第二章 點線面的投影

學(xué)習(xí)目標(biāo)1．能夠理解正投影的基本規(guī)律2．能夠理解點、線、面的空間位置與平面投影的互相轉(zhuǎn)換3.具有二維平面和三維空間互相轉(zhuǎn)換的想象能力第2章

點、線、面的投影工程制圖基礎(chǔ)2.1投影概念2.2正投影特性2.3點的投影2.4直線的投影2.5平面的投影第2章

點、線、面的投影工程制圖基礎(chǔ)2.1.1投影的形成2.1.2投影的分類2.1投影概念2.1.1投影的形成當(dāng)太陽光或者燈光照射物體時，在地面上或者墻面上會出現(xiàn)物體的陰影，這個陰影稱之為影子。從這些自然現(xiàn)象中，人們經(jīng)過長期的探索總結(jié)出物體的投影規(guī)律。形體、投射線、投影面是形成投影的三要素，三者缺一不可。2.1.2投影的分類根據(jù)投射中心與投影面的位置不同，投影分類如下：1.中心投影所有投射線都從投影中心（一點）引出，稱為中心投影。2.平行投影所有投射線互相平行，稱為平行投影。如果投射線與投影面垂直則稱為正投影，如圖2.2a所示；如果投射線與投影面斜交則稱為斜投影，如圖2.2b所示。2.2.1點、線、面的正投影特性2.2.2正投影圖的畫法2.2正投影特性2.2.1點、線、面的正投影特性點、線、面是最基本的幾何元素，學(xué)習(xí)投影方法應(yīng)該從點、線、面的正投影開始，正投影具有以下特性：類似性、實形性、積聚性、從屬性、定比性、平行性。1.類似性一般情況下，點的投影仍然為點，直線的投影仍為直線，平面的投影仍為類似原圖的平面，如圖2.3所示，這種性質(zhì)稱為正投影的類似性。（a）點的投影

（b）直線的投影

（c）平面的投影2.2.1點、線、面的正投影特性2.實形性當(dāng)直線或平面平行于投影面時，它們的投影反映實長或?qū)嵭危鐖D2.4所示，空間直線AB投影后ab長度是反映實長，空間平面P投影后p是反映實形，這種性質(zhì)稱為正投影的實形性。圖2.4投影的實形性2.2.1點、線、面的正投影特性3.積聚性當(dāng)空間直線、平面垂直于投影面時，它們在投影面上的投影分別是一個點和一條直線，如圖2.5所示，這種性質(zhì)稱為正投影的積聚性。圖2.4投影的積聚性2.2.1點、線、面的正投影特性4.從屬性如果點在一條直線上，則點的投影必定在這條直線的同面投影上，如圖2.6所示，空間點E在直線AB上，則點的投影e必定在直線投影ab上，這種性質(zhì)稱為正投影的從屬性。5.定比性直線上的一點E把該直線段AB分成兩段，則該兩段之比（AE：EB）等于其投影之比（ae:eb）；如圖2.6所示，這種性質(zhì)稱為正投影的定比性。圖2.4投影的從屬性和定比性2.2.1點、線、面的正投影特性6.平行性空間兩平行直線的投影仍然互相平行，如圖2.7所示。圖2.4投影的平行性2.2.2正投影圖的畫法1.三面投影體系的建立2.三面投影的形成3.三面投影的三等關(guān)系4.三面投影的位置關(guān)系5.三面投影圖的畫法舉例1.三面投影體系的建立以三個互相垂直的平面作為投影面，組成一個三面投影體系，如圖2.8所示。其中，H面為水平面，稱為水平投影面；V面為正立面，稱為正立投影面；W面為側(cè)立面，稱為側(cè)立投影面。H、V、W三個投影面兩兩垂直相交，其交線稱為投影軸，分別為OX、OY、OZ投影軸。三條軸線相交于一點O，O點稱為原點。三面投影體系2.三面投影的形成將形體置于三面投影體系中，把形體的主要表面與三個投影面對應(yīng)平行，然后用三組分別垂直于三個投影面的平行投射線進行投影，得到三個方向的正投影，即H、V、W三面投影，如圖2.9所示。三面投影圖的形成2.三面投影的形成為了把相互垂直的三個投影面上的投影畫在一張二維的圖紙上，我們必須將其展開。首先，沿著YO方向?qū)Y軸剪開；其次，V面固定不動，H面沿著OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面沿著OZ軸向后旋轉(zhuǎn)90°，使三個投影面處在同一平面內(nèi)，如圖2.10所示。需要注意的是：OY軸剪開后分成2條軸，一條在H面上的用YH表示，另一條在W面上用YW表示。投影面的展開3.三面投影的三等關(guān)系

