱ上具有的機械能D．飛船在軌道Ⅰ上運動到B點時的加速度大于飛船在軌道Ⅱ上運動到B點時的加速度[解析]第一宇宙速度是發(fā)射環(huán)繞地球飛行器時的最小速度，故A錯誤；飛船在軌道Ⅰ上運動到B點時需要點火加速進入軌道Ⅱ上，故飛船在軌道Ⅰ上運動到B點時的速率小于飛船在軌道Ⅱ上運動到B點時的速率，飛船在軌道Ⅰ上具有的機械能小于在軌道Ⅱ上具有的機械能，故B正確，C錯誤；飛船在兩個軌道上到達同一點時受到的萬有引力相同，故飛船在軌道Ⅰ上運動到B點時的加速度等于飛船在軌道Ⅱ上運動到B點時的加速度，故D錯誤。1．地球同步衛(wèi)星P與中國空間站Q均繞地球做勻速圓周運動，設(shè)它們與地球中心的連線在單位時間內(nèi)掃過的面積分別為SP、SQ，已知中國空間站Q的運行周期約為90min，則SP∶SQ約為(A)A．2eq\r(3,2)∶1 B．eq\r(3,2)∶1C．2eq\r(2)∶1 D．1∶1解析：根據(jù)開普勒第三定律eq\f(req\o\al(3,P),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24×60))2)＝eq\f(req\o\al(3,Q),902)得同步衛(wèi)星與空間站的運動半徑之比rP∶rQ＝4eq\r(3,4)∶1，根據(jù)v＝eq\f(2πr,T)可得同步衛(wèi)星與空間站的線速度之比vP∶vQ＝eq\r(3,4)∶4，單位時間掃過的扇形面積S＝eq\f(1,2)vr，得SP∶SQ＝2eq\r(3,2)∶1。2．據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，中國空間站已全面建成，我國載人航天工程“三步走”發(fā)展戰(zhàn)略已從構(gòu)想成為現(xiàn)實。目前，空間站組合體在軌穩(wěn)定運行，空間站繞地球飛行的軌道可視為圓軌道?？臻g站運行軌道距地面的高度為400km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36000km，則空間站的(D)A．角速度比地球同步衛(wèi)星的小B．周期比地球同步衛(wèi)星的長C．線速度比地球同步衛(wèi)星的小D．向心加速度比地球同步衛(wèi)星的大解析：根據(jù)萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，a＝eq\f(GM,r2)，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知r越大，加速度、線速度、角速度越小，周期越長，空間站的軌道半徑比同步衛(wèi)星的軌道半徑更小，所以加速度、線速度、角速度更大，周期更短。3．(2024·梅州市模擬預(yù)測)地球同步軌道上方300千米處的圓形軌道，是國際處理太空垃圾的“棄星軌道”，將廢棄飛行物處理到此，可以為“地球同步軌道”釋放更多的空間。2022年1月，運行在地球同步軌道上的中國“實踐21號”衛(wèi)星，將一顆失效的北斗二號衛(wèi)星拖入到了“棄星軌道”。已知“棄星軌道”半徑為r，地球同步衛(wèi)星軌道半徑為R，地球表面的重力加速度為g，下列說法正確的是(D)A．“地球同步軌道”處的重力加速度為0B．北斗二號衛(wèi)星在“棄星軌道”和“同步軌道”上運行的角速度之比為eq\r(\f(R,r))C．北斗二號衛(wèi)星從“同步軌道”到“棄星軌道”，其機械能減小D．“實踐21號”衛(wèi)星從“棄星軌道”返回“地球同步軌道”，需要減速解析：設(shè)地球質(zhì)量為M，根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝ma，可得“地球同步軌道”處的重力加速度a＝Geq\f(M,R2)，可知“地球同步軌道”處的重力加速度不為0，故A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,R2)＝mω2R，可得ω＝eq\r(\f(GM,R3))，可得北斗二號衛(wèi)星在“棄星軌道”和“同步軌道”上運行的角速度之比為eq\r(\f(R3,r3))，故B錯誤；北斗二號衛(wèi)星從“同步軌道”到“棄星軌道”需要將北斗二號衛(wèi)星加速做離心運動，除萬有引力外其他力對其做正功，機械能增大，故C錯誤；“實踐21號”衛(wèi)星從“棄星軌道”返回“地球同步軌道”，需要使其減速做近心運動，故D正確。4．(2024·廣州市三模)我國的“夸父一號”衛(wèi)星在距地面高度約七百二十公里的軌道圍繞地球做勻速圓周運動，其中安置了全日面矢量磁像儀等載荷，對太陽耀斑進行觀測、預(yù)警，同步衛(wèi)星離地面高度約三萬六千公里，“夸父一號”(D)A．