2025年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練專題31最值模型之將軍飲馬模型解讀與提分精練（全國版）

專題31最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋或過橋），主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值） 1模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值） 6模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值） 9 15模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小值。模型（1）點A、B在直線m兩側：模型（2）點A、B在直線同側：模型（1）點A、B在直線m兩側：模型（2）點A、B在直線同側：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），連結AB,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點A關于定直線m的對稱點A’,連結A’B,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。例1．（2024·陜西西安·一模）如圖，在四邊形中，，，，，，E是邊上的一動點，F(xiàn)為的中點，則的最小值為．例2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點為直線上一動點，則的最小值為．例3．（2024·廣東·二模）如圖，菱形的一條對角線，，P是對角線上的一個動點，E，F(xiàn)分別為邊，的中點，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．例4．（2024·河南洛陽·模擬預測）如圖，在扇形中，，平分交于點，點為半徑上一動點．若陰影部分周長的最小值為，則扇形的半徑的長為．

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值。模型（1）：點A、B在直線m同側：模型（2）：點A、B在直線m異側：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），延長AB交直線m于點P，當A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關系，有：|P’A-P’B|＜AB，當A、B、P共線時，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點B作關于直線m的對稱點B’，連接AB’交直線m于點P，此時PB=PB’。當A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，當A、B、P共線時，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB’的長度。例1．（2024·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．例2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，為邊中點，而點在邊上，為對角線所在直線上一動點，已知，，且，則的最大值為．例3．（23-24八年級下·山東聊城·期中）如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且為對角線上一點，則的最大值為．

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）模型（1）：兩定點+兩動點條件：A，B為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。兩個點都在直線外側（圖1-1）；內(nèi)外側各一點（圖1-2）；兩個點都在內(nèi)側（圖1-3）圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（2）：一定點+兩動點條件：如圖2，A為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（1-1）（兩點都在直線外側型）如圖（1-1），連結AB,根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。模型（1-2）（直線內(nèi)外側各一點型）如圖（1-2），作點B關于定直線n的對稱點B’,連結AB’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。模型（1-3）（兩點都在直線內(nèi)側型）如圖（1-3），作點B關于定直線n的對稱點B’,作點A關于定直線m的對稱點A’,連結A’B’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。模型（2）：如圖（2），作點A分別關于定直線m、n的對稱點A’、A’’,連結A’B,根據(jù)對稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“兩點之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．例3．（23-24九年級上·陜西漢中·期中）（1）如圖①，在中，．若點P是邊上一點．則的最小值為．（2）如圖②，在中，，，點E是的中點．若點P是邊上一點，求的最小值．（3）公園內(nèi)有一條四邊形型環(huán)湖路，如圖③．若米，米，．為滿足市民健身需求，現(xiàn)要修一條由，連接而成的步行景觀道，其中點E，F(xiàn)分別在邊，上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即的值最小，求此時的長．（路面寬度忽略不計）

1．（2024·河南周口·一模）如圖，正方形中，點M，N分別為，上的動點，且，，交于點E，點F為的中點，點P為上一個動點，連接，．若，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．2．（2024·山東泰安·二模）如圖，在矩形中，，，點E是邊的點，，點F是線段上一點，連接，以為直角邊作等腰直角，為斜邊，連接，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是線段上一點，和是位于直線同側的兩個等邊三角形，點分別是的中點．若，則下列結論錯誤的是（

）

A．的最小值為 B．的最小值為C．周長的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F(xiàn)為對角線上一動點，連接，，則的最小值為．

7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，點是矩形的對稱中心，點，分別在邊，上，且經(jīng)過點，，，，點是邊上一動點．則周長的最小值為．8．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在四邊形中，，，，連接、交于點，點為上一動點，連接，點為的中點，連接、，則的最小值為．9．（2024·陜西商洛·三模）如圖，點為正方形的對稱中心，點為邊上的動點，連接，作交于點，連接，為的中點，為邊上一點，且，連接，，則的最小值為．10．（2023·江蘇南通·模擬預測）如圖，中，，，，I為的內(nèi)心，若M、N分別是斜邊和直角邊上的動點，連接，則的最小值為．11．（2024·海南·三模）如圖，矩形中，，，、分別是直線、上的兩個動點，，沿翻折形成，連接、，則，的最小值是.

