湖南省衡陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 含答案

高考資源網(wǎng)(）您身邊的高考專家（AI教學(xué)）訂購(gòu)熱線密★啟用前2024年下學(xué)期高三期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則A. B. C. D.13.已知非零向量，滿足，且，則與的關(guān)系是A.垂直 B.共線 C.夾角為 D.夾角為4.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.（0，4） C. D.5.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，且.若是上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足是直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.0 B.2 C.4 D.66.正三棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)分別為6，18，該正三棱臺(tái)內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球（與上、下底面和三個(gè)側(cè)面都相切），則正三棱臺(tái)的高為A.3 B.4 C.5 D.67.已知數(shù)列滿足，則下列說(shuō)法正確的是A.所有項(xiàng)恒大于等于B.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列C.若是常數(shù)列，則D.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列8.在平面直角坐標(biāo)系中，，，，其中，，，則當(dāng)面積最小時(shí)，A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分.9.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，，則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.10.斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A.是雙曲線兩條漸近線所構(gòu)成的“X”形圖象的方程B.也是線段的中點(diǎn)C.若過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，則直線的斜率是D.若過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），則11.已知的定義域?yàn)榉橇阌欣頂?shù)集，且滿足下面三個(gè)性質(zhì)：①；②；③當(dāng)時(shí)，，其中下列說(shuō)法正確的是A.若，，則B.恰有兩個(gè)整數(shù)解C.若，，則，，中至少有兩個(gè)相等D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.13.用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個(gè)正四面體四個(gè)面顏色各不相同.我們規(guī)定：如果兩個(gè)已上色的四面體，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)將其中一個(gè)變得與另一個(gè)完全相同，則認(rèn)為它們用了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有__________種.14.在平面直角坐標(biāo)系中，射線，，半圓.現(xiàn)從點(diǎn)向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線，時(shí)會(huì)發(fā)生鏡面反射.設(shè)光線在發(fā)生反射前所在直線的斜率為，若光線始終與半圓沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，.（1）求的外接圓半徑；（2）若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.16.（15分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，分別在線段，上，且，.（1）若，證明：；（2）若，點(diǎn)，分別在直線，上，且，，求的取值范圍.17.（15分）箱子里有四張卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，每次從箱子中隨機(jī)抽取一張卡片，各卡片被抽到的概率均為，記錄卡片上的數(shù)字，然后將卡片放回箱子.重復(fù)這個(gè)操作，直到滿足下列條件之一結(jié)束：（a）第一次抽取的卡片上寫的數(shù)字是4；（b）設(shè)為大于等于2的整數(shù)，第次抽取的卡片上寫的數(shù)字大于第次抽取的卡片上寫的數(shù)字.例如，當(dāng)記錄的數(shù)字依次為3，2，2，4時(shí)，這個(gè)操作在第4次結(jié)束.（1）若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，求前四次抽取的情況總數(shù)；（2）求操作在第次結(jié)束的概率.18.（17分）已知函數(shù)，.（1）設(shè)直線與曲線交于點(diǎn)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值；（2）a取遍全體正實(shí)數(shù)時(shí)，曲線在坐標(biāo)平面上掃過(guò)一片區(qū)域，該區(qū)域的下邊界為函數(shù)，求的解析式；（3）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)，.（附：）19.（17分）在直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，短半軸長(zhǎng)為.過(guò)點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，記直線，的斜率分別為和.