2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上冊期末模擬考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線和直線平行，則（

）A．或 B．或C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點，，則（

）A．直線AB∥坐標(biāo)平面xOy B．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOyC．直線AB∥坐標(biāo)平面 D．直線AB⊥坐標(biāo)平面3．已知圓:,過作圓的切線,則切線長為（

）A． B． C．3 D．44．已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前項和，且，則（

）A．31 B． C．31或5 D．或55．已知正四面體ABCD的棱長為a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則的值為（

）A． B． C． D．6．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法．如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的軸重合），已知兩個圓錐的底面直徑均為6，母線長均為5，過圓錐軸的平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為，用平行于的平面截圓錐，該平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線的一部分，且雙曲線的兩條漸近線分別平行于，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知圓與x軸交于A,B兩點，點M是直線上任意一點．設(shè)，則t的可能取值是（

）A． B． C． D．38．如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知下列四種條件，空間中四點A，B，C，D不一定共面的是（

）A． B．C． D．10．已知，滿足條件的動點的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，可以是（

）A． B．2 C． D．11．已知拋物線的焦點為F，點P在拋物線上，點，點P到點Q和到y(tǒng)軸的距離分別為，則（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為B．若，則周長的最小值等于3C．若，則的最小值等于2D．若，則的最小值等于12．已知數(shù)列中各項都小于2，，記數(shù)列的前n項和為，則以下結(jié)論正確的是（

）A．任意與正整數(shù)m，使得 B．存在與正整數(shù)m，使得C．任意非零實數(shù)與正整數(shù)m，都有 D．若，則三、填空題（本大題共4小題）13．兩條直線與之間的距離是．14．已知直線經(jīng)過兩點，則點到直線的距離為．15．某地發(fā)生地震，呈曲線形狀的公路上任意一點到村的距離比到村的距離遠，村在村的正東方向處，村在村的北偏東方向處，為了救援災(zāi)民，救援隊在曲線上的處收到了一批救災(zāi)藥品，現(xiàn)要向兩村轉(zhuǎn)運藥品，那么從處到、兩村的路程之和的最小值為.16．如圖，曲線上的點與軸的正半軸上的點及原點構(gòu)成一系列等腰直角三角形，，，，且，記點的橫坐標(biāo)為，則；通項公式．四、解答題（本大題共6小題）17．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.18．如圖，已知圓，點.(1)求圓心在直線上，經(jīng)過點且與圓相外切的圓的方程；(2)若過點的直線與圓交于兩點，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程.19．如圖，在直三棱柱中，M，N分別為AC，的中點.(1)證明：平面；(2)若平面，，，求點A到平面的距離.20．雙曲線的左頂點為，右焦點為，動點在上.當(dāng)時，.(1)若點的坐標(biāo)為，求雙曲線的方程；(2)若在第一象限，證明.21．某企業(yè)2023年的純利潤為500萬元，因為企業(yè)的設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不進行技術(shù)改造，預(yù)測從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元．如果進行技術(shù)改造，2024年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計2024年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元．(1)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進行技術(shù)改造的年純利潤為萬元；進行技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為萬元，求和；(2)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元，依上述預(yù)測，從2024年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？22．已知點為橢圓的左焦點，在C上．(1)求C的方程；(2)記（1）中軌跡為曲線C，在曲線C的上半部分取兩點M，N，若，，且．①當(dāng)時，求四邊形的面積；②求四邊形的面積最大時點M的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】C【詳解】直線和直線平行，，解得或，當(dāng)時，兩條直線重合；當(dāng)時，兩條直線平行.綜上，.故選：C.2．【正確答案】C【詳解】由已知得，坐標(biāo)平面的一個法向量是，坐標(biāo)平面的一個法向量是，易判斷與，不平行，所以直線AB不垂直坐標(biāo)平面，也不垂直坐標(biāo)平面，故BD錯.因為，所以直線不平行坐標(biāo)平面，故A錯因為，點A、B均不在坐標(biāo)平面上，所以直線AB與坐標(biāo)平面平行，故C對.故選：C3．【正確答案】B【詳解】圓:,即圓心半徑切線長為故選:B.4．【正確答案】B【詳解】因為是首項為1的等比數(shù)列，是的前項和，且當(dāng)時，，計算得所以當(dāng)時，，，所以綜上：故選：B5．【正確答案】C【詳解】四面體ABCD是正四面體，，且、、三向量兩兩夾角為，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，，，則，故選：C.6．【正確答案】A【詳解】以矩形的中心為原點，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題，得，則，即，..由，得離心率.故選：A.7．【正確答案】B【詳解】由知，則直線恒過定點，如圖，當(dāng)直線與圓相離時，連接，設(shè)（或）與圓O交于點C，連接CB（CA），則，由外角的性質(zhì)，知，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切或相交時，在直線上均存在點M，使得，所以等價于直線與圓O相離，則，解得.故選：B8．【正確答案】C【詳解】連接、，由在以為直徑的圓上，故，、在橢圓上，故有，，設(shè)，則，則有，，即可得，解得，故，則，故.故選：C.9．【正確答案】AD【詳解】空間中A，B，C，D四點共面的充要條件是滿足，且，對于A，由，得，則空間中四點A，B，C，D不共面；對于B，由，得，則空間中四點A，B，C，D共面；對于C，由，得，則向量共面，即四點A，B，C，D共面，對于D，由，即，得，則空間中四點A，B，C，D不共面.故選：AD10．【正確答案】BC【詳解】由雙曲線的焦點坐標(biāo)，可得，要使得滿足條件的動點的軌跡是雙曲線的一支，則滿足，解得且，結(jié)合選項，選項B、C符合題意.故選：BC.11．【正確答案】BD【詳解】A：由拋物線方程可知拋物線準(zhǔn)線是，A錯誤．B：當(dāng)時，的周長，B正確．C：因為，所以在圓上，圓心為，所以，設(shè)，則，所以，所以的最小值等于，C錯誤．D：若，則在直線上，，D正確．故選：BD12．【正確答案】ABD【詳解】對于A：因為，所以，所以，則，故A正確；對于B：記，由，可得，因為在上單調(diào)遞減，所以對于任意正整數(shù)n，，故B正確；對于C：由A可知所有同號，①當(dāng)時，易得對于任意正整數(shù)n，，②當(dāng)時，，即，因為在上單調(diào)遞減，所以對于任意正整數(shù)n，，③當(dāng)時，，即，因為在上單調(diào)遞減，所以對于任意正整數(shù)n，，故C錯誤；對于D：由B可知對于任意正整數(shù)n，，當(dāng)時，所以，，由C中②知當(dāng)時，，又，解得，所以，所以，故D正確；故選：ABD13．【正確答案】2【詳解】將化為，可知兩直線平行；由兩平行線間的距離公式可得，直線與之間的距離.故214．【正確答案】【詳解】由題可知，則，，故點到直線的距離為．故15．【正確答案】【詳解】如圖，以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，由題意得，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，故，所以曲線的軌跡方程為，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時，等號成立，所以從處到、兩村的路程之和的最小值為.故答案為.16．【正確答案】2；.【詳解】設(shè)各個直角三角形斜邊長分別為，則前項和為.設(shè)，，則.則，解得，.當(dāng)時，，，由可得，，所以，又，兩式作差可得，，又，所以，整理可得.所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故2；.17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故，故，則，又滿足，∴，.（2）由（1）可得：，故.18．【正確答案】(1)(2)或.【詳解】（1）解：由，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得所以圓的圓心坐標(biāo)為，又因為圓的圓心在直線上，所以當(dāng)兩圓外切時，切點為，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，因為在圓上，可得，則有解得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為.