12．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在中，連接，，的垂直平分線交于E，交于F，P是線段上一動點，點Q為的中點．若，的面積是24，則的最小值為．13．（2024·山東淄博·一模）如圖，線段與相交于點E，保持，已知，，則的最小值是．14．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是．

15．（2023上·江蘇常州·九年級校考階段練習）如圖，是的直徑，點A是半圓上的三等分點，B是弧的中點，P點為直線上的一個動點，當時，的最小值為.

16．（2023·湖北黃岡·校考模擬預測）如圖，在菱形中，，，點E為的中點，點F在上，且，點G為直線上一動點，的最大值是___________．

17．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，四邊形中，，，，，，點為直線左側平面上一點，的面積為，則的最大值為______．18．（2024·陜西榆林·二模）【問題提出】（1）如圖1，在四邊形中，，，，點E為的中點，點F為BC上一點，連接EF，，則的長為________；【問題探究】（2）如圖2，菱形的邊長為8，且，E是的中點，F(xiàn)為對角線上一動點，連接，求周長的最小值；【問題解決】（3）某校為了開展勞動教育，開辟出一塊四邊形空地，其平面示意圖如圖3中四邊形所示，經(jīng)測量，米，米，，并沿著對角線修建一條隔墻（厚度不計）將該空地分成和兩個區(qū)域，其中區(qū)域為幼苗培育區(qū)，區(qū)域為作物觀察區(qū)，的中點P處有一扇門，現(xiàn)計劃在上取點E、F（點E在點F左側），并沿修建一面結果記錄墻（厚度不計），根據(jù)規(guī)劃要求，米，且與的長度之和最小，請問的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．19．（23-24九年級上·河南周口·期末）唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？作法如下：如圖1，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長線上，取關于河岸的對稱點，連接，與河岸線相交于，則點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后，再由沿直線走到，所走的路程就是最短的．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖2，在等腰梯形中，，點、是底邊與的中點，連接，在線段上找一點，使最短．作點關于的對稱點，恰好與點重合，連接交于一點，則這點就是所求的點，故的最小值為_______．(2)實踐運用如圖3，已知的直徑，點A在圓上，且的度數(shù)為，點是弧的中點，點在直徑上運動，求的最小值．(3)拓展遷移如圖，已知拋物線的對稱軸為，且拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于另一點．①求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式；②在拋物線的對稱軸直線上找到一點，使周長最小，請求出此時點的坐標與周長最小值．20．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求此反比例函數(shù)的表達式及點的坐標；(2)在y軸上存在點，使得的值最小，求的最小值．21．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；22．（2023·陜西西安·九年級校考階段練習）【問題提出】(1)如圖1，，在內(nèi)部有一點P，M、N分別是、上的動點，分別作點P關于邊、的對稱點，，連接，與、相交于M、N，則此時的周長最小，且順次連接O，，后的形狀是等腰直角三角形．理由如下：∵點P關于邊、的對稱點分別為，，∴，，，，∴即周長的的最小值為∵，∴∴是等腰直角三角形．學以致用：若，在內(nèi)部有一點P，分別作點P關于邊、的對稱點，，順次連接O，，，則的形狀是__________三角形．(2)【問題探究】如圖2，在中，，，點D是的中點，若，請用含有h的代數(shù)式表示的面積．(3)【問題解決】如圖3，在四邊形內(nèi)有一點P，點P到頂點B的距離為10，，點M、N分別是、邊上的動點，順次連接P、M、N，使在周長最小的情況下，面積最大，問：是否存在使在周長最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

