2025版高考數(shù)學一輪復習核心考點精準研析1.2命題充分條件與必要條件文含解析北師大版

PAGE7-命題、充分條件與必要條件核心考點·精準研析考點一四種命題的關(guān)系及其真假推斷

1.已知命題p:“正數(shù)a的平方不等于0”,命題q:“若a不是正數(shù),則它的平方等于0”,則q是pA.逆命題B.否命題C.逆否命題D.否定2.(2024·長春模擬)命題“若x2<1,則-1<x<1”的逆否命題是A.若x2≥1,則x≥1或x≤-1B.若-1<x<1,則x2<1C.若x>1或x<-1,則x2>1D.若x≥1或x≤-1,則x2≥13.(2024·天水模擬)下列說法中,正確的是 ()A.命題“若a>b,則2a>2b-1”的否命題為“若a>b,則2a≤B.命題“存在x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“隨意x∈R,都有x2+x+1>C.若命題“非p”與命題“p或q”都是真命題,那么命題q肯定是真命題D.命題“若a2+b2=0,則ab=0”4.(2024·北京高考)能說明“若a>b,則1a<1b”為假命題的一組a,b的值依次為【解析】1.選B.命題p:“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù),則它的平方不等于02.選D.命題的形式是“若p,則q”,由逆否命題的學問,可知其逆否命題為“若q,則p”的形式,所以“若x2<1,則-1<x<1”的逆否命題是“若x≥1或x≤-1,則x2≥1”.3.選C.命題“若a>b,則2a>2b-1”的否命題應為“若a≤b,則2a≤2b-1”,故A錯;命題“存在x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“隨意x∈R,都有x2+x+1≥0”,故B錯;若命題“非p”是真命題,則p是假命題,又因為命題“p或q”是真命題,那么命題q肯定是真命題,C對;命題“若a2+b2=0,則ab=0”的逆命題是“4.①若a>b>0,則1a<1②若a>0>b,則,1a>0,1b<0,所以1a③若0>a>b,則1a<1綜上,只需選取符合“a>0>b”的一組a,b,就能說明原命題是假命題.例如,a=1,b=-1;a=2,b=-1等.答案:1,-1(答案不唯一)1.命題真假的兩種推斷方法(1)聯(lián)系已有的數(shù)學公式、定理、結(jié)論進行干脆推斷.(2)四種命題的真假成對出現(xiàn).即原命題與逆否命題的真假性相同,逆命題與否命題的真假性相同.當一個命題干脆推斷不易進行時,可轉(zhuǎn)化為推斷其等價命題的真假.2.寫一個命題的其他三種命題時的留意點(1)對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫.(2)若命題有大前提,寫其他三種命題時需保留大前提.3.推斷一個命題為真命題,要給出推理證明;推斷一個命題是假命題,只需舉出反例.考點二充分條件、必要條件及充要條件的推斷

【典例】1.(2024·浙江高考)若a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.(2024·天津高考)設x∈R,則“x2-5x<0”是“|x-1|<1”A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”世紀金榜導學號A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解題導思】序號聯(lián)想解題1由a+b的范圍求ab的范圍,聯(lián)想到基本不等式2由不等式的解集,想到用集合法推斷3原命題不好推斷,想到其逆否命題【解析】1.選A.當a>0,b>0時,a+b≥2ab,則當a+b≤4時,有2ab≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;當a=1,b=4時,滿意ab≤4,但此時a+b=5>4,必要性不成立,綜上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”2.選B.由x2-5x<0可得解集為A={x|0<x<5},由|x-1|<1可得B={x|0<x<2},易知BA,故0<x<5是0<x<2的必要而不充分條件,即“x2-5x<0”是“|x-1|<1”3.選B.“若a≠1或b≠2,則a+b≠3”的逆否命題“若a+b=3,則a=1且b=2”明顯是假命題,所以原命題是假命題,充分性不成立.又因為原命題的否命題“若a=1且b=2,則a+b=3”是真命題,所以原命題的逆命題“若a+b≠3,則a≠1或b≠2”是真命題,所以必要性成立;故“a≠1或b≠2”是充分條件、必要條件的三種推斷方法(1)定義法:依據(jù)p?q,q?p進行推斷,適用于定義、定理推斷性問題.(2)集合法:依據(jù)p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行推斷,適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題.(3)等價轉(zhuǎn)化法:依據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把推斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行推斷,適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.1.(2024·全國卷Ⅱ)設α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是 ()A.α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面【解析】選B.由面面平行的判定定理知:α內(nèi)有兩條相交直線都與β平行是α∥β的充分條件;由面面平行的性質(zhì)定理知,若α∥β,則α內(nèi)隨意一條直線都與β平行,所以α內(nèi)有兩條相交直線與β平行是α∥β的必要條件.故α∥β的充要條件是α內(nèi)有兩條相交直線與β平行.2.(2024·天津高考)設x∈R,則“x-12<12”是“x3A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由x-12<1則0<x3<1,即“x-12<12”?“x由x3<1,得x<1,當x≤0時,x-12即“x3<1”“x-12<1所以“x-12<12”是“x考點三充分、必要條件的綜合應用

