2024-2025學(xué)年福建省龍巖市高三上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省龍巖市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則（

）A． B．C． D．2．若，則（）A．1 B． C． D．33．已知非零向量，滿(mǎn)足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列，則“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件5．若，且，則（）A． B． C． D．6．已知圓，直線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作圓的切線PM，PN，切點(diǎn)為M，N．若使得四邊形為正方形的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則正實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C．5 D．77．已知函數(shù)在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則（）A． B． C． D．8．定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)的最小值為，則（

）A．1 B．3 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列函數(shù)最小值為4的是（

）A． B．C． D．10．設(shè)函數(shù)的最小正零點(diǎn)為，則（）A．的圖象過(guò)定點(diǎn) B．的最小正周期為C．是等比數(shù)列 D．的前項(xiàng)和為11．已知正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的面積為B．三棱錐體積的最大值為C．若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，到直線的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù).13．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了“圓柱容球”定理.圓柱形容器里放一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二.在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為.14．不等式解集中有且僅含有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，記的前項(xiàng)和為，比較和的大小.16．如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點(diǎn)，.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，是邊上的一點(diǎn)，且，求線段的最大值.18．函數(shù)，其中為整數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，恒成立，求的最大值.19．已知曲線，對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)，定義．若兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，稱(chēng)點(diǎn)在曲線同側(cè)；若，稱(chēng)點(diǎn)在曲線兩側(cè)．(1)直線過(guò)原點(diǎn)，線段上所有點(diǎn)都在直線同側(cè)，其中、，求直線的斜率的取值范圍；(2)已知曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)集的面積；(3)記到點(diǎn)與到軸距離和為的點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線，若曲線上總存在兩點(diǎn)在曲線兩側(cè)，求曲線的方程與實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案1．【正確答案】C【詳解】，故選:C2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選.3．【正確答案】A【詳解】設(shè)非零向量，的夾角為，所以在向量方向上的投影向量為，又，所以，所以與夾角的余弦值為.故選.4．【正確答案】D【詳解】先判斷充分性：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，令，則，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，令，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，但數(shù)列不一定是等差數(shù)列，如，，，，，，所以“”不是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充分條件；再判斷必要性：若數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，所以，所以“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的必要條件，綜上，“”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：D.5．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，，所?故選.6．【正確答案】C【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，可知，若使得四邊形為正方形的點(diǎn)有且只有一個(gè)，可知，則，解得或（舍去），所以正實(shí)數(shù).故選：C.7．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，且，則，由題意可得：，解得，又因?yàn)橹本€為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則，解得，可知，即，所以.故選：A.8．【正確答案】C【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性得到，，從而得到，換元得到在上的最小值為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸，分和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到最小值，從而得到方程，求出答案.【詳解】①，故，因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，為上的奇函數(shù)，故，所以②，式子①和②聯(lián)立得，，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以在上的最小值為，由于的對(duì)稱(chēng)軸為，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得，不合要求，舍去；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，負(fù)值舍去；故選：C9．【正確答案】BCD【分析】A由二次函數(shù)性質(zhì)判斷；B利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合基本不等式求最小值；C應(yīng)用三角恒等變換得，結(jié)合正弦型函數(shù)性質(zhì)判斷；D函數(shù)化為，應(yīng)用基本不等式求最小值判斷.【詳解】A：，不符；B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，符合；C：，則，故，符合；D：且，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，符合.故選：BCD10．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，得，所以，整理得，即的零點(diǎn)為，而是的最小正零點(diǎn)，則，，顯然，，，所以是，的等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，的前項(xiàng)和為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【正確答案】ACD【分析】由題意有是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，求面積判斷A；利用線面平行、面面平行的判定證面面，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征有面，當(dāng)重合時(shí)三棱錐體積最大，且當(dāng)在上除外運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面，判斷B、C；根據(jù)已知求得，再由到直線的距離為判斷D.【詳解】由題意，可得是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故其面積為，A對(duì)；由題設(shè)，面，面，則面，同理可證面，且在面內(nèi)，故面面，根據(jù)正方體性質(zhì)，易得面，即面，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)，易知當(dāng)重合時(shí)，三棱錐體積最大，由A分析，易知棱錐的高，此時(shí)到面的距離，則，B錯(cuò)；由上知，當(dāng)在上除外運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面，軌跡長(zhǎng)為，C對(duì)；若點(diǎn)為的中點(diǎn)，此時(shí)，且，所以，則，所以到直線的距離為，D對(duì).故選：ACD12．【正確答案】?2【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，所以，且且所以.故答案為.13．【正確答案】【詳解】可設(shè)球的半徑為，則根據(jù)題意可知圓柱的底面半徑也為，圓柱的高等于直徑，即為，由球的體積為，利用球的體積公式可得：，解得：，再由圓柱的表面積公式得：，故答案為.14．【正確答案】【詳解】，設(shè)，，，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，，，，的圖象恒過(guò)點(diǎn)2,0，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的圖象，如下：

要想不等式解集中有且僅含有兩個(gè)整數(shù)，顯然2為一個(gè)符合要求的整數(shù)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，故，此時(shí)，1為另一個(gè)符合要求的整數(shù)，故，故15．【正確答案】(1);(2)【詳解】（1）在中,令,得，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，于是得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）及，得，則，于是得，兩式相減得，所以,所以,即.【方法總結(jié)】錯(cuò)位相減法求和步驟：16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：由已知得，取的中點(diǎn)T，連接，由N為的中點(diǎn)知，．又，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系．，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，取，則.設(shè)直線與平面所成角為.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到，由輔助角公式求出答案；（2）由正弦定理得到，由余弦定理得到，從而求出，得到答案.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又，所以，所以，即，，又，所以，所以，所以；?）在中，由正弦定理得，所以.因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即線段的最大值為.18．【正確答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，可得恒成立；當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題為對(duì)于恒成立，設(shè)，，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)分析求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，而，則，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，則恒成立，當(dāng)時(shí)，由，得，即，則，即對(duì)于恒成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，不滿(mǎn)足題意.綜上所述，的最大值為2.19．【正確答案】(1)(2)(3)和，【詳解】（1）由題意知：直線斜率存在，可設(shè)其方程為，即，，解得：，直線斜率的取值范圍為.（2），，，即，點(diǎn)集表示