2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)24兩點(diǎn)間的距離新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)24兩點(diǎn)間的距離基礎(chǔ)鞏固1．已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，則a的值為 ()A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5解析：由|AB|＝eq\r(（a＋2）2＋（3＋1）2)＝5，得(a＋2)2＝9，解得a＝1或－5.答案：C2．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，則△ABC的周長(zhǎng)是()A．2eq\r(3) B.3＋2eq\r(3)C．6＋3eq\r(2) D．6＋eq\r(10)解析：∵|AB|＝eq\r(（－1－2）2＋（0－3）2)＝3eq\r(2)，|BC|＝3，|AC|＝eq\r(（2－2）2＋（0－3）2)＝3，∴△ABC的周長(zhǎng)為6＋3eq\r(2).答案：C3．已知點(diǎn)A(x，5)關(guān)于點(diǎn)(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)為(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是()A．2 B．4C．5 D.eq\r(17)解析：依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得eq\f(x－2,2)＝1，且eq\f(5－3,2)＝y(tǒng).解得x＝4，y＝1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，1)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離d＝eq\r(（4－0）2＋（1－0）2)＝eq\r(17).答案：D4．到點(diǎn)A(1，3)，B(－5，1)的距離相等的動(dòng)點(diǎn)P滿意的方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0解析：設(shè)P(x，y)，則eq\r(（x－1）2＋（y－3）2)＝eq\r(（x＋5）2＋（y－1）2)，即3x＋y＋4＝0.答案：B5．在直線2x－y＝0上求一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)M(5，8)的距離為5.解：∵點(diǎn)P在直線2x－y＝0上，∴可設(shè)P(a，2a)．依據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，得|PM|2＝(a－5)2＋(2a－8)2＝52，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝eq\f(32,5)，∴P(2，4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,5)，\f(64,5))).實(shí)力提升1．設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P(2，－1)，則|AB|等于()A．5 B．4eq\r(2)C．2eq\r(5) D．2eq\r(10)解析：設(shè)A(a，0)，B(0，b)，則eq\f(a,2)＝2，eq\f(b,2)＝－1，解得a＝4，b＝－2，∴|AB|＝2eq\r(5).答案：C2．已知A(－3，8)，B(2，2)，在x軸上有一點(diǎn)M，使得|MA|＋|MB|最短，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是()A．(－1，0)B．(1，0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,5)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(22,5)))圖1解析：(如圖1)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為A′(－3，－8)，則A′B與x軸的交點(diǎn)即為M，求得M坐標(biāo)為(1，0)．答案：B3．以點(diǎn)A(1，－1)為對(duì)稱中心，直線2x＋3y－6＝0關(guān)于A對(duì)稱的直線方程是()A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0解析：設(shè)P(x0，y0)為直線2x＋3y－6＝0上的點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)A(1，－1)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋x,2)＝1，,\f(y0＋y,2)＝－1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2－x，,y0＝－2－y.))∵(x0，y0)在2x＋3y－6＝0上，∴2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0.整理得2x＋3y＋8＝0.答案：D4．光線從點(diǎn)A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射后經(jīng)過點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B的距離是()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10) D．10eq\r(5)解析：依據(jù)光學(xué)原理，光線從A到B的距離，等于點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′到點(diǎn)B的距離，易求得A′(－3，－5)．所以|A′B|＝eq\r(（2＋3）2＋（10＋5）2)＝5eq\r(10).答案：C5．