2.6-全等模型 帶解析-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?2.6全等模型（1）考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識(shí)考點(diǎn)中點(diǎn)模型1.中點(diǎn)模型-倍長(zhǎng)中線角平分線模型2.角平分線模型-截長(zhǎng)補(bǔ)短一線三等角模型3.一線三等角模型，一線三直角模型題型精析題型精析知識(shí)點(diǎn)一中點(diǎn)模型-倍長(zhǎng)中線知識(shí)點(diǎn)一中點(diǎn)模型-倍長(zhǎng)中線全等三角形的判定原理內(nèi)容如圖所示，D為BC邊上的中點(diǎn)，將中線延長(zhǎng)并使得AD=DE（即倍長(zhǎng)中線），則△ADB≌△EDC（SAS）.題型一角平分線的性質(zhì)題型一角平分線的性質(zhì)例1在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（）例1A．B．C．D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，可證，可得，，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得的取值范圍，即可解題．【詳解】解：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，在和中，，，，中，，，．故選：B．變1在中，，，則邊上的中線的取值范圍是____________．變1【答案】【分析】延長(zhǎng)至E，使，然后證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，然后即可得解．【詳解】解：延長(zhǎng)至E，使，連接．在和中，，，在中，，即故．故答案為：．例2辰萱同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，中，，，是中線，求的取值范圍．她的做法是：延長(zhǎng)到，使，連接，證明，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：例2（1）求出的取值范圍；（2）如圖，是的中線，在上取一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形的三邊關(guān)系可求解；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，由“”可證，可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得．【詳解】（1）解：由（1）可知，，，在中，，，∴，即，∴．（2）證明：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，∵是的中線，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．變2如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為BC邊的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，過(guò)E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長(zhǎng)線于G．求證：BF=CG．變2【解題思路】延長(zhǎng)FE至Q，使EQ=EF，連接CQ，根據(jù)SAS證△BEF≌△CEQ，推出BF=CQ，∠BFE=∠Q，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)推出∠G=∠GFA=∠BFE，推出∠G=∠Q，推出CQ=CG即可．【解答過(guò)程】證明：延長(zhǎng)FE至Q，使EQ=EF，連接CQ，∵E為BC邊的中點(diǎn)，∴BE=CE，∵在△BEF和△CEQ中BE=CE∠BEF=∠CEQ∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已證），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．例3規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形．如圖，，，，回答下列問(wèn)題：例3（1）求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．（2）取的中點(diǎn)P，連接，請(qǐng)證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，，即可證明；（2）延長(zhǎng)至E，使，先證，推出，，進(jìn)而推出，再證，即可推出，由此可證．【詳解】（1）證明：，，又，，和是兄弟三角形．（2）證明：延長(zhǎng)至E，使，P為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，又，，，，，在和中，，，又，．例4如圖1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC邊上的中線BD例4（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E，使DE=BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請(qǐng)證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是____________．（2）問(wèn)題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，連接MN．請(qǐng)寫(xiě)出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（3）MN=2BD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）①只需要利用SAS證明△CED≌△ABD即可；②根據(jù)△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三邊的關(guān)系可得即則，再由，可得；（2），延長(zhǎng)BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后證明∠BAE=∠MBN，則可證△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【詳解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中線，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵，∴即，又∵，∴；故答案為：；（2）MN=2BD，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，∵BC=BN，∴AE=BN，∵∠ABM=∠NBC=90°，∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，又∵AB=BM，∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE，∵BE=BD+ED=2BD，∴MN=2BD．