系統(tǒng)可觀測(cè)性所要研究的是由輸出估計(jì)狀態(tài)的可能性教學(xué)提綱

系統(tǒng)可觀測(cè)性所要研究的是由輸出估計(jì)狀態(tài)的可能性。例2-11：考慮如下二階系統(tǒng)：§2-3

線性系統(tǒng)的可觀性其狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣為一、可觀測(cè)性的定義已知這個(gè)例子說明，通過對(duì)系統(tǒng)輸入和輸出信息的測(cè)量，經(jīng)過一段時(shí)間的積累和加權(quán)處理之后，我們可以唯一地確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)，也就是說，輸出對(duì)系統(tǒng)的初始狀態(tài)有判斷能力。初始狀態(tài)一旦確定，則系統(tǒng)在任何時(shí)刻的狀態(tài)就完全掌握了。定義2-6：若對(duì)狀態(tài)空間中任一非零初態(tài)x(t0)，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1>t0，使得由輸入u[t0,t1]和輸出y[t0,t1]能夠唯一確定初始狀態(tài)x(t0)，則稱動(dòng)態(tài)方程在t0時(shí)刻是可觀測(cè)的。反之稱為是不可觀測(cè)的。定理2-8：動(dòng)態(tài)方程在t0時(shí)刻可觀測(cè)的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻t1>t0，使得矩陣的n個(gè)列在[t0,t1]上線性無(wú)關(guān)。二、可觀測(cè)性的一般判別準(zhǔn)則1）研究分析(＊)式：q個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)，因此只利用t0

時(shí)刻的輸出值無(wú)法唯一確定x(t0)。(＊)證明：充分性：2).利用y在［t0,t1］的值，通過加權(quán)處理，即在(＊)式兩邊左乘：經(jīng)過整理后有：3).對(duì)上式兩邊由t0到t1積分，有對(duì)照定理2-1，可知V(t0,t1)非奇異的充分必要條件是C(t)

(t,t0)

在[t0,t1]上列線性無(wú)關(guān)。證完。注：在討論上述方程的可解性時(shí)，不妨令u=0，即只討論從零輸入響應(yīng)中求初態(tài)。類似于定理2-5，有定理2-10

設(shè)狀態(tài)方程(A(t),B(t),C(t))中的矩陣A(t),C(t)是(n

1)次連續(xù)可微的。若存在有限時(shí)間t1>t0,使得

則系統(tǒng)在t0

時(shí)刻可觀測(cè)。

這里，三、可重構(gòu)性與可到達(dá)性概念相仿，可引入可重構(gòu)的概念。定義2-7與定義2-6在因果性上有區(qū)別：可重構(gòu)是用過去的信息來(lái)判斷現(xiàn)在的狀態(tài)；而可觀測(cè)性則是用未來(lái)的信息來(lái)判斷現(xiàn)在的狀態(tài)。t0t1可觀測(cè)t0t1可重構(gòu)定理2-9：系統(tǒng)(2—1）四、線性系統(tǒng)的對(duì)偶性同理可證2)。(2)CeAt的各在[0，)上是復(fù)數(shù)域線列線性無(wú)關(guān)。(1)在[0，)中的每一個(gè)

t0,（2-21）可觀測(cè)；(3)對(duì)于任何t0≥0及任何t>t0，矩陣非奇異；下列提法等價(jià):定理2-11：對(duì)于n

維線性不變狀態(tài)方程五、線性時(shí)不變系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)（2-21）(5)在復(fù)數(shù)域上，矩陣C(sI

A)

1的列是線性無(wú)關(guān)的；(6)對(duì)于A的任一特征值，都有證明：利用對(duì)偶原理即可證明。而不可觀測(cè)的振型及相應(yīng)的模式若定理2-11,6的條件不滿足，即存在這說明

是A的屬于特征值

0的特征向量，它在C的核空間中，

0是不可觀的模態(tài)。它對(duì)應(yīng)的特征向量落在C

的核中，輸出y不反映

0對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模式。

例題

§2-4若當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程

的可控性和可觀測(cè)性

一、等價(jià)變換的性質(zhì)令，，則經(jīng)等價(jià)變換后有其中：定理2-13：在任何等價(jià)變換之下，線性時(shí)不變系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性不變。注：定理2-13可以推廣到線性時(shí)變系統(tǒng)（習(xí)題（2-11）。但證完。二、若當(dāng)動(dòng)態(tài)方程的可控性和可觀測(cè)性判據(jù)典型的若當(dāng)矩陣：0000-5-55555000000-5-5555500當(dāng)系統(tǒng)矩陣有重特征值時(shí)，常?？梢曰癁槿舢?dāng)形，這時(shí)A、B、C的形式如下：1.

