2024-2025學(xué)年福建省三明市高三上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B．C． D．3．若，下列選項(xiàng)中，使“”成立的一個(gè)必要不充分條件為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．5．如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個(gè)氟原子處于頂點(diǎn)位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將其六個(gè)頂點(diǎn)看作正方體各個(gè)面的中心點(diǎn)．若正八面體的表面積為，則正八面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．6．為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（

）種.A． B． C． D．7．若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的任意三個(gè)連續(xù)交點(diǎn)都是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與的左?右兩支分別交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．二、多選題（本大題共3小題）9．某機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)研究所為推進(jìn)對(duì)機(jī)床設(shè)備的優(yōu)化，成立兩個(gè)小組在原產(chǎn)品的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同方向的研發(fā)，組偏向于智能自動(dòng)化方向，組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法各抽取6臺(tái)進(jìn)行性能指標(biāo)測(cè)試（），測(cè)得組性能得分為：，組性能得分為：，則（

）A．組性能得分的平均數(shù)比組性能得分的平均數(shù)高B．組性能得分的中位數(shù)比組性能得分的中位數(shù)小C．組性能得分的極差比組性能得分的極差大D．組性能得分的第75百分位數(shù)比組性能得分的平均數(shù)大10．已知等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，若，且，則（

）A． B． C． D．11．中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對(duì)稱精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，中國(guó)結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點(diǎn)，距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C．曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過3D．曲線C上有且僅有3個(gè)點(diǎn)P滿足三、填空題（本大題共3小題）12．若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.13．用1?2?3?4?5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若滿足的五位數(shù)有個(gè)，則在的展開式中，的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）14．如圖，對(duì)于曲線G所在平面內(nèi)的點(diǎn)O，若存在以O(shè)為頂點(diǎn)的角α，使得對(duì)于曲線G上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，恒有成立，則稱角α為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”.已知曲線C：（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線C的相對(duì)于點(diǎn)O的“確界角”為，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知籃球比賽中，得分規(guī)則如下：3分線外側(cè)投入可得3分，踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入可得2分，不進(jìn)得0分；經(jīng)過多次試驗(yàn)，某生投籃100次，有20個(gè)是3分線外側(cè)投入，20個(gè)是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨(dú)立事件．(1)求該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率；(2)求該生兩次投籃得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．16．在三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，求二面角的正弦值．17．已知函數(shù).(1)若函數(shù)存在一條對(duì)稱軸，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn).①若直線過橢圓右焦點(diǎn)，且的面積為求實(shí)數(shù)k的值；②若直線過定點(diǎn)，且，在x軸上是否存在點(diǎn)使得以TA，TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在，則求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．對(duì)于任意正整數(shù)n，進(jìn)行如下操作：若n為偶數(shù)，則對(duì)n不斷地除以2，直到得到一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為；若n為奇數(shù)，則對(duì)不斷地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為.若，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”.(1)求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；(2)已知.求m的值；(3)將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，證明.