專題31最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋或過橋），主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值） 1模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值） 6模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值） 9 15模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小值。模型（1）點A、B在直線m兩側：模型（2）點A、B在直線同側：模型（1）點A、B在直線m兩側：模型（2）點A、B在直線同側：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），連結AB,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點A關于定直線m的對稱點A’,連結A’B,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。例1．（2024·陜西西安·一模）如圖，在四邊形中，，，，，，E是邊上的一動點，F(xiàn)為的中點，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查軸對稱中最短路線問題，正方形的判定，勾股定理，靈活運用將軍飲馬模型是解題的關鍵．取的中點H連接，，，，證明出F點就是與的交點，四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形，利用將軍飲馬模型得到是的最小值，再在中，利用勾股定理求出即可．【詳解】取的中點H連接，，，，，四邊形是平行四邊形，，且點為的中點，∴，與的交點就是的中點F，連接，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是正方形，A，C關于BH對稱，連接，，則，，即的最小值為的長，在中，，，由勾股定理，得，故答案為：．例2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點為直線上一動點，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，作關于直線的對稱點，連接交于，則，，，當重合時，最小，最小值為，再進一步結合勾股定理求解即可.【詳解】解：如圖，作關于直線的對稱點，連接交于，則，，，∴當重合時，最小，最小值為，∵，，在中，∴，，∴，，∵，∴，故答案為：【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，求最小值問題，正確理解各性質及掌握各知識點是解題的關鍵．例3．（2024·廣東·二模）如圖，菱形的一條對角線，，P是對角線上的一個動點，E，F(xiàn)分別為邊，的中點，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】作點關于直線的對稱點，連接，根據(jù)軸對稱的性質可知，證明四邊形為平行四邊形，為最小值，再求出菱形的邊，即為的最小值．【詳解】解：如圖，連接，交于，∵菱形，∴，，，，∵∴，∴，∴，∴，，作點關于直線的對稱點，連接，∴，∵點為邊上的中點，則點也為邊的中點，∴當點、、在一條直線上時，有最小值，連接交于，∴當重合時，為最小值，∵為的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴的最小值是，故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱中的最短距離問題、菱形的性質、平行四邊形的判定與性質，勾股定理的應用，學會利用軸對稱的性質解決最短距離問題是解答本題的關鍵．例4．（2024·河南洛陽·模擬預測）如圖，在扇形中，，平分交于點，點為半徑上一動點．若陰影部分周長的最小值為，則扇形的半徑的長為．

【答案】2【分析】本題主要考查扇形周長的計算，軸對稱最短路徑的計算方法，掌握扇形弧長的計算方法，軸對稱求最短路徑的方法是解題的關鍵．根據(jù)題意可求出，作點關于的對稱點，可得最小，則扇形周長最小，由此即可求解．【詳解】解：∵平分，，∴，設扇形的半徑，∴的長為：，陰影部分的周長最小為，如圖所示，作點關于的對稱點，連接與交于點，此時，的值最小，即陰影部分的周長最小，

∴，∴，即，解得，，故答案為：．模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值。模型（1）：點A、B在直線m同側：模型（2）：點A、B在直線m異側：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），延長AB交直線m于點P，當A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關系，有：|P’A-P’B|＜AB，當A、B、P共線時，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點B作關于直線m的對稱點B’，連接AB’交直線m于點P，此時PB=PB’。當A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，當A、B、P共線時，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB’的長度。例1．（2024·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．【答案】6【分析】作A關于CD的對稱點A′，連接A′B交CD于P，則點P就是使|PA-PB|的值最大的點，|PA-PB|=A′B，連接A′C，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據(jù)角的和差關系得到∠ACD=75°，根據(jù)軸對稱的性質得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質即可得到結論．【詳解】如圖，作A關于的對稱點，連接并延長交延長線于點P，則點P就是使的值最大的點，，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵點A與A′關于CD對稱，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：6【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．例2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，為邊中點，而點在邊上，為對角線所在直線上一動點，已知，，且，則的最大值為．【答案】【分析】本題考查菱形的性質，軸對稱中最值問題，勾股定理．取的中點，連接，易得，故，即當共線時，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，四邊形是菱形在和中連接當共線時，最大，圖中處作于．即的最大值為．例3．（23-24八年級下·山東聊城·期中）如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且為對角線上一點，則的最大值為．