（2）解：因為圓弧恰為圓周長的，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，所以點到直線的距離為，①當(dāng)直線的斜率不存在時，點到軸的距離為，直線即為軸，此時直線的方程為.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即.可得，即，解得，所以直線的方程，即，故所求直線的方程為或.

19．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點H，連接MH，HN.因為M為AC的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為H，N分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.因為面MHN，所以平面平面.因為平面MHN，所以平面.（2）因為平面，平面，所以.因為三棱柱是直三棱柱，所以，.以BA，，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為.由，得，取.所以點A到平面的距離.20．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）

由題意知，，，所以，當(dāng)時，在雙曲線方程中令,即，解得，即，又，即，得，所以，因為點坐標(biāo)為，所以，所以雙曲線方程為.（2）由（1）知，所以，雙曲線的方程可化為，當(dāng)時，，如圖所示:

所以為等腰直角三角形，即，易知；當(dāng)與不垂直時，如圖:

設(shè)，又點在上，所以，即，即，又因為，所以，即無論與是否垂直，根據(jù)正切函數(shù)在區(qū)間和上嚴(yán)格單調(diào)遞增，均有，綜上，．21．【正確答案】(1)(2)4【詳解】（1）由題意得是等差數(shù)列，，所以，由題意得，所以，所以是首項為250，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）是數(shù)列的前項和，所以，是數(shù)列的前項和減去600，所以，，又當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且時，時，所以至少經(jīng)過4年，進行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤.22．【正確答案】(1)(2)①面積為，②；【詳解】（1）根據(jù)題意將代入可得，又，解得；所以C的方程為；（2）在曲線C的上半部分取兩點M，N，且，延長交橢圓與