受到的合外力保持不變B．運動周期等于地球自轉(zhuǎn)周期C．對磁像儀的作用力充當(dāng)其向心力D．加速度大于同步衛(wèi)星加速度解析：“夸父一號”受到的合外力提供它做勻速圓周運動的向心力，大小保持不變，方向時刻改變，故A錯誤；根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，解得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，可知“夸父一號”運動周期小于同步衛(wèi)星的周期，即小于地球的自轉(zhuǎn)周期，“夸父一號”加速度大于同步衛(wèi)星加速度，故B錯誤，D正確；地球?qū)Υ畔駜x的萬有引力充當(dāng)其向心力，故C錯誤。5．(2024·韶關(guān)市綜合測試二)據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，神舟十六號載人飛船入軌后，于2023年5月30日16時29分成功對接空間站天和核心艙徑向端口，神舟十六號成功對接空間站如圖甲所示，在對接之前的某段時間內(nèi)，“神舟十六號”和“空間站”分別在圓形軌道Ⅰ和Ⅱ上做勻速圓周運動如圖乙所示。已知對接后組合體可看作繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距地面高度為h，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g。下列說法正確的是(C)A．對接前神舟十六號運行周期大于空間站的運行周期B．神舟十六號飛船與空間站對接后，空間站因質(zhì)量增大，其加速度將減小C．組合體軌道處的重力加速度為eq\f(gR2,(R＋h)2)D．組合體的運行速度為eq\r(g(R＋h))解析：衛(wèi)星做圓周運動，由萬有引力提供向心力，根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)解得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，對接前神舟十六號處于低軌道，軌道半徑小，則對接前神舟十六號運行周期小于空間站的運行周期，故A錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma可知a＝Geq\f(M,r2)，神舟十六號飛船與空間站對接后，空間站軌道半徑一定，其加速度不變，故B錯誤；對接后組合體可看作繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距地面高度為h，則有Geq\f(Mm,(R＋h)2)＝ma，在地球表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得a＝eq\f(gR2,(R＋h)2)，故C正確；對于組合體有Geq\f(Mm,(R＋h)2)＝meq\f(v2,R＋h)，地球表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))，即組合體的運行速度為eq\r(\f(gR2,R＋h))，故D錯誤。6．(多選)“雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個星球的半徑均遠小于兩者之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體，它們在彼此的萬有引力作用下，繞某一點O做勻速圓周運動。如圖所示，某一雙星系統(tǒng)中A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們球心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是(BC)A．B星球的軌道半徑為eq\f(m2,m1＋m2)LB．A星球和B星球的線速度大小之比為m2∶m1C．A星球運行的周期為2πLeq\r(\f(L,G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m1＋m2))))D．