2019屆江蘇專用高考數學大一輪復習第六章數列6.1數列的概念與簡單表示法講義理蘇教版

§6.1數列的概念與簡單表示法基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.數列的定義按照

排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的

.2.數列的分類知識梳理一定次序項分類原則類型滿足條件按項數分類有窮數列項數____無窮數列項數____有限無限按項與項間的大小關系分類遞增數列an＋1

an其中n∈N*遞減數列an＋1

an常數列an＋1＝an擺動數列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列><3.數列的表示法數列有三種表示法，它們分別是

、

和

.4.數列的通項公式如果數列{an}的第n項與

之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式.列表法圖象法解析法序號n1.若數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，知識拓展3.數列與函數的關系數列是一種特殊的函數，即數列是一個定義在非零自然數集或其子集上的函數，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數值，就是數列.思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)所有數列的第n項都能使用公式表達.(

)(2)根據數列的前幾項歸納出數列的通項公式可能不止一個.(

)(3)1，1，1，1，…，不能構成一個數列.(

)(4)任何一個數列不是遞增數列，就是遞減數列.(

)(5)如果數列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)×√××√考點自測1.(教材改編)下列有四種說法，其中正確的說法是

.(填序號)①數列a，a，a，…是無窮數列；②數列0，－1，－2，－3，…不一定是遞減數列；③數列{f(n)}可以看作是一個定義域為正整數N*或它的有限子集{1，2，…，n}的函數值；④已知數列{an}，則數列{an＋1－an}也是一個數列.答案解析①②④題中①④顯然正確；對于②，數列只給出前四項，后面的項是不確定的，所以不一定是遞減數列；對于③，數列可以看作是一個定義域為正整數N*或它的有限子集{1，2，…，n}的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，所以③不正確.答案解析答案解析答案解析當n＝1時，a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，5.已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝

.答案解析題型分類深度剖析題型一由數列的前幾項求數列的通項公式例1

(1)(2016·南京模擬)數列1，3，6，10，…的通項公式是

.答案解析觀察數列1，3，6，10，…可以發(fā)現 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， …答案解析由前幾項歸納數列通項的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；⑥對于符號交替出現的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理.思維升華跟蹤訓練1根據數列的前幾項，寫出下列各數列的一個通項公式.(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；數列中各項的符號可通過(－1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5).解答解答解答各項的分母分別為21，22，23，24，…，易看出第2，3，4項的絕對值的分子分別比分母小3.因此把第1項變?yōu)?/p>

，題型二由an與Sn的關系求通項公式例2

(1)(2016·南通模擬)若數列{an}的前n項和Sn＝

，則{an}的通項公式an＝

.答案解析(－2)n－1兩式相減，整理得an＝－2an－1，∴a1＝1，∴{an}是首項為1，公比為－2的等比數列，故an＝(－2)n－1.(2)已知下列數列{an}的前n項和Sn，求{an}的通項公式.①Sn＝2n2－3n；解答a1＝S1＝2－3＝－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.②Sn＝3n＋b.解答a1＝S1＝3＋b，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.當b＝－1時，a1適合此等式；當b≠－1時，a1不適合此等式.∴當b＝－1時，an＝2·3n－1；已知Sn，求an的步驟(1)當n＝1時，a1＝S1；(2)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1；(3)對n＝1時的情況進行檢驗，若適合n≥2的通項則可以合并；若不適合則寫成分段函數形式.思維升華跟蹤訓練2

(1)已知數列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數列{an}的通項公式為

.答案解析當n＝1時，a1＝S1＝－1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，(2)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝

.答案解析由an＋1＝Sn＋1－Sn，得

Sn＝Sn＋1－Sn，即Sn＋1＝

Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1，所以數列{Sn}是首項為1，公比為

的等比數列，所以Sn＝()n－1.題型三由數列的遞推關系求通項公式例3

根據下列條件，確定數列{an}的通項公式.(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)；∵an＋1＝an＋ln(1＋)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2＋ln

n(n≥2).又a1＝2適合上式，故an＝2＋ln

n(n∈N*).解答∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1(n≥2)，(2)a1＝1，an＋1＝2nan；＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝.又a1＝1適合上式，故an＝.解答∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故數列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數列，∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1.(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.解答已知數列的遞推關系求通項公式的典型方法(1)當出現an＝an－1＋m時，構造等差數列.(2)當出現an＝xan－1＋y時，構造等比數列.(3)當出現an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解.(4)當出現