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明是定值，并求出該定值；（3）設(shè)點(diǎn)，證明上存在異于其上下頂點(diǎn)的點(diǎn)，使得恒成立，并求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo).2024年下學(xué)期高三期末質(zhì)量檢測(cè)·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.【答案】B【解析】表示滿足的奇數(shù)，.2.【答案】D【解析】.3.【答案】B【解析】，，即兩者共線.4.【答案】A【解析】.5.【答案】C【解析】，，.，即，取上頂點(diǎn)時(shí)最大..不會(huì)為直角，只有當(dāng)或是直角才符合題意.6.【答案】D【解析】如左圖所示作截面，得到右圖，由勾股定理可得高為6.7.【答案】D【解析】A錯(cuò)，首項(xiàng)不一定成立；B錯(cuò)，，，而；C錯(cuò)，還可以令；D對(duì)，，因?yàn)椋允菃握{(diào)遞增數(shù)列.8.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)，，，，，所以由可得，，記，則，時(shí)，，即，時(shí)可取最小值而.9.【答案】ABD【解析】A.，A正確；B.，B正確；C.，而，C錯(cuò)誤；D.，D正確.10.【答案】ABD【解析】A.，或，這恰為雙曲線兩條漸近線，A正確；B.分別聯(lián)立與，得和這兩式的兩根之和都是，所以，共用同一個(gè)中點(diǎn)，B正確；C.點(diǎn)差法可得直線的斜率是，C錯(cuò)誤；D.由C選項(xiàng)可知，即，D正確.11.【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：先證是偶函數(shù)，令，有，即；令，有，即；令，有，即是偶函數(shù)；因?yàn)?，，所以，A正確；B選項(xiàng)：假設(shè)選項(xiàng)正確，則對(duì)于任意除1和-1以外的整數(shù)，有，即，，而，且，所以，，矛盾，故B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：，所以，若，結(jié)論顯然成立；若，則，即或，結(jié)論依然成立，C正確；D選項(xiàng)：，，D錯(cuò)誤.12.【答案】【解析】，.13.【答案】2【解析】假設(shè)一個(gè)正四面體四個(gè)頂點(diǎn)為，，，，則作底面頂點(diǎn)時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)，除底面外三個(gè)面的朝向有三種，如圖所示：同理，，作底面頂點(diǎn)時(shí)也分別有3種，一共有12種，即一個(gè)正四面體可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到12種朝向.因?yàn)樗姆N顏色的排列數(shù)有種，所以一共有種不同的上色模式.14.【答案】【解析】將半圓依次沿著，，對(duì)稱，如圖所示：光線在鏡面發(fā)生反射可以等效處理為：光線進(jìn)入了鏡子后的空間，因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為光線如何與鏡子內(nèi)外的圓沒(méi)有交點(diǎn)，光線變化的范圍如圖所示.只需考慮光線與，，相切時(shí)的斜率，按上圖寫出范圍即可.15.【解析】（1），根據(jù)正弦定理，可把原式化簡(jiǎn)為，即，再由余弦定理得由于，所以， ……2分，根據(jù)解得，所以的外接圓半徑為. ……5分（2）由（1）知，，，，由正弦定理有，所以， ……8分因?yàn)闉殇J角三角形，所以， ……10分所以，則，所以，則.所以周長(zhǎng)的取值范圍為. ……13分16.【解析】（1）連接，，則是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊?，面，所以，所? ……4分（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，方向?yàn)椋?，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，所以，，所以， ……6分又，設(shè)直線的方向向量為，則由得，又， ……8分所以 ……10分由得， ……11分易知在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以，所以. ……15分17.【解析】（1）15種：1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333. ……4分（2）設(shè)操作在第次結(jié)束的概率為，操作在第次未結(jié)束的概率為.當(dāng)時(shí)， ……6分當(dāng)時(shí)，.接下來(lái)我們討論操作進(jìn)行了次，但是并沒(méi)有結(jié)束的情形，抽取的數(shù)字結(jié)構(gòu)如下所示：分別設(shè)序列中的3，2，1的個(gè)數(shù)為，，，可知.利用隔板法，可以知道對(duì)應(yīng)情形的數(shù)量，操作如下：令，，，即，一共有種情形， ……10分各情形概率均為，所以有.當(dāng)時(shí)，. ……13分經(jīng)檢驗(yàn)，其對(duì)依然成立，即. ……15分18.【解析】（1）時(shí)，.令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為. ……4分（2），令，則①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，； ……7分②當(dāng)，即時(shí)，由，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.綜上所述，. ……10分（3）由第（2）問(wèn)可知恒成立，所以只需證明即可.①若，構(gòu)造因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立； ……13分②若，，因?yàn)椋詷?gòu)造，則.令，則，所以在單調(diào)遞增，而，所以恒成立，在單調(diào)遞增，.因?yàn)?，即，，所以，而，即證在上恒成立 ……17分19.【解析】（1）由已知得的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ……4分（