多元函數(shù)教學(xué)課件

多元函數(shù)一、多元函數(shù)的概念預(yù)備知識(shí)1.在上冊(cè)我們研究一元函數(shù)的微積分學(xué)時(shí)，其概念、理論和方法都是基于一維空間中(即數(shù)軸上)的點(diǎn)集、兩點(diǎn)間距離、區(qū)間和鄰域等概念，為了將一元函數(shù)的微積分學(xué)推廣到多元函數(shù)的情形，必須將上述概念加以推廣，以供我們研究多元函數(shù)時(shí)使用.一、多元函數(shù)的概念1）平面點(diǎn)集和n維空間平面點(diǎn)集是指平面上滿足某個(gè)條件P的一切點(diǎn)構(gòu)成的集合.在平面解析幾何中，平面上的點(diǎn)與有序二元實(shí)數(shù)組之間建立了一一對(duì)應(yīng)，由此可借助于平面坐標(biāo)來(lái)描述平面點(diǎn)集.例如，平面上以原點(diǎn)為中心，以1為半徑的圓的內(nèi)部就是一個(gè)平面點(diǎn)集(見(jiàn)圖8-1)，它可表示成

E={(x,y)|x2+y2<1}.圖8-1一、多元函數(shù)的概念由平面解析幾何我們還知道，平面上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離為

|P1P2|=(x1－x2)2+(y1－y2)2.在空間解析幾何中，我們同樣建立了空間中的點(diǎn)與有序三元實(shí)數(shù)組之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，也可用空間坐標(biāo)來(lái)描述空間點(diǎn)集.例如，空間中以原點(diǎn)為球心，2為半徑的球面上的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，可表示為

M={(x,y,z)|x2+y2+z2=4}.一、多元函數(shù)的概念由空間解析幾何知道，空間中任意兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z1)之間的距離公式為

|P1P2|=(x1－x2)2+(y1－y2)2+(z1－z2)2.上面我們把一維空間的點(diǎn)集和距離概念推廣到二維空間R2(平面點(diǎn)集)和三維空間R3(空間點(diǎn)集).類似地，我們可以把這個(gè)概念推廣到n元有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)所組成的集合Rn，稱為n維空間.n維空間中的點(diǎn)P與n元有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可用n元有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)來(lái)表示n維空間中的點(diǎn)P，其中(x1,x2,…,xn)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo).一、多元函數(shù)的概念n維空間中任意兩點(diǎn)P1(x1,x2,…,xn),P2(y1,y2,…,yn)之間的距離為

|P1P2|=(x1－y1)2+(x2－y2)2+…+(xn－yn)2.(8-1)下面研究的有關(guān)內(nèi)容均建立在二維空間R2的基礎(chǔ)上，其結(jié)論可推廣到Rn中去.一、多元函數(shù)的概念2）鄰域設(shè)P0(x0,y0)是平面上一點(diǎn)，δ>0，以P0為中心，δ為半徑的圓的內(nèi)部點(diǎn)P(x,y)的全體構(gòu)成的點(diǎn)集，稱為點(diǎn)P0的δ鄰域，記作U(P0,δ)，即

U(P0,δ)={(x,y)|(x－x0)2+(y－y0)2<δ}.在點(diǎn)P0的δ鄰域內(nèi)，如果去掉中心點(diǎn)P0，則稱為點(diǎn)P0的δ去心鄰域，記作U

(P0,δ)，即

U

(P0,δ)={(x,y)|0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ}.一、多元函數(shù)的概念3）內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)(1)內(nèi)點(diǎn)：設(shè)E是平面點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)都屬于E，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)(見(jiàn)圖8-2).圖8-2一、多元函數(shù)的概念(2)外點(diǎn)：設(shè)E是平面點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于E，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集E的外點(diǎn)(見(jiàn)圖8-3).圖8-3一、多元函數(shù)的概念(3)邊界點(diǎn)：設(shè)E是平面點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，如果P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，又有不屬于E的點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)(見(jiàn)圖8-4).E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界.圖8-4一、多元函數(shù)的概念例如，單位圓內(nèi)的點(diǎn)都是圓的內(nèi)點(diǎn)，單位圓上的點(diǎn)都是圓的邊界點(diǎn)，單位圓外的點(diǎn)都是圓的外點(diǎn)，單位圓周為圓的邊界.邊界點(diǎn)可能屬于點(diǎn)集E，也可能不屬于點(diǎn)集E.注一、多元函數(shù)的概念4）開(kāi)集和連通集如果集合E中的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E是開(kāi)集.對(duì)于開(kāi)集E，如果E中的任何兩點(diǎn)都可以用E中的折線連接起來(lái)，則稱E是連通集.一、多元函數(shù)的概念5）區(qū)域和閉區(qū)域連通的開(kāi)集E稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域.開(kāi)區(qū)域E連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.在不混淆的情況下，開(kāi)區(qū)域和閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域.一、多元函數(shù)的概念6）有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域?qū)τ谄矫鎱^(qū)域E，如果存在某一正數(shù)r，使得

