二重積分的計(jì)算

二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算第一節(jié)討論了二重積分的概念，按照二重積分的定義來計(jì)算二重積分對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的情況是可行的，但對(duì)一般的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說，這不是一種切實(shí)有效的方法.為此，我們首先對(duì)曲頂柱體的體積進(jìn)行分析，從而導(dǎo)出二重積分的計(jì)算方法，即把二重積分化為兩次定積分來計(jì)算，這種方法稱之為累次積分法.一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分利用二次積分計(jì)算二重積分1.先介紹X—型區(qū)域和Y—型區(qū)域.如果區(qū)域D是由直線x=a,x=b與曲線y=φ1(x),y=φ2(x)所圍成的(見圖9-5),即D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}，其中函數(shù)φ1(x)，φ2(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，那么此區(qū)域稱為X—區(qū)域.這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過內(nèi)部且平行于y的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點(diǎn).圖9-5一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分類似地，如果區(qū)域D={(x,y)|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}，其中函數(shù)ψ1(y)，ψ2(y)在區(qū)間［c,d］上連續(xù)，那么此區(qū)域稱為Y—型區(qū)域(見圖9-6).這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過內(nèi)部且平行于x的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點(diǎn).圖9-6一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分假設(shè)積分區(qū)域?yàn)閄—型區(qū)域，即D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}，根據(jù)二重積分的幾何意義，當(dāng)f(x,y)≥0時(shí)，以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w(見圖9-7)的體積.下面利用第六章中計(jì)算“平行截面面積為已知的立體體積”的方法來求這個(gè)曲頂柱體的體積.圖9-7一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在區(qū)間a,b上任意取定一點(diǎn)x0，過x0作垂直于x軸的平面x=x

0與曲頂柱體相交，截面是一個(gè)以區(qū)間［φ1(x0),φ2(x0)］為底，曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形，因此，該截面的面積由于x0的任意性，過區(qū)間a,b上任意一點(diǎn)x，且垂直于x軸的平面與曲頂柱體相交得到的截面面積為一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分(9-2)由此可見，計(jì)算二重積分，可以化為計(jì)算兩次定積分，故又稱為二次積分.一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分類似地,若區(qū)域D為Y—型區(qū)域,即D=x,yψ1(y)≤x≤ψ2(y),c≤y≤d,則有(9-3)一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分如果積分區(qū)域既不是X—型區(qū)域，又不是Y—型區(qū)域，則可把D分成幾部分(見圖9-8)，使每個(gè)部分是X—型區(qū)域或是Y—型區(qū)域，每部分上的二重積分求得后，根據(jù)二重積分的性質(zhì)2，它們的和就是在D上的二重積分.圖9-8一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟是：(1)畫出積分區(qū)域D的圖形，判斷是X—型還是Y—型區(qū)域.(2)確定二次積分的上、下限.若D為X—型區(qū)域，則固定x后，過點(diǎn)x從下至上作y軸的平行線與區(qū)域D相交，該平行線與區(qū)域D的下方邊界的交點(diǎn)(即穿入點(diǎn))的縱坐標(biāo)值φ1(x)為積分下限；而該平行線與區(qū)域D的上方邊界的交點(diǎn)(即穿出點(diǎn))的縱坐標(biāo)值φ2(x)為積分上限.如果區(qū)域D的下方邊界(或上方邊界)不是由一個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示，則需將區(qū)域D分成若干小區(qū)域，使每一小區(qū)域的下方邊界(或上方邊界)都由一個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示.類似地，可以確定Y—型區(qū)域的二次積分的上下限.(3)用式(9-2)或式(9-3)化二重積分為二次積分.(4)計(jì)算二次積分的值.一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例4】圖9-9一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分解法2如圖9-10所示，也可把D看成是Y—型區(qū)域，即D可用不等式1≤y≤2,y≤x≤2來表示.圖9-10一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例5】圖9-11一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例7】圖9-12一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例8】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分圖9-13一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例9】圖9-14一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分若先對(duì)y積分，則需將D分為兩個(gè)區(qū)域D1和D2，顯然此式計(jì)算起來要麻煩得多(請(qǐng)讀者自己完成).由此可見，選擇合適的積分次序，對(duì)于計(jì)算二重積分是至關(guān)重要的.一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例10】圖9-15計(jì)算二重積分D3xydxdy，其中區(qū)域D是由x=0，y=0及x2+y2=1所圍成的第一象限的圖形，如圖9-15所示.一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例11】圖9-16一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分2.利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對(duì)稱性，常會(huì)化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算.有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論為：(1)二重積分的奇偶對(duì)稱性.設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，若閉區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，則一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分(2)二重積分的輪換對(duì)稱性.設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，若閉區(qū)域D中將x與y互換后，一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分【例12】一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分(2)用曲線y=－x3將積分域D分成D1和D2兩部分(見圖9-17).顯然D1關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)φ(x,y)關(guān)于x是奇函數(shù)；D2關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)φ(x,y)關(guān)于y是奇函數(shù).故圖9-17一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分有些積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算很困難，而積分區(qū)域邊界線用極坐標(biāo)表示較為簡(jiǎn)單.如本章開頭所提出的關(guān)于球的體積的計(jì)算公式推導(dǎo)，學(xué)習(xí)了定積分的幾何意義以后，我們已經(jīng)知道球的體積V=2DR2－x2－y2dσ，其中D:x2+y2≤R2，該二重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算極為麻煩(有興趣的讀者不妨試試)，而在極坐標(biāo)系下計(jì)算就很簡(jiǎn)單，為此我們推導(dǎo)極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算.二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分在平面解析幾何中我們知道，平面上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(r,θ)與它的直角坐標(biāo)(x,y)的變換公式為