【答案】【分析】本題考查了正方形的性質，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質，最值問題等，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．以為對稱軸作N的對稱點，連接，根據(jù)對稱性質可知，，由此可得，當三點共線時，取“”，此時即的值最大，由正方形的性質求出的長，繼而可得，，再證明，可得，，判斷出為等腰直角三角形，求得長即可得答案．【詳解】解：如圖，以為對稱軸作N的對稱點，連接，

根據(jù)軸對稱性質可知，，∴，當三點共線時，取“”，∵在正方形中，，，∴，∵O為中點，∴，∵N為中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，故答案為：2．模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）模型（1）：兩定點+兩動點條件：A，B為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。兩個點都在直線外側（圖1-1）；內(nèi)外側各一點（圖1-2）；兩個點都在內(nèi)側（圖1-3）圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（2）：一定點+兩動點條件：如圖2，A為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（1-1）（兩點都在直線外側型）如圖（1-1），連結AB,根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。模型（1-2）（直線內(nèi)外側各一點型）如圖（1-2），作點B關于定直線n的對稱點B’,連結AB’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。模型（1-3）（兩點都在直線內(nèi)側型）如圖（1-3），作點B關于定直線n的對稱點B’,作點A關于定直線m的對稱點A’,連結A’B’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。模型（2）：如圖（2），作點A分別關于定直線m、n的對稱點A’、A’’,連結A’B,根據(jù)對稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“兩點之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作E關于BC的對稱點，點A關于的對稱點，連接，四邊形的周長最小，根據(jù)，即可解．【詳解】解：如圖1所示，作E關于BC的對稱點，點A關于的對稱點，連接，四邊形的周長最小，∵，，∴，．∵，D是的中點，∴是的中位線，∴，，∵，∴，∴，即，，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，軸對稱的性質，三角形相似的判定和性質，中位線的性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是作出輔助線，找出四邊形的周長最小時，P、Q的位置．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作M關于OB的對稱點M′，作N關于OA的對稱點N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．【詳解】解：作M關于OB的對稱點M′，作N關于OA的對稱點N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱--最短路徑問題，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關鍵．例3．（23-24九年級上·陜西漢中·期中）（1）如圖①，在中，．若點P是邊上一點．則的最小值為．（2）如圖②，在中，，，點E是的中點．若點P是邊上一點，求的最小值．（3）公園內(nèi)有一條四邊形型環(huán)湖路，如圖③．若米，米，．為滿足市民健身需求，現(xiàn)要修一條由，連接而成的步行景觀道，其中點E，F(xiàn)分別在邊，上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即的值最小，求此時的長．（路面寬度忽略不計）

【答案】（1）；（2）的最小值為；（3）的長為500米，的長為1000米【分析】（1）過B作于P，由垂線段最短可知，時，的值最小，由面積法即可求解；（2）作E關于直線的對稱點，連接交于P，由E，關于直線對稱，可知，當B，P，共線時，此時最小，最小值為的長度，根據(jù)，點E是的中點，可得，再用勾股定理可得答案；（3）作C關于的對稱點M，連接交于H，作C關于的對稱點N，連接，延長，交于G，連接，連接交于E，交于F，由C，N關于對稱，C，M關于對稱，，當N，E，F(xiàn)，M共線，最小，根據(jù)，，可得，即得米，米，米，由，知是等邊三角形，從而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米．【詳解】解：（1）過B作于P，如圖：