EU(O,r)，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱區(qū)域E為有界區(qū)域.否則，稱區(qū)域E為無(wú)界區(qū)域.例如，區(qū)域E={(x,y)|x2+y2<1}是有界區(qū)域；區(qū)域E={(x,y)|x2+y2≤1}是有界閉區(qū)域；區(qū)域E={(x,y)|x+y<1}是無(wú)界區(qū)域；區(qū)域E={(x,y)|x+y≤1}是無(wú)界閉區(qū)域.有界閉區(qū)域是我們今后學(xué)習(xí)中常用的.一、多元函數(shù)的概念引列1三角形的面積S和它的底邊長(zhǎng)a，底邊上的高h(yuǎn)之間有關(guān)系式S=12ah

.其中S，a，h是三個(gè)變量，當(dāng)變量a，h在一定范圍(a>0,h>0)內(nèi)取定一對(duì)數(shù)值(a0,h0)時(shí)，根據(jù)給定的關(guān)系S就有一個(gè)確定的值S0=12a0h0與之對(duì)應(yīng).二元函數(shù)的定義2.引列2設(shè)Z表示居民人均消費(fèi)水平，Y表示國(guó)民收入總額，P表示總?cè)丝跀?shù)，則有Z=S1S2YP，其中S1是消費(fèi)率(國(guó)民收入總額中用于消費(fèi)的部分所占的比例)，S2是居民消費(fèi)率(消費(fèi)總額中用于居民消費(fèi)的部分所占的比例).顯然，對(duì)于每一個(gè)有序數(shù)組(Y,P)(Y>0,P>0并取整數(shù))，總有唯一確定的實(shí)數(shù)Z與之對(duì)應(yīng)，使得以上關(guān)系式成立.此關(guān)系式反映了一個(gè)國(guó)家中居民人均消費(fèi)水平依賴國(guó)民收入總額和總?cè)丝跀?shù).拋開(kāi)上述兩個(gè)例題的具體含義，僅從數(shù)量關(guān)系來(lái)看，它們具有共同的屬性，抽出這些共性，概括出二元函數(shù)的定義.一、多元函數(shù)的概念定義1設(shè)有三個(gè)獨(dú)立的變量x，y，z和非空點(diǎn)集DR2，如果當(dāng)變量x,y在其給定的范圍D內(nèi)，任取一對(duì)數(shù)值(x,y)時(shí)，變量z就按某一確定的對(duì)應(yīng)法則f，總有確定的數(shù)值與它們對(duì)應(yīng)，那么，變量z就稱為變量x,y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y).其中x,y稱為自變量，函數(shù)z也稱為因變量，自變量x,y的取值范圍D稱為函數(shù)的定義域.二元函數(shù)可記為z=z(x,y)或z=g(x,y)等.類似地，可以給出三元函數(shù)的定義

u=f(x,y,z)，(x,y,z)∈DR3，n元函數(shù)的定義

u=f(x1,x2,…,xn)，(x1,x2,…,xn)∈DRn.一、多元函數(shù)的概念二元及其以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)M(x0,y0)所取的函數(shù)值記為