函數(shù)y＝eq\r(x2－2x＋2)＋eq\r(x2－6x＋13)的最小值是()A.eq\r(5)B.eq\r(7)C.eq\r(11)D.eq\r(13)解析：y＝eq\r(x2－2x＋2)＋eq\r(x2－6x＋13)＝eq\r(（x－1）2＋（0－1）2)＋eq\r(（x－3）2＋（0－2）2)，∴y表示x軸上的點(diǎn)P(x，0)到A(1，1)，B(3，2)兩點(diǎn)的距離之和．圖2如圖2，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′(3，－2)，∴|BP|＝|B′P|.又∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴y的最小值為|AB′|＝eq\r(（3－1）2＋（－2－1）2)＝eq\r(13).答案：D6．已知M(1，0)，N(－1，0)，點(diǎn)P在直線2x－y－1＝0上移動(dòng)，則|PM|2＋|PN|2的最小值為________．解析：∵點(diǎn)P在直線2x－y－1＝0上，可設(shè)P的坐標(biāo)為(a，2a－1)，∴|PM|2＋|PN|2＝(a－1)2＋(2a－1)2＋(a＋1)2＋(2a－1)2＝10a2－8a＋4.∴|PM|2＋|PN|2的最小值為eq\f(4×10×4－（－8）2,4×10)＝2.4.答案：2.47．直線l：y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在直線，若點(diǎn)A(－4，2)，B(3，1)．(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)求△ABC的高CE所在的直線方程．解：(1)設(shè)D(m，n)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m＋4)＝－\f(1,2)，,\f(n＋2,2)＝2×\f(m－4,2)))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝－2，))∴D(4，－2)．(2)∵點(diǎn)D在直線BC上，∴直線BC的方程為3x＋y－10＝0.又∵C在直線y＝2x上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y－10＝0，,y＝2x))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴C(2，4)．(3)∵kAB＝eq\f(2－1,－4－3)＝－eq\f(1,7)，∴kCE＝7，又CE過點(diǎn)C(2，4)，∴直線CE的方程為y－4＝7(x－2)，即直線方程為：7x－y－10＝0.8．在x軸上求一點(diǎn)P，使得(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距離之差最大，并求出最大值；(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距離之和最小，并求出最小值．解：(1)如圖2，設(shè)直線BA與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)P為所求點(diǎn)，圖2且|PB|－|PA|＝|AB|＝eq\r(（0－4）2＋（4－1）2)＝5.∵直線BA的斜率kBA＝eq\f(1－4,4)＝－eq\f(3,4)，∴直線BA的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋4.令y＝0，得x＝eq\f(16,3)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，0)).故距離之差最大值為5，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，0)).(2)作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，則A′(4，－1)，連接CA′，則|CA′|為所求最小值，直線CA′與x軸交點(diǎn)為所求點(diǎn)．又|CA′|＝eq\r(（4－3）2＋（－1－4）2)＝eq\r(26)，直線CA′的斜率kCA′＝eq\f(－1－4,4－3)＝－5，則直線CA′的方程為y－4＝－5(x－3)．令y＝0，得x＝eq\f(19,5)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,5)，0)).故距離之和最小值為eq\r(26)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,5)，0)).拓展要求1．已知A(3，－1)，B(5，－2)，點(diǎn)P在直線x＋y＝0上．當(dāng)|PA|＋|PB|取最小值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．解：點(diǎn)A(3，－1)關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1，－3)，連接A′B，則A′B與直線x＋y＝0的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，直線A′B的方程為y＋3＝eq\f(－2＋3,5－1)(x－1)，即y＝eq\f(1,4)x－eq\f(13,4)，與x＋y＝0聯(lián)立，解得x＝eq\f(13,5)，y＝－eq\f(13,5)，故P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,5)，－\f(13,5))).2．如圖3所示，一個(gè)矩形花園里須要鋪設(shè)兩條筆直的小路，已知矩形花園的長(zhǎng)AD＝5m，寬AB＝3m，其中一條小路定為AC，另一條小路過點(diǎn)D，問是否在BC上存在一點(diǎn)M，使得兩條小路AC與DM相互垂直？若存在，則求出小路DM的長(zhǎng)．圖3解：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、BA所在直線為x、y軸建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系．圖4因?yàn)锳D＝5m，AB＝3m，所以C(5，0)，D(5，3)