由垂線段最短可知，時，∵，∴，∵，∴；故答案為：；（2）作E關于直線的對稱點，連接交于P，如圖：∵E，關于直線對稱，∴，∴，當B，P，共線時，最小，最小值為的長度，∵，∴，∵點E是的中點，∴，∵E，關于直線對稱，∴，∴，在中，，∴的最小值為；（3）作C關于的對稱點M，連接交于H，作C關于的對稱點N，連接，延長，交于G，連接，連接交于E，交于F，如圖：∵由C，N關于對稱，C，M關于對稱，∴，∴，當N，E，F(xiàn)，M共線時，此時最??；∵，∴，∵C，M關于對稱，∴，∴，∴米，由勾股定理得米，∴米，∵，∴是等邊三角形，∴米，∴米，∵，∴，∵C，N關于對稱，∴C，B，N共線，，∴米，由勾股定理得米，∴米，∴，∵，∴，∴，在中，（米），在中，（米），∴（米），答：的長為500米，的長為1000米．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了直角三角形性質，勾股定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質，軸對稱的性質等，解題的關鍵是作對稱，根據(jù)兩點之間線段最短解決問題．1．（2024·河南周口·一模）如圖，正方形中，點M，N分別為，上的動點，且，，交于點E，點F為的中點，點P為上一個動點，連接，．若，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】先根據(jù)得，進而可得，由此可得E點的運動軌跡在是以為直徑的圓上．延長至使，得與F關于直線對稱．連接交于P點，交圓O于E點，則，此時的值最小，根據(jù)勾股定理求出的長，即可得的最小值．【詳解】∵是正方形，，，又，，，又，，，∴E點在以為直徑的圓上運動．設的中點為O，則，延長至使，則與F關于直線對稱，連接交于P點，交圓O于E點，則，，此時P、E、F三點共線，因此的值最?。谥校?，，，，∴的最小值為，故選：B．【點睛】本題是一道動點問題和最值問題的綜合性題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、直徑所對圓周角等于90度、軸對稱的性質．找出E點的運動軌跡是解題的關鍵．2．（2024·山東泰安·二模）如圖，在矩形中，，，點E是邊的點，，點F是線段上一點，連接，以為直角邊作等腰直角，為斜邊，連接，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】過點G作于H，則可證明，得；取中點O，則，則點G在直線上運動，連接，則，，當三點共線時最小，從而最小，由勾股定理即可求得最小值．【詳解】解：如圖，過點G作于H，則，；四邊形是矩形，，，，；，，；取中點O，連接，則，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，則點G在直線上運動；連接，則垂直平分，，，當三點共線時最小，從而最小，，則由勾股定理，即的最小值為．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理，確定點G運動的路徑是解題的關鍵．3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關于直線AC的對稱點B，連接BE，則線段BE的長即是PD+PE的最小值．【詳解】如圖：連接BE，∵菱形ABCD，∴B、D關于直線AC對稱，，∵直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，點，∴，，∴∴△CDB是等邊三角形∴∵點是的中點，∴,且BE⊥CD，∴故選：A．【點睛】本題考查菱形性質及動點問題，解題的關鍵是構造直角三角形用勾股定理求線段長．4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點C關于直線的對稱點M，則，點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點M，N分別是的中點，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點C關于直線的對稱點M，連接，，則，

當點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點睛】本題考查矩形的性質，直線三角形斜邊中線的性質，中位線的性質，平行四邊形的判定與性質，軸對稱的性質，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思想．5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是線段上一點，和是位于直線同側的兩個等邊三角形，點分別是的中點．若，則下列結論錯誤的是（

）

A．的最小值為 B．的最小值為C．周長的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為【答案】A【分析】延長，則是等邊三角形，觀察選項都是求最小時，進而得出當點與重合時，則三點共線，各項都取得最小值，得出B，C，D選項正確，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長，依題意∴是等邊三角形，

∵是的中點，∴，∵，∴∴，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，則為的中點，如圖所示，設的中點分別為，則∴當點在上運動時，在上運動，當點與重合時，即，則三點共線，取得最小值，此時，則，∴到的距離相等，則，此時此時和的邊長都為2，則最小，∴，∴∴，或者如圖所示，作點關于對稱點，則，則當三點共線時，

此時故A選項錯誤，根據(jù)題意可得三點共線時，最小，此時，則，故B選項正確；周長等于，即當最小時，周長最小，如圖所示，作平行四邊形，連接，∵，則如圖，延長,，交于點，則，∴是等邊三角形，∴，在與中，∴∴∴∴∴，則，∴是直角三角形，

在中，∴當時，最短，∵∴周長的最小值為，故C選項正確；∵∴四邊形面積等于∴當?shù)拿娣e為0時，取得最小值，此時，重合，重合∴四邊形面積的最小值為，故D選項正確，故選：A．【點睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質，得出當點與重合時得出最小值是解題的關鍵．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F(xiàn)為對角線上一動點，連接，，則的最小值為．