在三面投影體系中，形體的X軸方向尺寸稱為長度，Y軸方向尺寸稱為寬度，Z軸方向尺寸稱為高度，如圖2.11所示。

在三面投影中，形體的H面與V面的投影在OX軸方向左右應(yīng)對正，即“長對正”；H面與W面的投影在OY軸方向?qū)挾葢?yīng)相等，即“寬相等”；V面與W面的投影在OZ軸方向上下應(yīng)對齊，即“高平齊”?！伴L對正”、“寬相等”、“高平齊”稱為三面投影的“三等關(guān)系”，它是形體三面投影圖之間最基本的投影關(guān)系，是畫圖和讀圖的基礎(chǔ)。三面投影的三等關(guān)系4.三面投影的位置關(guān)系形體在三面投影體系中的位置確定后，它在空間有上下、左右、前后六個方位，如圖2.12所示。（1）正立投影圖（v面）反映形體位置關(guān)系：左、右、上、下。（2）水平投影圖（H面）反映形體位置關(guān)系：左、右、前、后。（3）側(cè)立投影圖（W面）反映形體位置關(guān)系：前、后、上、下。三面投影的位置關(guān)系5.三面投影圖的畫法舉例見例2-1.例2-22.3.1點的三面投影2.3.2點的三面投影規(guī)律2.3.3兩點的相對位置2.3點的投影2.3.1點的三面投影如圖2.16所示，在三面投影體系中，空間點A的三面投影點分別為a、a′、a″，a為水平投影，a′為正面投影，a″為側(cè)面投影。將圖2.16a展開在一個平面上，就得到空間點A的三面投影圖，如圖2.16b所示。說明：（1）必須注意H、V、W三個投影面的點的標(biāo)注分別是：a、a′、a″，不能隨意更改，H面字母不帶“撇”，V面字母只能帶“一撇”，W面字母只能帶“兩撇”。（2）點的三面投影仍然要符合“長對正”、“寬相等”、“高平齊”的三等關(guān)系。2.3.2點的三面投影規(guī)律

如圖2.16b所示，點的三面投影規(guī)律：（1）投影的連線垂直于投影軸，如aa′⊥OX，a′a″⊥OZ等。（2）空間點到投影面的距離，由點的投影到相應(yīng)投影軸的距離來確定，如圖2.16a所示：Aa=a′ax=a″ay,Aa′=a″az=aax,Aa″=a′az=aay。2.3.3兩點的相對位置1.兩點的相對位置判斷空間兩點的相對位置，是以其中一點為基準(zhǔn)來判斷另一個點在該點的前或后、左或右、上或下。判斷方法：（1）X坐標(biāo)大的點在左邊，反之為右邊；（2）Y坐標(biāo)大的點在前面，反之為后面；（3）Z坐標(biāo)大的點在上面，反之為下面。2.重影點空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。重影點中不可見點應(yīng)加括號表示。3.投影面上的重影點投影面上的重影點一般有三種形式：H面重影點，V面重影點，W面重影點。此三種重影點的直觀圖和投影對照情況，詳見表2-1所示。2.3.3兩點的相對位置3.投影面上的重影點投影面上的重影點一般有三種形式：H面重影點，V面重影點，W面重影點。此三種重影點的直觀圖和投影對照情況，詳見表2-1所示。2.4.1直線投影的形成2.4.2各種位置直線的投影2.4.3兩直線的相對位置2.4直線的投影2.4.1直線投影的形成兩點確定一條直線，一條直線的投影可由直線上兩點的投影來確定。因此，作直線的三面投影圖，首先做出直線上的兩點在三個投影面上的投影；其次，分別連接兩點的同面投影即可。已知直線的任意兩面投影，可利用點的三面投影規(guī)律，分別求兩點的第三面投影，并連接所求的兩點，即為此直線的第三面投影。2.4.2各種位置直線的投影

空間直線對投影面的相對位置有三種：（1）一般位置直線；（2）投影面平行線；（3）投影面垂直線。其中，投影面平行線和投影面垂直線又稱為特殊位置直線。1.一般位置直線