或f(x0,y0).同一元函數(shù)一樣，函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是二元函數(shù)的兩個(gè)要素.對(duì)于以解析式表示的二元函數(shù)，其定義域就是使該式子有意義的自變量的變化范圍.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，在求定義域時(shí)，除使該式子有意義外，還要符合具體問(wèn)題的實(shí)際意義.二元函數(shù)的定義域比較復(fù)雜，可以是全平面，可以是一條曲線，也可以是由曲線圍成的部分平面等.二元函數(shù)的定義域的求法同一元函數(shù)，可用不等式組或集合的形式表示.一、多元函數(shù)的概念求下列函數(shù)的定義域D，并畫出其圖形.【例1】一、多元函數(shù)的概念所以，函數(shù)的定義域D是以x=±2,y=±3為邊界的矩形閉區(qū)域(見(jiàn)圖8-5).圖8-5一、多元函數(shù)的概念即1<x2+y2≤4.所以，函數(shù)的定義域D是以原點(diǎn)為圓心的環(huán)形區(qū)域，是有界區(qū)域(見(jiàn)圖8-6).圖8-6一、多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義3.已知一元函數(shù)(即二元方程)一般表示平面上一條曲線.對(duì)于二元函數(shù)(即三元方程)，由空間解析幾何知識(shí)知道，它在空間直角坐標(biāo)系中一般表示曲面.設(shè)P(x,y)是二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則相應(yīng)的函數(shù)值是z=f(x,y)，于是，有序數(shù)組x,y,z確定了空間一點(diǎn)M(x,y,z).當(dāng)點(diǎn)P在D內(nèi)變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M就在空間變動(dòng)，一般地形成一個(gè)曲面.我們稱之為二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形(見(jiàn)圖8-7).圖8-7一、多元函數(shù)的概念定義域D就是曲面在xOy面上的投影區(qū)域.例如，函數(shù)z=a2－x2－y2(a>0)的圖形是球心在原點(diǎn)、半徑為a的上半球面(見(jiàn)圖8-8).一、多元函數(shù)的概念圖8-8二、二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)情況類似，對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)，我們需要考察當(dāng)自變量x,y無(wú)限趨近于常數(shù)x0,y0時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無(wú)限逼近于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)，這就是二元函數(shù)的極限問(wèn)題.顯然，當(dāng)x,y趨向于x0,y0時(shí)，可以看成點(diǎn)P(x,y)趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)，記為P→P0或(x,y)→(x0,y0).若記ρ=|PP0|，即ρ=|PP0|=(x－x0)2+(y－y0)2，則可用ρ→0來(lái)表示P→P0或(x,y)→(x0,y0).下面給出當(dāng)ρ→0時(shí)，函數(shù)f(x,y)無(wú)限逼近于確定的常數(shù)A的極限定義.二、二元函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義(點(diǎn)P0可以除外)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在正數(shù)δ，當(dāng)0<ρ=|PP0|<δ時(shí)，恒有|f(P)－A|<ε，則稱常數(shù)A為函數(shù)z=f(x,y)當(dāng)P(x,y)→P0(x0,y0)時(shí)的極限，記為二元函數(shù)的極限運(yùn)算與一元函數(shù)類似，不再重述.下面舉例說(shuō)明.二、二元函數(shù)的極限【例2】二、二元函數(shù)的極限【例3】二、二元函數(shù)的極限【例4】二、二元函數(shù)的極限【例5】考察函數(shù)三、二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)的定義1.有了二元函數(shù)極限的定義，類似于一元函數(shù)的連續(xù)性定義，我們就可以很容易地給出二元函數(shù)連續(xù)的定義.三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)趨近于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)的極限存在，且等于它在點(diǎn)P0(x0,y0)處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù)，否則，稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處間斷，點(diǎn)P0(x0,y0)稱為該函數(shù)的間斷點(diǎn).利用函數(shù)全增量的概念，連續(xù)定義可用另一種形式表述.三、二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x,y分別由x0變到x0+Δx，y0變到y(tǒng)0+Δy時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)有增量

f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0)，稱其為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量，記為Δz，即Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0).三、二元函數(shù)的連續(xù)性三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義4設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x,y的增量Δx,Δy趨向于0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)z=f(x,y)的全增量Δz也趨向于0，即

則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).三、二元函數(shù)的連續(xù)性對(duì)于閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)，則要求函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)和邊界上都連續(xù).當(dāng)點(diǎn)P0(x0,y0)是區(qū)域D的邊界點(diǎn)時(shí)，極限

中的P→P0是指P在區(qū)域D內(nèi)所取的路線趨近于點(diǎn)P0(x0,y0)，極限中滿足0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ的點(diǎn)P均指區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn).三、二元函數(shù)的連續(xù)性關(guān)于二元函數(shù)z=f(x,y)的