2024-2025學年廣東省東莞市高二上冊期末教學數(shù)學質(zhì)量檢測試卷（附解析）

2024-2025學年廣東省東莞市高二上學期期末教學數(shù)學質(zhì)量檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．數(shù)列的一個通項公式為（

）A． B．C． D．2．已知直線的斜率為，則（

）A．3 B． C．1 D．3．已知是拋物線上一點，點到的焦點的距離為9，到軸的距離為4，則（

）A．4 B．5 C．8 D．104．在數(shù)列中，已知，則（

）A．4 B． C．1 D．25．若圓與圓恰有兩個公共點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．7．如圖，三角形蜘蛛網(wǎng)是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，每個正三角形的頂點都是其外接正三角形各邊的中點．現(xiàn)有17米長的鐵絲材料用來制作一個網(wǎng)格數(shù)最多的三角形蜘蛛網(wǎng)，若該三角形蜘蛛網(wǎng)中最大的正三角形的邊長為3米，則最小的正三角形的邊長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．已知直線與交于點，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知是等差數(shù)列，公差不為0，若成等比數(shù)列，則（

）A． B．C． D．10．已知，在同一個坐標系下，曲線與直線的位置可能是（

）A． B．C． D．11．已知為正方體所在空間內(nèi)一點，且，，則（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．存在唯一的，使得平面平面D．存在唯一的，使得12．已知F是橢圓的右焦點，直線與橢圓C交于A，B兩點，M，N分別為，的中點，O為坐標原點，若，則橢圓C的離心率可能為（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共4小題）13．已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則.14．等比數(shù)列的前項和為，若，則.15．若雙曲線的虛軸長為4，則該雙曲線的漸近線方程為.16．若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則.四、解答題（本大題共6小題）17．在數(shù)列中，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.18．已知圓過點和，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)經(jīng)過點的直線與圓相切，求的方程.19．已知動圓經(jīng)過點，且與直線相切，記動圓的圓心的運動軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)直線與都經(jīng)過點且互相垂直，與相交于兩點，與相交于兩點，求的最小值.20．如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點，且．(1)求的長;(2)求二面角的正弦值.21．已知是首項為1的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，．(1)求和的通項公式；(2)在中，對每個正整數(shù)k，在和之間插入k個，得到一個新數(shù)列，設是數(shù)列的前n項和，比較與20000的大小關系．22．已知橢圓經(jīng)過點和．(1)求的方程；(2)若點（異于點）是上不同的兩點，且，證明直線過定點，并求該定點的坐標．