一般位置直線是指傾斜于三個投影面的直線，一般位置直線在三個投影面上的投影如圖2.20所示。

其投影特點：在三個投影面上的投影均與投影軸不平行、不垂直（即：三條一般位置直線），且不反映空間直線的實長。2.投影面平行線

投影面平行線是指僅平行于一個投影面，而傾斜于另外兩個投影面的直線。投影面平行線有三種：水平線、正平線、側(cè)平線。（1）水平線：平行于H面，傾斜于V面和W面。（2）正平線：平行于V面，傾斜于H面和W面。（3）側(cè)平線：平行于W面，傾斜于H面和V面。

其投影特性：一個投影為一般位置直線（反映直線實長），另外兩個投影平行于相應(yīng)的投影軸（即：一條一般位置直線，兩條平行直線）。如表2-2所示。2.4.2各種位置直線的投影3.投影面垂直線投影面垂直線是指垂直于一個投影面，同時平行于另外兩個投影面的直線。投影面垂直線有三種：正垂線、鉛垂線、側(cè)垂線。（1）正垂線：垂直于V面，平行于H面和W面。（2）鉛垂線：垂直于H面，平行于V面和W面。（3）側(cè)垂線：垂直于W面，平行于V面和H面。其投影特性：一個投影為一個點，另外兩個投影垂直于相應(yīng)的投影軸且反映實長（即：一點兩直線）。如表2-3所示。2.4.3兩直線的相對位置在空間中，兩直線的相對位置有三種情況（如圖2.22所示）：平行、相交、交叉。兩直線平行和兩直線相交的稱為同面直線，兩條直線交叉的稱為異面直線。（1）兩直線平行：空間中兩條直線互相平行。（2）兩直線相交：空間中兩條直線有一個交點。（3）兩直線交叉：空間中兩條直線既不平行也不相交?？臻g兩直線的投影特性與判斷如表2-4所示。由幾何學(xué)可知，不在同一條直線上的三個點可確定一個平面。因此，平面的空間位置可以用下列幾種方法確定：（1）不在同一條直線上的三個點；（2）一條直線和直線外的一點；（3）平行兩直線；（4）相交兩直線；（5）平面圖形。如圖2.26所示，這幾種確定平面的方法是可以互相轉(zhuǎn)化的。2.5平面的投影2.5.1各種位置平面的投影2.5.2平面上的點和直線2.4.3兩直線的相對位置2.5平面的投影2.5.1各種位置平面的投影平面按其與投影面的相對位置分為三種：一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面。下面分別討論這三種位置平面的投影及投影特性。1.一般位置平面空間平面與三個投影面均相交（或與三個投影面既不平行也不垂直），稱為一般位置平面。一般位置平面的三面投影為：三個類似圖形，且均小于實形，其投影如圖2.27所示。2.5.1各種位置平面的投影2.投影面平行面空間平面與三個投影面中的任何一個投影面平行，稱為投影面平行面。投影面平行面可分為：水平面、正平面、側(cè)平面三種。水平面：平行于H面的平面（且垂直于V、W面）。正平面：平行于V面的平面（且垂直于H、W面）。側(cè)平面：平行于W面的平面（且垂直于V、H面）。投影面平行面的投影及投影特性見表2-5。投影面平行面的投影特性可歸納為：一面兩直線。（1）在平面所平行的投影面上的投影反映平面圖形的實形（即為：一面）；（2）在其他兩個投影面上的投影集聚為直線，且平行于相應(yīng)的投影軸（即為：兩直線）。2.5.1各種位置平面的投影3.投影面垂直面空間平面與三個投影面中的任何一個投影面垂直，并與其他兩個投影面相交，稱為投影面垂直面。投影面垂直可分為：鉛垂面、正垂面、側(cè)垂面三種。鉛垂面：垂直于H面的平面（且傾斜于V、W面）。正垂面：垂直于V面的平面（且傾斜于H、W面）。側(cè)垂面：垂直于W面的平面（且傾斜于V、H面）。投影面垂直面的投影及投影特性見表2-6。投影面垂直面的投影特性可歸納為：兩面一直線。（1）在平面所垂直的投影面上的投影積聚成一條直線，并與其他兩個投影軸相交（即為：一直線）；