【答案】【分析】連接交于一點F，連接，根據(jù)正方形的對稱性得到此時最小，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接交于一點F，連接，∵四邊形是正方形，∴點A與點C關于對稱，∴，∴，此時最小，∵正方形的邊長為4，∴，∵點E在上，且，∴，即的最小值為故答案為：．

【點睛】此題考查正方形的性質，熟練運用勾股定理計算是解題的關鍵．7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，點是矩形的對稱中心，點，分別在邊，上，且經(jīng)過點，，，，點是邊上一動點．則周長的最小值為．【答案】/【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，線段和的最小值計算；作關于的對稱點，連接，交于，連接，則的最小值為，證明出周長的最小值為，作于，于，利用勾股定理求出和即可．【詳解】解：如圖，作關于的對稱點，連接，交于，連接，

，的最小值為，周長的最小值為，作于，于，，，點是矩形的對稱中心，經(jīng)過點，∵，，，，，，，，周長的最小值為．8．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在四邊形中，，，，連接、交于點，點為上一動點，連接，點為的中點，連接、，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查全等三角形、等邊三角形的性質和判定、軸對稱最短路徑問題，找到對稱點轉化線段是解題關鍵．過點作的平行線分別交、于點、，由點為上一動點，點為線段的中點可得到點在線段上運動，為的中位線，求證，用等腰三角形“三線合一”證明，所以，即點與點關于對稱，所以，同時證明是等邊三角形，，即的最小值為．【詳解】解：過點作分別交、于點、，∵點為上一動點，點為線段的中點∴點在線段上運動，且為的中位線，∵在和中，∴，∴，∴，，∴，是等邊三角形，∴點與點關于對稱，∴，又∵∴的最小值為．9．（2024·陜西商洛·三模）如圖，點為正方形的對稱中心，點為邊上的動點，連接，作交于點，連接，為的中點，為邊上一點，且，連接，，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，連接，由題意知，，由，得，，證明，則，是等腰直角三角形，由是中點，則，，，如圖，過作于，過作于，由，可知四點共圓，由，可得，進而可得在線段上運動，如圖，延長，作點關于對稱的點，過作于，連接交于，連接，由題意知，，且，可知當三點共線時，值最小，在中，由勾股定理得，，計算求解的值即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意知，，∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵是中點，∴，∴，，如圖，過作于，過作于，∴，∵，∴四點共圓，∵，∴，∴在線段上運動，如圖，延長，作點關于對稱的點，過作于，連接交于，連接，由題意知，，∴，∴三點共線時，值最小，∵，在中，由勾股定理得，，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，圓的內(nèi)接四邊形，對稱的性質，等腰三角形的判定與性質，兩點之間線段最短等知識．解題的關鍵在于確定點的運動軌跡．10．（2023·江蘇南通·模擬預測）如圖，中，，，，I為的內(nèi)心，若M、N分別是斜邊和直角邊上的動點，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了最短路徑問題，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，相似三角形的判定和性質．解答本題的的關鍵在于準確找到點與線段的長，找到數(shù)量關系．作，，使，，由軸對稱的性質可得，根據(jù)兩點之間線段最短，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)心性質得，推出四邊形為正方形，再根據(jù)三角形全等，得到，求出和的長，再根據(jù)相似三角形的性質求得，進一步可求得．【詳解】解：分別作，，垂足分別為點D、E、F，使，交于點M，交于點G，∵，，∴，∴，當、M、N三點共線且垂直于時，最短．∵I為的內(nèi)心，，，∴，設，又∵，∴四邊形是正方形，∴，∵中，，，∴，∴，在和中，∴（），∴，同理，∵，∴，解得，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，，即，，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．11．（2024·海南·三模）如圖，矩形中，，，、分別是直線、上的兩個動點，，沿翻折形成，連接、，則，的最小值是.