A有m個(gè)相異的特征值

1,

2….,

m；

Ai

：所有與

i對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊構(gòu)成的矩陣，共有ri

塊；

Bi：B中與Ai對(duì)應(yīng)的的子塊；

Ci：C中與Ai對(duì)應(yīng)的的子塊；

Aij

：表示Ai的第j

個(gè)若當(dāng)塊；

Bij：Bi中與Aij對(duì)應(yīng)的的子塊；

Cij：Ci

中與Aij對(duì)應(yīng)的的子塊；3.

bLij

：Bij

的最后一行；4.

c1ij

：Cij的第一列。定理2-14

(可控、可觀性判據(jù))

若當(dāng)型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(2-26)可控的充分必要條件為下列矩陣行線性無(wú)關(guān)若當(dāng)型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(2-26)可觀測(cè)的充分必要條件為下列矩陣列線性無(wú)關(guān)：證明：令A(yù)i是ni階子塊，只需考慮根據(jù)PBH檢驗(yàn)法，行滿秩，則肯定有證完。例題考察系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。代入將后可得行線性無(wú)關(guān)行線性無(wú)關(guān)代入將后可得按照上述記號(hào)，可知A有二個(gè)不同的特征值{1,2}，特征值1對(duì)應(yīng)有三個(gè)若當(dāng)塊，特征值2對(duì)應(yīng)有兩個(gè)若當(dāng)塊，判別可控性的行向量為每組的行向量線性無(wú)關(guān)，滿足判據(jù)的要求，故系統(tǒng)可控。再來(lái)考察這個(gè)系統(tǒng)的可觀測(cè)性。代入將后可得子矩陣列線性無(wú)關(guān)代入將后可得由于c121=0該系統(tǒng)不可觀測(cè)。推論2-14：（1）若當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程(A,b)可控的充分必要條件是對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征值只有一個(gè)若當(dāng)塊，且向量b

中所有與若當(dāng)塊最后一行相對(duì)應(yīng)的元素不為零；（2）若當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程(A,c)可觀測(cè)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征值只有一個(gè)若當(dāng)塊，且向量c

中所有與若當(dāng)塊第一列相對(duì)應(yīng)的元素不為零。利用PBH檢驗(yàn)法，立即可知這個(gè)系統(tǒng)是可控的。例2－15設(shè)有兩個(gè)若當(dāng)型狀態(tài)方程（2－29）（2－30）由推論2－14可知，狀態(tài)方程（2－29）可控。方程（2－30）是時(shí)變的，雖然A陣具有若當(dāng)型且對(duì)所有的t，b(t)的各分量非零，但并不能應(yīng)用推論2－14來(lái)判斷可控性。事實(shí)上，由定理2－4，對(duì)任一固定的t0有顯然對(duì)所有t>t0，矩陣的各行線性相關(guān)，故方程（2－30）在任何t0均不可控。

習(xí)題2-14

用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形來(lái)做比較直接。首先找出全部運(yùn)動(dòng)模式出現(xiàn)在輸出中的條件(充要條件)，將它與系統(tǒng)可觀測(cè)的條件比較。為了簡(jiǎn)單，只用下例說明：

運(yùn)動(dòng)模式有三個(gè)：出現(xiàn)在矩陣指數(shù)第一行；對(duì)應(yīng)于最高階若當(dāng)塊的第一行當(dāng)C的第一列為非零向量時(shí)，對(duì)恰當(dāng)選取的x(0)，y(t)中就包含了三個(gè)運(yùn)動(dòng)模式。而這一條件比要求C中一、四列線性無(wú)關(guān)的條件(即可觀測(cè))要弱。因此，最高階若當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的特征向量不在C的核中時(shí),y(t)中就包含了這一若當(dāng)塊所對(duì)應(yīng)的全部模式。可觀測(cè)C中一、四列線性無(wú)關(guān)C的第一列非零所有模式出現(xiàn)示意圖如下：若A陣每一個(gè)特征值只有一個(gè)若當(dāng)塊(即A是循環(huán)矩陣)時(shí)，模式全出現(xiàn)就和可觀等價(jià)了。關(guān)于值域、核與正交補(bǔ)核空間：KerA={x｜x

XAx=0}，這里，KerA是A的不變子空間，即有X

n

維線性空間定義域一個(gè)

m×n矩陣A可看作n

維線性空間X到m維線性空間Y的映射Y

m

維線性空間值域若A是n×n

矩陣，可以看作n維空間到自身的線性變換,A是這一線性變換的矩陣表示。2.值域：ImA={y｜y

Y存在x

X，Ax=y}dimImA=rankAImA是A的列向量所張成的空間?？梢员硎緸镮mA=span{a1

a2,….,an}