＝f(n)時，用累乘法求解.思維升華跟蹤訓練3

(1)已知數列{an}滿足a1＝1，an＝·an－1(n≥2且n∈N*)，則an＝

.答案解析以上(n－1)個式子相乘得當n＝1時也滿足此等式，∴an＝.(2)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5＝

.當n＝1時，S1＝2a1－1，∴a1＝1.當n≥2時，Sn－1＝2an－1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.∴{an}是等比數列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.答案解析16題型四數列的性質命題點1數列的單調性例4

已知an＝

，那么數列{an}是

數列.(填“遞減”“遞增”或“?！?答案解析遞增an＝1－

，將an看作關于n的函數，n∈N*，易知{an}是遞增數列.命題點2數列的周期性例5

數列{an}滿足an＋1＝

，a8＝2，則a1＝

.答案解析∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.命題點3數列的最值例6

若數列{an}的通項an＝

，則數列{an}中的最大項的值是

.答案解析(1)解決數列的單調性問題可用以下三種方法①用作差比較法，根據an＋1－an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列還是常數列.②用作商比較法，根據(an＞0或an＜0)與1的大小關系進行判斷.③結合相應函數的圖象直觀判斷.(2)解決數列周期性問題的方法先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值.(3)數列的最值可以利用數列的單調性或求函數最值的思想求解.思維升華答案解析∴{an}為周期數列且T＝4，∴a2015＝a503×4＋3＝a3＝.由二次函數性質，得當n＝2或3時，an最大，最大值為0.(2)設an＝－3n2＋15n－18，則數列{an}中的最大項的值是

.0答案解析解決數列問題的函數思想思想與方法系列12典例

(1)數列{an}的通項公式是an＝(n＋1)·()n，則此數列的最大項是第

項.(2)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1>an成立，則實數k的取值范圍是

.答案解析思想方法指導9或10(－3，＋∞)(1)可以將數列看成定義域為正整數集上的函數；(2)數列的最值可以根據單調性進行分析.(1)∵an＋1－an當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1<an，∴該數列中有最大項，且最大項為第9、10項.(2)由an＋1>an知該數列是一個遞增數列，又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n，又n∈N*，所以k>－3.課時作業(yè)所給數列呈現分數形式，且正負相間，求通項公式時，我們可以把每一部分進行分解：符號、分母、分子.很容易歸納出數列{an}的通項公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝.答案解析123456789101112132.(2016·蘇州模擬)已知函數y＝f(x)的定義域為R.當x<0，f(x)>1，且對任意的實數x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立.若數列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，則a2015的值為

.根據題意，不妨設f(x)＝()x，則a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝

，∴an＋1＝an＋2，∴數列{an}是以1為首項，2為公差的等差數列，∴an＝2n－1，∴a2015＝4029.答案解析4029123456789101112133.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數列{an}的通項公式是

.答案解析an＝n123456789101112134.若數列{an}滿足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，則a2018＝

.∴數列{an}具有周期性，T＝6，∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝3.答案解析312345678910111213∵an＋an＋1＝

，a2＝2，5.數列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數列{an}的前n項和，則S21＝

.答案解析123456789101112136.已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2－1，則a3＝

.a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.答案解析10123456789101112137.數列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則a7＝

.由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能夠計算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.答案解析1123456789101112138.已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－n，則an＝

.當n＝1時，S1＝a1＝2a1－1，得a1＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴數列{an＋1}是首項為a1＋1＝2，公比為2的等比數列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.答案解析2n－112345678910111213*9.(2016·無錫期末)對于數列{an}，定義數列{bn}滿足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，則a1＝

.因為b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.答案解析81234567891011121310.已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則該數列的前2019項的乘積a1·a2·a3·…·a2019＝

.∴數列{an}是以4為周期的數列，而2019＝4×504＋3，a1a2a3a4＝1，∴前2019項的乘積為1504·a1a2a3＝3.答案解析31234567891011121311.已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，數列{bn}滿足bn＝

，且前n項和為Tn，設cn＝T2n＋1－Tn.(1)求數列{bn}的通項公式；∵a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2).解答12345678910111213(2)判斷數列{cn}的增減性.∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b