變3（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），變3①延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD；②連接BM，通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是____________；方法總結(jié)：上述方法我們稱(chēng)為“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，請(qǐng)直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC=BM，證明見(jiàn)解析；（3）EF=2AD，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD，連接BM，根據(jù)題意證明△MDB≌△ADC，可知BM=AC，在△ABM中，根據(jù)AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可；（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M=∠CAD，AC=BM，進(jìn)而可知AC∥BM；（3）延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD，連接BM，由（1）（2）的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進(jìn)而可得AM=2AD，由AM=EF，即可求得AD與EF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）如圖2，延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM=AC=6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC=BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M=∠CAD，AC=BM，∴AC∥BM；（3）EF=2AD，理由：如圖2，延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM=AC，∵AC=AF，∴BM=AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM=180°，∵∠BAE=∠FAC=90°，∴∠BAC+∠EAF=180°，∴∠ABM=∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM=EF，∵AD=DM，∴AM=2AD，∵AM=EF，∴EF=2AD，即：EF=2AD．知識(shí)點(diǎn)二角平分線模型-截長(zhǎng)補(bǔ)短知識(shí)點(diǎn)二角平分線模型-截長(zhǎng)補(bǔ)短全等三角形的判定原理內(nèi)容如圖所示，BD是∠ABC的角平分線，且BC>BA.【截長(zhǎng)】在BC上作一點(diǎn)E，使得BE=BA，則△ABD≌△EBD.【補(bǔ)短】延長(zhǎng)BA至E，使得BE=BC，則△EAD≌△CBD.題型一角平分線的性質(zhì)題型一角平分線的性質(zhì)例1如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．求證：．例1【答案】見(jiàn)解析【分析】方法一，在BC上截取BE，使，連接DE，由角平分線的定義可得，根據(jù)全等三角形的判定可證和全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，由AD=CD等量代換可得，繼而可得，由于，可證；方法2，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使，由角平分線的定義可得，根據(jù)全等三角形的判定可證和全等，繼而可得，．由，可得，繼而求得，由，繼而可得；方法3，作于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由角平分線的定義可得，由，，可得，根據(jù)全等三角形的判定可證和全等，繼而可得，再根據(jù)HL定理可得可證．【詳解】解：方法1截長(zhǎng)如圖，在BC上截取BE，使，連接DE，因?yàn)锽D是的平分線，所以．在和中，因?yàn)樗?，所以，．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以．方?

補(bǔ)短如圖，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使．因?yàn)锽D是的平分線，所以在和中，因?yàn)?，所以，所以，．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以．方?

構(gòu)造直角三角形全等作于點(diǎn)E．交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F因?yàn)锽D是的平分線，所以．因?yàn)椋?，所以，在和中，因?yàn)椋?，所以．在和中，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以．?如圖，△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，若AC+CD=AB，求∠C例2解：在AB上截取AC=AE，設(shè)∠B=x°，∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=x°∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，在△EAD和△CAD中，∴△EAD≌△CAD，∴∠C=∠AED，CD=DE，∵AC+CD=AB，AB﹣BE+AE，AE=AC，∴BE=DE=DC，∴∠B=∠BDE=x°，∴∠C=∠AED=∠B+∠BDE=2x°，在△ABC中，x+x+2x=180°，∴x=45，即∠C=2x°=90°．變1已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D．求證：AC=AB+BD．變1證明：在AC上截取AE=AB，連接DE．∵∠BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD與△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵∠B=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，∴∠C=∠EDC，∴CE=DE，∴CE=BD，∴AC=AE+EC=AB+BD．變2如圖所示，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC，則∠A+∠C的度數(shù)是______度．變2【答案】180【分析】本題的關(guān)鍵是要根據(jù)所求角的特點(diǎn)來(lái)作輔助線構(gòu)筑全等三角形，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)來(lái)找出與所求角相關(guān)聯(lián)的角，進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)，然后求解．【詳解】解：在BC上取一點(diǎn)E使BE=BA，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD，∵BA=BE，BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠A=∠BED，AD=DE，∵AD=DC，∴DE=DC，∴△DEC為等腰三角形，因此∠C=∠DEC，∴∠A+∠C=∠BED+∠DEC=180°．故答案為180例3如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長(zhǎng)為（例3A．6B．7C．8D．9【答案】B【分析】如圖，在上截取連接證明利用全等三角形的性質(zhì)證明求解再證明從而可得答案．【詳解】解：如圖，在上截取連接平分故選：變3如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長(zhǎng)為（）變3A．3B．9C．11D．15【答案】C【分析】在AC上截取AE=AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再證明CD=CE，進(jìn)而代入數(shù)值解答即可．【詳解】在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC=∠EDC，∴CD=CE，∵，，∴AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11．故選：C．例4如圖，，，分別平分和，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E．求證：．例4【答案】證明見(jiàn)解析【分析】在上截取，連接，通過(guò)證明和，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分析求證．【詳解】證明：在上截取，連接．∵，分別平分和，∴．∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴．例5如圖中，分別平分相交于點(diǎn)．