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，其?duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，故選：C.2．【正確答案】D【詳解】由得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為.故選：D.3．【正確答案】A【詳解】不等式等價(jià)于，使“”成立的一個(gè)必要不充分條件，對(duì)應(yīng)的集合為，則是的真子集，由此對(duì)照各項(xiàng)，可知只有A項(xiàng)符合題意．故選：A．4．【正確答案】C【詳解】，．解得，，在處的切線斜率為．又，函數(shù)在處的切線方程為，即．故選：C．5．【正確答案】B【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合條件可得外接球的半徑，進(jìn)而由球的體積公式即得體積．【詳解】如圖正八面體，連接和交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，又和為平面?nèi)相交直線，所以平面，所以為正八面體的中心，設(shè)正八面體的外接球的半徑為，因?yàn)檎嗣骟w的表面積為，所以正八面體的棱長(zhǎng)為，所以，，，則，.故選B．6．【正確答案】B【詳解】先將丙安排在一所學(xué)校，有種分法；若甲、丙在同一所學(xué)校，那么乙就有種選法，剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學(xué)校（記為X校），分別對(duì)應(yīng)有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人隨便排）、（1人在X校，另2人分在同一所學(xué)校或不在同一所學(xué)校），共種排法；若甲、丙不在同一所學(xué)校，則甲有種選法，若乙與丙在同一所學(xué)校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；若乙與丙不在同一所學(xué)校，則有剩下3人可分別分為1、2、3組，分別有、、種排法，故共有：種排法.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】解法一由，令，得，所以，不妨取，1，2，得三個(gè)連續(xù)的交點(diǎn)依次為，，，因?yàn)闉檎切危瑸榈倪呴L(zhǎng)，為的高，由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可知在和的圖象的交點(diǎn)處，所以的高為，所以，解得．解法二：如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)和的圖象，設(shè)兩圖象的三個(gè)連續(xù)交點(diǎn)分別為A，B，C，連接，，，則為正三角形，過點(diǎn)作，垂足為，由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可知在和的圖象的交點(diǎn)處，所以，所以，所以的最小正周期，即，所以．故選：A．8．【正確答案】A【詳解】依題意，由，得，即的平分線與直線PQ垂直，設(shè)的平分線與直線PQ交于點(diǎn)D，如圖，則，，又，所以，所以，．由題得，，設(shè)，，，在中，，，則，，由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，則，所以在中，，又，，所以，即，整理得，所以．故選：A9．【正確答案】AD【分析】根據(jù)計(jì)算公式分別計(jì)算兩個(gè)小組的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、第75百分位數(shù)，再對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由題意可得組性能得分的平均數(shù)為，組性能得分的平均數(shù)為，所以組性能得分的平均數(shù)比組性能得分的平均數(shù)高，故A正確；組性能得分的中位數(shù)為，組性能得分的中位數(shù)為，所以組性能得分的中位數(shù)比組性能得分的中位數(shù)大，故B錯(cuò)誤；組性能得分的極差為，組性能得分的極差為，所以組性能得分的極差比組性能得分的極差小，故C錯(cuò)誤；組性能得分共個(gè)數(shù)據(jù)，，所以組性能得分的第75百分位數(shù)為，比組性能得分的平均數(shù)大，故D正確.故選AD.10．【正確答案】BC【分析】首先排除公比的特殊情況，結(jié)合給定條件解出公比范圍，利用等比數(shù)列的性質(zhì)逐個(gè)分析即可.【詳解】A：，故A錯(cuò)誤；B:，對(duì)恒成立，則恒成立，則，，故，故B正確；C：，故C正確；D：由，故D錯(cuò)誤.故選BC.11．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：化簡(jiǎn)得到：，將代入可得，所以曲線.把代入得，所以，曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令解得，即：曲線經(jīng)過，結(jié)合圖象，得.今，得，令，得，因此，結(jié)合圖象曲線只能經(jīng)過3個(gè)整點(diǎn).故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，所以曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，即：都不超過3，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：點(diǎn)滿足，則在垂直平分線上，則，設(shè)，則，所以，故只有原點(diǎn)滿足，故D錯(cuò)誤.故選.12．【正確答案】/【詳解】由，則,當(dāng)時(shí)，上式相加得，又，所以，又符合上式，可知，所以，所以.故答案為.13．【正確答案】56【詳解】由五位數(shù)需滿足可知，，再?gòu)?，3，4，5中任取兩個(gè)數(shù)，大數(shù)是，小數(shù)是，剩下兩個(gè)數(shù)按照大小分別是，．故能組成個(gè)這樣的五位數(shù)，則．則在的展開式中，含項(xiàng)系數(shù)為．故．14．【正確答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，，，則切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，所以.設(shè)，則，故為增函數(shù)，且，所以，當(dāng)時(shí)，過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)B，，則切線為，又切線過點(diǎn)所以，又，，因?yàn)?，所以兩切線垂直，所以.故15．【正確答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）“3分線外側(cè)投入”，“踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入”，“不能入籃”分別記為事件，，，由題意知，，，因?yàn)槊看瓮痘@為相互獨(dú)立事件，故4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率為.（2）兩次投籃后得分的可能取值為0，2，3，4，5，6,由于該生兩次投籃互不影響，是相互獨(dú)立事件，表示兩次投籃都不能入籃，即得分都為0，則；表示一次是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，另一次不能入籃，則；表示一次是3分線外側(cè)投入，另一次不能入籃，則；表示兩次都是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，則；表示一次是3分線外側(cè)投入，另一次是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，則；表示兩次都是3分線外側(cè)投入，則，故的分布列為023456所以.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接，取中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，為，的中點(diǎn)，且，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）因?yàn)?，在中，，所以，又平面，故平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，所以，，，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，，則，令，解得，故，，令，解得，，故，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為．17．【正確答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)定義域?yàn)?1,1，且函數(shù)存在一條對(duì)稱軸，故對(duì)稱軸為，所以，即，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式恒成立，故.（2）由題意，當(dāng)時(shí)，有且，所以f'x<0，故的單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，令，且當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)或區(qū)間為；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.18．【正確答案】(1)；(2)①；②.【詳解】（1）由雙曲線的漸近線方程為，再由橢圓的右焦點(diǎn)分別為到漸近線的距離為可得：，因?yàn)?，所以解得，再由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，可得，所以由，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①直線過橢圓右焦點(diǎn)可得：，即，所以由直線與橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立方程組，消去得：，設(shè)兩交點(diǎn)，則有所以，又橢圓左焦點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得：或（舍去），即；②假設(shè)存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，由于直線過定點(diǎn)，且，可知直線方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，消去得：，由，且，解得，

設(shè)兩交點(diǎn)，中點(diǎn)，則有所以，即，整理得，又因?yàn)?，所以，則.19．【正確答案】(1)2和5為兩個(gè)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”(2)的值為12或18(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“理想數(shù)”概念，結(jié)合列舉法可解；（2）分析題意知道必為奇數(shù)，則必為偶數(shù)，結(jié)合整除知識(shí)得解；（3）將數(shù)列適當(dāng)放縮，后分組，結(jié)合等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）以內(nèi)的質(zhì)數(shù)為，，故，所以為“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)