【答案】14【分析】本題考查了翻折變換、矩形的性質、勾股定理、軸對稱的最短路線問題，作點關于的對稱點，連接，．由，推出，又是定值，即可推出當、、、共線時，定值最小，最小值．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接，．

在中，，，，，，是定值，當、、、共線時，定值最小，最小值，的最小值為4，故答案為：1，4．12．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在中，連接，，的垂直平分線交于E，交于F，P是線段上一動點，點Q為的中點．若，的面積是24，則的最小值為．【答案】6【分析】連接，先證明是等腰三角形，點Q是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點B關于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，由此即可得出結論．【詳解】解：連接，∵，∴，，∵，∴，∴，是等腰三角形，點Q是邊的中點，，，解得，是線段的垂直平分線，點B關于直線的對稱點為點，∴，的長為的最小值，∴的最小值．故答案為：6．【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，垂線段最短，平行四邊形的性質，等腰三我的性質，線段垂直平分線的性質，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．13．（2024·山東淄博·一模）如圖，線段與相交于點E，保持，已知，，則的最小值是．【答案】【分析】過點作，過點作交于，過點作于，連接，則四邊形為平行四邊形，從而得，，，在中分別求出，，則，由此可求出，然后根據(jù)可得出的最小值．此題主要考查了平行四邊形的性質，直角三角形的性質，勾股定理等，正確地作出輔助線構造平行四邊形和直角三角形，理解兩點之間線段最短是解決問題的關鍵．【詳解】解：過點作，過點作交于，過點作于，連接，如下圖所示：，，，四邊形為平行四邊形，，，又，，在中，，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，，，根據(jù)“兩點之間線段最短”得：，即，的最小值為，的最小值是．故答案為：．14．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是．

【答案】/【分析】根據(jù)題意，證明，進而得出點在射線上運動，作點關于的對稱點，連接，設交于點，則，則當三點共線時，取得最小值，即，進而求得，即可求解．【詳解】解：∵為高上的動點．∴∵將繞點順時針旋轉得到．是邊長為的等邊三角形，∴∴∴，∴點在射線上運動，如圖所示，

作點關于的對稱點，連接，設交于點，則在中，，則，則當三點共線時，取得最小值，即∵，，∴∴在中，,∴周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質與判定以及軸對稱的性質是解題的關鍵．15．（2023上·江蘇常州·九年級?？茧A段練習）如圖，是的直徑，點A是半圓上的三等分點，B是弧的中點，P點為直線上的一個動點，當時，的最小值為.

【答案】【分析】作點B關于的對稱點，連接交于點P，此時有最小值，連接、、、，根據(jù)圓的性質和軸對稱的性質，得出，，再利用勾股定理求出的長，即可得到的最小值．【詳解】解：如圖，作點B關于的對稱點，連接交于點P，此時有最小值，連接、、、，點A是半圓上的三等分點，，B是弧的中點，，由軸對稱的性質可知，，，，，，，由勾股定理得：，，故答案為：．

【點睛】本題考查了圓的性質，軸對稱的性質求最小值，勾股定理等知識，解題關鍵是利用軸對稱的性質作輔助線將所求線段轉化．16．（2023·湖北黃岡·?？寄M預測）如圖，在菱形中，，，點E為的中點，點F在上，且，點G為直線上一動點，的最大值是___________．