x=rcosθ，y=rsinθ,

其中r≥0,0≤θ≤2π或－π≤θ≤π.下面介紹在極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算公式.二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，區(qū)域D的邊界曲線如圖9-18所示，

r=r1(θ)，r=r2(θ)(α≤θ≤β)，又設(shè)r1(θ)與r2(θ)在［α,β］上連續(xù).圖9-18二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系中，我們用平行于x軸與y軸的兩簇直線劃分區(qū)域D為一系列小矩形，與此類似，在極坐標(biāo)系中我們用一簇r為常數(shù)的同心圓和θ為常數(shù)的過極點(diǎn)的一簇射線束作劃分.將極角分別為θ與θ+Δθ的兩條射線和半徑分別為r與r+Δr的兩條圓弧所圍成的小區(qū)域記作Δσ，則(9-4)二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分計(jì)算極坐標(biāo)下的二重積分，也要化為累次積分.我們按下面三種情況予以說明.(1)極點(diǎn)O在區(qū)域D之外的情況，如圖9-19所示.這時(shí)區(qū)域D可表示為D={(r,θ)|α≤θ≤β,r1(θ)≤r≤r2(θ)}圖9-19二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分(2)極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上，如圖9-20所示.這時(shí)區(qū)域D可表示為

D={(r,θ)|α≤θ≤β,0≤r≤r(θ)}，于是圖9-20二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分(3)極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部，如圖9-21(a)所示.這時(shí)區(qū)域D可表示為

D={(r,θ)|0≤θ≤2π,0≤r≤r(θ)}，于是二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分圖9-21二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分當(dāng)區(qū)域D是圓或圓的一部分，或者區(qū)域D的邊界方程用極坐標(biāo)表示較為簡(jiǎn)單，或者被積函數(shù)為

等形式時(shí)，一般采用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分較為方便.注二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例13】注二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例14】圖9-22二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例15】二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例16】圖9-23二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例17】二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分圖9-24二、在極坐標(biāo)下計(jì)算二重積分【例18】圖9-25計(jì)算二重積分