若在O點放一個質(zhì)點，則它受到兩星球的引力之和一定為零解析：設(shè)A星球軌道半徑為R1，B星球軌道半徑為R2，兩星球運轉(zhuǎn)角速度相同，由萬有引力提供向心力可得Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2R1＝m2ω2R2，可得eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，又因為R1＋R2＝L，解得兩星球的軌道半徑分別為R1＝eq\f(m2L,m1＋m2)，R2＝eq\f(m1L,m1＋m2)，故A錯誤；由線速度與角速度關(guān)系v＝ωR可得，A、B線速度大小與半徑成正比，所以A、B線速度大小之比為m2∶m1，故B正確；由上式可得Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2R2＝m2eq\f(4π2,T2)·eq\f(m1L,m1＋m2)，解得兩星球運轉(zhuǎn)周期T＝2πLeq\r(\f(L,G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m1＋m2))))，故C正確；設(shè)質(zhì)點質(zhì)量為m，則A星球?qū)|(zhì)點引力F1＝Geq\f(m1m,Req\o\al(2,1))＝Geq\f(m1m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m1＋m2))2,meq\o\al(2,2)L2)，B星球?qū)|(zhì)點引力F2＝Geq\f(m2m,Req\o\al(2,2))＝Geq\f(m2m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m1＋m2))2,meq\o\al(2,1)L2)，則可知只有在兩星球質(zhì)量相等時，對質(zhì)點合力為零，故D錯誤。7．(2024·深圳市階段練)人類首次發(fā)現(xiàn)的引力波來源于距地球之外13億光年的兩個黑洞互相繞轉(zhuǎn)最后合并的過程。如圖所示，設(shè)兩個黑洞A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動，黑洞A的軌道半徑大于黑洞B的軌道半徑，兩個黑洞的總質(zhì)量為M，兩個黑洞中心間的距離為L，則下列說法正確的是(A)A．兩黑洞的運動周期均為2πeq\r(\f(L3,GM))B．黑洞A的線速度一定小于黑洞B的線速度C．兩個黑洞的總質(zhì)量M一定，L越大，角速度越大D．黑洞A的質(zhì)量一定大于黑洞B的質(zhì)量解析：設(shè)兩個黑洞質(zhì)量分別為mA、mB，軌道半徑分別為RA、RB，角速度為ω，由萬有引力定律可知eq\f(GmAmB,L2)＝mAω2RA，eq\f(GmAmB,L2)＝mBω2RB，其中RA＋RB＝L，聯(lián)立解得ω＝eq\r(\f(GM,L3))，則兩黑洞的運行周期T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(L3,GM))，A正確，C錯誤；由于二者角速度相等，則線速度分別為vA＝ωRA，vB＝ωRB，RA>RB，則vA>vB，B錯誤；根據(jù)以上分析，可知eq\f(mA,mB)＝eq\f(RB,RA)，而RA>RB，故mA<mB，D錯誤。8．(多選)(2024·東莞市三模)2024年2月23日，“長征5號”遙七運載火箭搭載通信技術(shù)試驗衛(wèi)星十一號發(fā)射成功，被譽為龍年首發(fā)。衛(wèi)星進入地球同步軌道后，主要用于開展多頻段、高速率衛(wèi)星通信技術(shù)驗證。設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，下列說法正確的是(BC)A．地球同步衛(wèi)星可以靜止在北京上空B．同步衛(wèi)星運行速度是地球第一宇宙速度的eq\r(\f(1,n))C．同步衛(wèi)星的運行速度是地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)獲得的速度的n倍D．若忽略地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，則同步衛(wèi)星的向心加速度是地球表面重力加速度的eq\f(1,n)解析：只要周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同的衛(wèi)星都是地球同步衛(wèi)星，除了赤道平面的同步衛(wèi)星可以靜止在赤道上空，其他同步衛(wèi)星不能與地球上某位置保持相對靜止，而北京不在赤道上，所以地球同步衛(wèi)星不可以靜止在北京上空，故A錯誤；由萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，又因為r＝nR，第一宇宙速度v1＝eq\r(\f(GM,R))，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，所以v＝eq\r(\f(1,n))v1，故B正確；同步