命題精解讀1.考什么:(1)依據(jù)充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍.(2)考查數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:常與不等式結(jié)合,利用集合與充分、必要條件的關(guān)系求范圍.學霸好方法1.概念問題:精確理解充分不必要條件、必要不充分條件和充要條件的概念,找準異同點,奇妙解題.2.交匯問題:與方程、不等式、集合、立體幾何、數(shù)列等交匯時,要依據(jù)各學問點的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化,并建立聯(lián)系.充分條件、必要條件的探求【典例】不等式x(x-2)<0成立的一個必要不充分條件是 世紀金榜導學號()A.x∈(0,2) B.x∈[-1,+∞)C.x∈(0,1) D.x∈(1,3)【解析】選B.由x(x-2)<0得0<x<2,因為(0,2)?[-1,+∞),所以“x∈[-1,+∞)”是“不等式x(x-2)<0成立”的一個必要不充分條件.解答本題的關(guān)鍵是什么?提示:由必要不充分關(guān)系確定集合關(guān)系.充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍【典例】1.設n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=.

2.已知條件p:2x2-3x+1≤0,條件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若p是q的必要不充分條件,則實數(shù)a的取值范圍是. 世紀金榜導學號

【解析】1.由Δ=16-4n≥0,得n≤4.又n∈N+,則n=1,2,3,4.當n=1,2時,方程沒有整數(shù)根;當n=3時,方程有整數(shù)根1,3,當n=4時,方程有整數(shù)根2.綜上可知,n=3或4.答案:3或42.由2x2-3x+1≤0,得12≤x≤1,所以條件p對應的集合P=x|12≤x≤1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a方法一:用“干脆法”解題p對應的集合A=x|xq對應的集合B={x|x>a+1或x<a}.因為p是q的必要不充分條件,即B?A,所以a<12,a+1≥1或a方法二:用“等價轉(zhuǎn)化法”解題因為p是q的必要不充分條件,所以依據(jù)原命題與逆否命題等價,得p是q的充分不必要條件.所以p?q,即P?Q?a<12,解得0≤a≤12.即實數(shù)a的取值范圍是0答案:0利用充分、必要條件求參數(shù)的實質(zhì)是什么?提示:實質(zhì)就是利用充分、必要條件建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組).1.在下列結(jié)論中:①命題“若x2-3x-4=0,則x=4”的逆否命題為“若x≠4,則x2-3x-4≠0②命題“若m2+n2=0,則m,n全為0”的否命題是“若m2+n2≠0,則m,n全不為0③命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題為真命題;④“若x>1,則x2>1”的否命題為真命題其中正確結(jié)論有個. ()

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.①正確.②不正確,否命題為“若m2+n2≠0,則m,n不全為0”③m>0時,Δ=1+4m>0,所以原命題為真命題,所以逆否命題為真命題.④逆命題“若x2>1,則x>1”故正確結(jié)論的序號為①③.2.(2024·北京高考)設a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選C.|a-3b|=|3a+b|?|a-3b|2=|3a+b|2?a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,因為a,b均為單位向量,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2?a·b=0?a⊥b,即“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要條件.3.(2024·大慶模擬)已知p:x≤1+m,q:|x-4|≤6.若p是q的必要不充分條件,則m的取值范圍是 ()A.(-∞,-1] B.(-∞,9]C.[1,9] D.[9,+∞)【解析】選D.由|x-4|≤6,解得-2≤x≤10,因為p是q的必要不充分條件,所以m+1≥10,解得m≥9.4.(2024·西北工業(yè)高校附中模擬)命題P:“?x>e,a-lnx<0”為真命題的一個充分不必要條件是A.a≤1 B.a<1 C.a≥1 D.a>1【解析】選B.由題意得a<(lnx)min,因為x>e,所以lnx>1,所以a≤1,因為(-∞,1)?(-∞,1],(-∞,1)≠(-∞,1],因此一個充分不必要條件是a<1.祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.它是中國古代一個涉及幾何體體積的問題,意思是兩