【答案】【分析】取的中點，連接，，過點作于H點．解直角三角形求出，根據(jù)可得結論．【詳解】解：取的中點，連接，，過點作于H點．

∵四邊形是菱形，，，∴，，∵點E為的中點，點為的中點，∴，，∵四邊形是菱形，，且，，∴點E與點關于對稱，∴，∵，，∴，，∴，∴在中，，∵，當且僅當F、G、三點共線時取等號，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考?？碱}型．17．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，四邊形中，，，，，，點為直線左側平面上一點，的面積為，則的最大值為______．【答案】5【分析】過點P作于H．過點P作直線，作點C關于直線l的對稱點，連接交直線l于，此時的值最大，即的值最大，最大值為線段的長．【詳解】解：如圖，過點作于．，，，過點作直線，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，此時的值最大，即的值最大，最大值為線段的長，過點作于．，四邊形是矩形，，，，，，的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，涉及到的知識點三角形的面積，直角梯形等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最值問題．18．（2024·陜西榆林·二模）【問題提出】（1）如圖1，在四邊形中，，，，點E為的中點，點F為BC上一點，連接EF，，則的長為________；【問題探究】（2）如圖2，菱形的邊長為8，且，E是的中點，F(xiàn)為對角線上一動點，連接，求周長的最小值；【問題解決】（3）某校為了開展勞動教育，開辟出一塊四邊形空地，其平面示意圖如圖3中四邊形所示，經(jīng)測量，米，米，，并沿著對角線修建一條隔墻（厚度不計）將該空地分成和兩個區(qū)域，其中區(qū)域為幼苗培育區(qū)，區(qū)域為作物觀察區(qū)，的中點P處有一扇門，現(xiàn)計劃在上取點E、F（點E在點F左側），并沿修建一面結果記錄墻（厚度不計），根據(jù)規(guī)劃要求，米，且與的長度之和最小，請問的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）11；（2）；（3）的值存在最小值，最小值為米．【分析】（1）根據(jù)中點的定義求出，再證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得到，根據(jù)線段和差即可得到答案；（2）先求出，則當最小時，的周長最小．連接交AC于點，證明，則，即可得到，則當B、F、E三點共線，即點F在點的位置時，取得最小值，最小值為的長．過點E作交的延長線于點H，進一步求出，得到的最小值為．即可得到答案；（3）過點P作于點H，得到米．在上取點N，使得米，連接．得到四邊形為平行四邊形，進一步得到．作點N關于的對稱點，連接交于點，連接交于點G，則垂直平分，，即，則當點D、F、三點共線，即點F在點處時，取得最小值，最小值為，進一步求出米，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，點E為的中點，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，故答案為：11（2）菱形的邊長為8，點E為的中點，，當最小時，的周長最?。B接交AC于點，如圖2．四邊形為菱形，，．在和中，，，，，，，當B、F、E三點共線，即點F在點的位置時，取得最小值，最小值為的長．過點E作交的延長線于點H，如圖2．四邊形為菱形，，．，，，，，即的最小值為．∴周長的最小值為．（3）過點P作于點H，如圖3．，于點H，∴．點P為的中點，即，點H為的中點，即米．在上取點N，使得米，連接．，四邊形為平行四邊形，，．作點N關于的對稱點，連接交于點，連接交于點G，如圖3．則垂直平分，，即，當點D、F、三點共線，即點F在點處時，取得最小值，最小值為的長．，過點作交的延長線于點M，如圖3．∴∴．∴，∴米，∴米．點P、H分別為的中點，為的中位線，米，米，米，米，即的值存在最小值，最小值為米．【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、解直角三角形、三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質、勾股定理、軸對稱的性質、菱形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．19．（23-24九年級上·河南周口·期末）唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？作法如下：如圖1，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長線上，取關于河岸的對稱點，連接，與河岸線相交于，則點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后，再由沿直線走到，所走的路程就是最短的．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖2，在等腰梯形中，，點、是底邊與的中點，連接，在線段上找一點，使最短．作點關于的對稱點，恰好與點重合，連接交于一點，則這點就是所求的點，故的最小值為_______．(2)實踐運用如圖3，已知的直徑，點A在圓上，且的度數(shù)為，點是弧的中點，點在直徑上運動，求的最小值．(3)拓展遷移如圖，已知拋物線的對稱軸為，且拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于另一點．①求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式；②在拋物線的對稱軸直線上找到一點，使周長最小，請求出此時點的坐標與周長最小值．【答案】(1)(2)的最小值為(3)①；②點M的坐標為；周長的最小值為【分析】（1）過點A作于點M，作于點N，求出，，，證明四邊形為平行四邊形，得出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案；（2）取點A關于的對稱點，連接、、、、，與交于點，當點P在點時，最小，且最小值為，證明，根據(jù)，利用勾股定理求出即可；（3）①先利用對稱性求出點B的坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；②連接交直線于一點，該點即為點M，連接，，根據(jù)勾股定理求出周長的最小值為；求出直線的解析式為，把代入求出點M的坐標即可．【詳解】（1）解：過點A作于點M，作于點N，如圖所示：

則，