例5（1）求的度數(shù)；（2）求證：【答案】（1）∠CPD=60°；（2）詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)即可求出；（2）在AC上截取AF=AE，先證明△APE≌△APF（SAS），再證明△CFP≌△CDP（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】解：（1）∵∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，又∵AD、CE分別平分，∴，∴，又∵∠CPD是△ACP的外角，∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°，∴∠CPD=60°．（2）如圖，在AC上截取AF=AE，連接PF，∵∠CPD=60°，∴∠APC=120°，∠APE=60°∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE在△APE與△APF中，∴△APE≌△APF（SAS）∴∠APF=∠APE=60°，∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°，在△CFP與△CDP中，∴△CFP≌△CDP（ASA）∴CD=CF∴AC=AF+CF=AE+CD，即．變4如圖，，，，直線過(guò)點(diǎn)交于，交于點(diǎn)．求證：．變4【答案】詳見(jiàn)解析【分析】在線段上取，連接，易證≌，可得，因?yàn)榈?，∠D+∠C=180°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可證≌，可得BC=BF，再進(jìn)行等量代換即可得出答案.【詳解】解：在線段上取，連接，在與中，，∴≌（SAS）．∴．由又可得，∴．又，∴．在與中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．知識(shí)點(diǎn)三一線三等角模型知識(shí)點(diǎn)三一線三等角模型全等三角形的判定原理內(nèi)容如圖所示，AB=AC，∠B=∠ADE=∠C（即一線三等角），則△ABD≌△DCE（AAS）.如圖所示，∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°（即一線三直角），則△ADC≌△CEB（AAS）.題型三一線三等角模型題型三一線三等角模型例1如圖，在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有，若，，求的長(zhǎng)．例1【分析】由，推出，再根據(jù)證明得，，即可得出結(jié)果．【解答】解：，，，，在與中，，，，，，．．例2在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，，，在直線上方有，且滿足．例2（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是____________；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由得到，進(jìn)而得到，然后結(jié)合得證，最后得到；（2）由得到，進(jìn)而得到，然后結(jié)合得證，最后得到；【解答】解：（1），理由如下，，，，，，，，，故答案為：．（2）仍然成立，理由如下，，，，，，，，；變1如圖所示．已知，，則：變1（1）嗎？（2）嗎？【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，以此即可通過(guò)證明；（2）根據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，以此即可求解．【解答】解：（1）．理由：，，，，在和中，，；（2）．理由：，，，，．變2已知：D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作△ABC，使AB=AC，連接BD，CE．變2（1）如圖①，若∠BAC=90°，BD⊥m，CE⊥m，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖②，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，請(qǐng)判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解題思路】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA；（2）由∠BDA=∠AEC=∠BAC，就可以求出∠BAD=∠ACE，進(jìn)而由ASA就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD=AE，DA=CE，即可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB=∠CEA=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）DE=BD+CE．理由是：如圖②，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴由三角形內(nèi)角和及平角性質(zhì)，得：∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=∠CAE+∠ACE，∴∠ABD=∠CAE，∠BAD=∠ACE，在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠CAEAB=AC∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE．例3在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于．例3（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，求證：①；②；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，之間的等量關(guān)系．【分析】（1）①根據(jù)，，，得出，再根據(jù)即可判定；②根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出，，進(jìn)而得到；（2）先根據(jù)，，得到，進(jìn)而得出，再根據(jù)即可判定，進(jìn)而得到，，最后得出；（3）運(yùn)用（2）中的方法即可得出，，之間的等量關(guān)系是：．【解答】解：（1）①，，，，，，在和中，，；②，，，；（2）證明：，，，，在和中，，；，，；（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時(shí)，，，所滿足的等量關(guān)系是：．理由如下：，，，，在和中，，，，，．變3在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于．變3（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，①求證：；②若，，求長(zhǎng)．（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，，，求長(zhǎng)；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，，，求長(zhǎng)．【分析】（1）①證明，根據(jù)“”可證；②根據(jù)全等三角形性質(zhì)得；（2）同理可證，得；（3）同（2）．【解答】解：（1）①證明：，．又，．．在與中，．；②，，；（2）同①的證明得，；（3）同（2），．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.三角形兩邊長(zhǎng)分別為8cm和5cm，第三邊的中線長(zhǎng)可以是（）A．1cmB．2cmC．7cmD．8cm【答案】B【分析】如圖，是中邊上的中線，，，延長(zhǎng)到E，使，然后證明≌，可得，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，即可得解．【詳解】解：如圖，是中邊上的中線，，，延長(zhǎng)到E，使，∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，，∴，即，∴；∴第三邊的中線長(zhǎng)可以是：2cm；故選：B．2.已知是中邊上的中線，，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】延長(zhǎng)至E，使，連接，證明，得到，然后利用三角形的三邊關(guān)系求解．