2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點精準研析5.1平面向量的概念及其線性運算文含解析北師大版

PAGE8-平面對量的概念及其線性運算核心考點·精準研析考點一平面對量的基本概念

1.下面說法正確的是 ()A.平面內(nèi)的單位向量是唯一的B.全部單位向量的終點的集合為一個單位圓C.全部的單位向量都是共線的D.全部單位向量的模相等【解析】選D.因為平面內(nèi)的單位向量有多數(shù)個,所以選項A錯誤;當(dāng)單位向量的起點不同時,其終點就不肯定在同一個圓上,所以選項B錯誤;當(dāng)兩個單位向量的方向不相同也不相反時,這兩個向量就不共線,所以選項C錯誤;因為單位向量的模都等于1,所以選項D正確.2.給出下列命題:①零向量是唯一沒有方向的向量;②零向量的長度等于0;③若a,b都為非零向量,則使a|a|+b|b|=0其中錯誤的命題的個數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 【解析】選B.①錯誤,零向量是有方向的,其方向是隨意的;②正確,由零向量的定義可知,零向量的長度為0;③正確,因為a|a|與b|b|都是單位向量,所以只有當(dāng)a|a|與1.解答向量概念型題目的要點(1)精確理解向量的有關(guān)學(xué)問,應(yīng)重點把握兩個要點:大小和方向.(2)向量線性運算的結(jié)果仍是向量,精確運用定義和運算律仍需從大小和方向角度去理解.2.(1)兩個向量不能比較大小,只可以推斷它們是否相等,但它們的?？梢员容^大小.(2)大小與方向是向量的兩個要素,分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征.(3)向量可以自由平移,隨意一組平行向量都可以移到同始終線上.考點二平面對量的線性運算

【典例】1.(2024·全國卷I)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則= ()A.34-14 B.14-34C.34+14 D.14+342.設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點,AD=12AB,BE=23BC.若=λ1+λ2(λ1、λ2為實數(shù)),則λ1+λ2的值為. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由“則=”及選項,想到平面對量線性運算.2由“=λ1+λ2”,想到平面對量線性運算【解析】1.選A.如圖所示=-=-12=-12·12(+)=34-14.【一題多解】選A.在△ABC中,找到向量,,對于選項A,作出向量34,14,再作34-14,與向量比較,發(fā)覺相等,所以選A.2.=+=12+23=12+23(+)=-16+23,所以λ1=-16,λ2=23,即λ1+λ2=12.答案:11.平面對量的線性運算技巧(1)不含圖形的狀況:可干脆運用相應(yīng)運算法則求解.(2)含圖形的狀況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來求解.2.三種運算法則的關(guān)注點(1)加法的三角形法則要求“首尾相接”,平行四邊形法則要求“起點相同”.(2)減法的三角形法則要求“起點相同”且差向量指向“被減向量”.(3)數(shù)乘運算的結(jié)果仍是一個向量,運算過程可類比實數(shù)運算.1.(2024·榆林模擬)已知點M是△ABC的邊BC的中點,點E在邊AC上,且=2,則= ()A.12+13 B.12+16C.16+12 D.16+32【解析】選C.如圖,因為=2,所以=23,所以=+=23+12=23+12(-)=12+16.2.在△ABC中,點M,N滿意=2,=.若=x+y,則x=;y=.

【解析】由已知,=+=13+12=13+12(-)=12-16=x+y,所以x=12,y=-16.答案:12-考點三共線向量定理及其應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)推斷向量共線,三點共線問題,含參數(shù)綜合問題;(2)考查數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合的思想.2.怎么考:與解析幾何,三角函數(shù)圖像與性質(zhì),三角恒等變換結(jié)合考查求參數(shù),最值等.3.新趨勢:以考查共線向量定理的應(yīng)用為主.學(xué)霸好方法1.證明向量共線的方法:應(yīng)用向量共線定理.對于向量a,b(b≠0),若存在實數(shù)λ,使得a=λb,則a與b共線.2.證明A,B,C三點共線的方法:若存在實數(shù)λ,使得=λ,則A,B,C三點共線.3.解決含參數(shù)的共線問題的方法:常常用到平面幾何的性質(zhì),構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組,解方程或方程組得到參數(shù)值.向量共線問題【典例】(2024·西安模擬)設(shè)a與b是兩個不共線向量,且向量a+λb與-(b-2a)共線,則λ=. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】因為a+λb與2a-b共線,設(shè)a+λb=k(2a-b),則(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以1解得k=12,λ=-1答案:-1三點共線問題【典例】(2024·鄭州模擬)設(shè)e1與e2是兩個不共線向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三點共線,則k的值為. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】因為A,B,D三點共線,所以必存在一個實數(shù)λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1與e2不共線,所以3=λ(3-答案:-9解決三點共線問題應(yīng)留意什么問題?提示:應(yīng)留意向量共線與三點共線的區(qū)分與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線,即A,B,C三點共線?,共線.含參數(shù)綜合問題【典例】(2024·唐山模擬)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,點E在線段CD上,若=+μ,則μ的取值范圍是. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】由已知AD=1,CD=3,所以=2.因為點E在線段CD上,所以=λ(0≤λ≤1).因為=+,又=+μ=+2μ=+2μλ,所以2μλ=1,即μ=λ2.因為0≤λ≤1,所以0≤μ≤12答案:01.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λμ=()A.-2 B.-12 C.-2 D.【解析】選A.=+=+=-+12=-12,所以λ=1,μ=-12,因此λμ=-2.2.(2024·大同模擬)△ABC所在的平面內(nèi)有一點P,滿意++=,則△PBC與△ABC的面積之比是 ()A.13 B.12 C.23【解析】選C.因為++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC邊的一個三等分點,且PC=23AC,由三角形的面積公式知,S△PBCS△ABC=PCAC=23.3.P是△ABC所在平面上的一點,滿意++=2,若S△ABC=6,則△PAB的面積為 ()A.2 B.3 C.4 【解析】選A.因為++=2=2(-),所以3=-=,所以∥,方向相同,所以S△ABCS△PAB=BCAP==3,S△PAB=S△1.已知O,A,B三點不共線,P為該平面內(nèi)一點,且=+,則 ()A.點P在線段AB上B.點P在線段AB的延長線上C.點P在線段AB的反向延長線上D.點P在射線AB上【解析】選D.由=+得-=,所以=·,所以點P在射線AB上.2.莊重漂亮的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個特別美麗的幾何圖形,且與黃金分割有著親密的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中,以P,Q,R,S,T為頂點的多邊形為正五邊形,且PTAT=5-1A.-=5+12 B.+=5+12C.-=5-12 D.+=5-12【解析】選A.由已知,-=-===5+12,所以A正確;+=+==5+12,所以B錯誤;-=-==5-12,所以C錯誤;+=+,5-12==-,若+=5-12,則=0,不合題意,所以D錯誤.3.已知點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點,若點