答案1．【正確答案】C【分析】排除法，代入求值即可判斷.【詳解】對于A：時，，舍去；對于B：時，，舍去；對于D：時，，舍去；經(jīng)檢驗數(shù)列的一個通項公式為，故選：C.2．【正確答案】B【分析】由直線的一般式得斜率，即可求出答案.【詳解】因為的斜率為，所以，則.故選：B.3．【正確答案】D【分析】確定拋物線的準線方程，根據(jù)拋物線的焦半徑公式，即可求得答案.【詳解】由題意知拋物線的準線為，因為點到的焦點的距離為9，到軸的距離為4，即A點縱坐標為4，所以,解得.故選：D4．【正確答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，依次求出即可.【詳解】在數(shù)列中，已知，則.故選：A5．【正確答案】A【分析】根據(jù)兩圓的位置關系列不等式求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.因為恰有兩個公共點,所以兩圓相交，所以，解得或，即的取值范圍是.故選：A6．【正確答案】C【分析】空間的基向量必定不共面，即不能互相表出，而判斷選項中的三個向量是否共面，只需判斷能否找到唯一的實數(shù)，使其中一個向量能用另外兩個向量線性表出即可.【詳解】因構成空間的一個基底，故不共面，對于A項，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故A項錯誤；對于B項，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故B項錯誤；對于C項，因，故共面，即C項正確；對于D項，若共面，則必存在唯一的，滿足，即，顯然此方程組無解，即不共面，故D項錯誤.故選：C.7．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，構造正三角形周長滿足的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列前項和公式及指數(shù)不等式進行求解.【詳解】由題可知，該三角形蜘蛛網(wǎng)中三角形的周長從大到小是以9為首項，為公比的等比數(shù)列.設最小的正三角形的邊長為米，則，則，即，得，故最小的正三角形的邊長為米.故選：B.8．【正確答案】D【分析】根據(jù)得點為圓上動點，用三角換元求的最大值.【詳解】由題意可得直線恒過坐標原點，直線恒過定點，且，所以，所以與的交點在以為直徑的圓上，則點的坐標滿足（不含點）．可設，且，則，所以當時，的最大值為．故選：D9．【正確答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和等比中項列出等式，化簡求解即可.【詳解】因為成等比數(shù)列，所以，則，又不為0，所以，，符號不確定，故A錯誤.，故B正確；所以，故C正確；，故D錯誤；故選：BC.10．【正確答案】BD【分析】先根據(jù)題意得到曲線為，直線為，再根據(jù)當，，，時，曲線及直線的橫截距與縱截距的關系即可逐項判斷．【詳解】因為，所以曲線為，直線為，當時，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯誤；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負，則D正確．故選：BD．11．【正確答案】AB【分析】對A：由可得點在線段上，建立空間直角坐標系后由坐標計算即可得；對B：借助線面平行得到三棱錐的高為定值，由底面積亦為定值，故體積為定值；對C：由題意可得平面，故C錯誤；對D：借助空間向量計算即可得.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，,因為，故，即有，即，故點在線段上，有，則有，，則，故，故A正確；由點在線段上，且，又平面，平面，故平面，故點到平面距離不變，故三棱錐的體積為定值，故B正確；在正方體中，平面，，又平面，故，又平面，且平面，故平面，又平面，故平面平面恒成立，故C錯誤；，故，由，得，方程無解，故不存在實數(shù)，使得，故D錯誤.故選：AB.12．【正確答案】BD【分析】根據(jù)題意，先畫出圖象，然后判斷四邊形為平行四邊形，由可得，進而結合橢圓的定義與基本不等式可得有關的不等式，解不等式得到離心率的取值范圍，從而逐項判斷四個選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，圖象如圖所示：設為橢圓C的左焦點，因為直線與橢圓C交于A，B兩點，所以由橢圓的對稱性得，又，于是四邊形為平行四邊形.因為M，N分別為，的中點，是中點，所以，，平行四邊中,，在中，.因為直線斜率存在，所以A，B兩點不在y軸上，即，又在中，，所以，，即，又，所以，即.綜上所述，；因為，故A，C錯誤；，即，故B正確；，即，故D正確.故選：BD．13．【正確答案】2【分析】先求得點的坐標，然后利用向量法求得兩點距離.【詳解】因為點是點在坐標平面內(nèi)的射影，所以，所以，所以.故214．【正確答案】28【分析】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，列式即可求出答案.【詳解】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，所以，因為，解得，故2815．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，結合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線的虛軸長為4，可得，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故答案為.16．【正確答案】24【分析】根據(jù)韋達定理得，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，即可得解.【詳解】由題可知，則，這三個數(shù)可適當排序后成等比數(shù)列，則3必是等比中項，則，這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，則3必不是等差中項，若是等差中項，則，解得，則，故，若是等差中項，則，解得，則.故.故2417．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，結合等差數(shù)列定義，即可證明結論；（2）結合（1）求出的通項公式，可得的表達式，利用裂項相消法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：因為，所以.又，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，則，則，則.18．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）設出圓的標準方程，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在和存在，兩種情況討論，結合直線與圓的位置關系，列出方程，即可求解.【詳解】（1）解：設圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.19．【正確答案】(1)(2)256【分析】（1）設，由題列出方程化簡即可；（2）設點設直線，聯(lián)立，韋達定理，利用拋物線定義表示弦長，然后利用基本不等式求最小值.【詳解】（1）設圓心，因為動圓經(jīng)過點，且與直線相切,則，所以，整理得，故的方程為.（2）由題可知，與的斜率均存在且不為0，設的方程為的方程為.聯(lián)立方程組整理得，則，同理可得，則，則，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為256.20．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）結合垂直關系，以B為坐標原點建立空間直角坐標系，利用計算出的長度即可；（2）利用向量法求出平面的法向量與平面的法向量，進而求出二面角的正弦值即可.【詳解】（1）因為平面，，故以B為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系．設，由，得，，，．因為F是的中點，所以，則，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，則，，．設平面的法向量為，則，令，得．設平面的法向量為，則，令，得．所以，故二面角的正弦值為．21．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意結合等差、等比數(shù)列的通項公式運算求解；（2）根據(jù)題意分析可知，利用分組求和法結合等差、等比數(shù)列求和公式以及錯位相減法運算求解.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為d，因為，則，解得，所以，．（2）因為，當時，，可知，且，令的前n項和為，則，可得，兩式相減得，即，可得，所以．22．【正確答案】(1)(2)證明見解析，定點．【分析】（1）將點代入橢圓方程即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達定理，即可得坐標，進而根據(jù)點斜式求解直線方程即可求解定點，或者根據(jù)向量垂直滿足的坐標運算，代入韋達定理化簡即可求解，結合分類討論,進而得定點..【詳解】（1）由題意得，把點的坐標代入，得，解得，所以橢圓的方程為．（2）（方法一）由題意可知均有斜率且不為0，設直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，可得，解得，所以點的坐標為．因為，所以直線的斜率為，同理可得點．當時，有，解得，直線的方程為．當時，直線的斜率，則直線的方程為，即，即，直線過定點．又當時，直線也過點．綜上，直線過定點．（方法二）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，，即．設，則，．因為，所以，即，，，化簡得，