【詳解】解：延長(zhǎng)至E，使，連接，∵，∵是中邊上的中線，∴，∵，∴∴，∴在中：，即，∴，故選A．3.已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF．【解題思路】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到△AEF中的兩個(gè)角相等，然后用等角對(duì)等邊證明AE等于EF．【解答過(guò)程】證明：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得AD=DG，連接BG．∵AD是BC邊上的中線（已知），∴DC=DB，在△ADC和△GDB中，AD=DG∠ADC=∠GDB(對(duì)頂角相等)∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD=∠G，BG=AC又∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠BED=∠G，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，即：∠AEF=∠FAE，∴AF=EF．4.如圖．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE=2AM．【解題思路】延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，證△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，求出∠EAD=∠ABN，證△EAD≌△ABN即可．【解答過(guò)程】證明：延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，連接BN，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴CM=BM，在△AMC和△NMB中AM=MN∠AMC=∠NMB∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC=BN，∠C=∠NBM，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB=∠DAC=90°，∴∠EAD+∠BAC=180°，∴∠ABN=∠ABC+∠C=180°﹣∠BAC=∠EAD，在△EAD和△ABN中∵AE=AB∠EAD=∠ABN∴△ABN≌△EAD（SAS），∴DE=AN=2AM．5.（1）已知如圖1，在中，，求邊上的中線的取值范圍．（2）思考：已知如圖2，是的中線，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）；（2）且【分析】（1）用倍長(zhǎng)中線模型，構(gòu)造全等三角形，即可求出中線的取值范圍；（2）用倍長(zhǎng)中線模型，通過(guò)證明三角形的全等，可求出線段與的數(shù)量和位置關(guān)系．【詳解】解：（1）如下圖，延長(zhǎng)，使得，則，∵D是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，在中，可得：，即，∵，∴，∴，∴邊上的中線的取值范圍為：；（2）且，證明如下：如下圖，延長(zhǎng)，使得，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)H，由（1）可易證，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，

∴，∵，∴，∴，綜上所述，且．6.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C=2∠CDB，AB=12，CD=3，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．21B．24C．27D．30解：如圖，在AB上截取BE=BC，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△CBD和△EBD中，，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，∵∠C=2∠CDB，∴∠CDE=∠DEB，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴△ABC的周長(zhǎng)=AD+AE+BE+BC+CD=AB+AB+CD=27，故選C．7.如圖，中，平分，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【分析】如圖（見(jiàn)解析），在線段AC上取點(diǎn)E，使得，先根據(jù)角平分線的定義得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，，然后根據(jù)線段的和差、等量代換得出，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可得．【詳解】如圖，在線段AC上取點(diǎn)E，使得平分在和中，，又故答案為：．8.如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分線，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使得DE=DA，則∠ECA=______．【答案】40°【分析】在BC上截取BF=AB，連接DF，由題意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，進(jìn)而可得DF=AD=DE，由此可證△DEC≌△DFC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)可求解．【詳解】解：在BC上截取BF=AB，連接DF，∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分線，∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，∠ADB=60°，∠BDC=120°，BD=BD，△ABD≌△FBD，DE=DA，DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，DC=DC，△DEC≌△DFC，；故答案為40°．9.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分線的交點(diǎn)E在AD上．求證：（1）點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)；（2）BC=AB+CD．證明：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．∵CE和BE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，即∠ECB=∠DCB，∠EBC=∠CBA，又∵AB∥CD，∴∠DCB+∠CBA=180°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∴∠CEB=90°，即BE⊥EC，∵AB∥CD∴∠DCE=∠F，又∵∠DCE=∠ECB，∴∠F=∠ECB∴BF=BC，EC=EF．在△DCE和△AFE中，，∴△DCE≌△AFE，∴DE=AE，即E是AD的中點(diǎn)，DC=AF，∴BC=BF=AB+CD．10.（1）問(wèn)題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α=90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得AD=CD，這個(gè)性質(zhì)是__________________；②在圖2中，求證：AD=CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD=BC．【答案】（1）①角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；②見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可解決問(wèn)題；②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要證明△DEA≌△DFC即可解決問(wèn)題；（2）如圖3中，在BC時(shí)截取BK=BD，BT=BA，連接DK．首先證明DK=CK，再證明△DBA≌△DBT