2024-2025學(xué)年山東省棗莊市滕州市高一上冊(cè)1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省棗莊市滕州市高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合，，則等于（）A． B．C． D．2．“x＝”是“sinx＝”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．4．已知像2，3，5，7這樣只能被1和它本身整除的正整數(shù)稱為素?cái)?shù)（也稱為質(zhì)數(shù)），設(shè)x是正整數(shù)，用表示不超過x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明，當(dāng)x充分大時(shí)，，利用此公式求出不超過10000的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)約為（

）A．1086 B．1229 C．980 D．10605．古希臘數(shù)學(xué)家泰特托斯（Theaetetus，公元前417－公元前369年）詳細(xì)地討論了無(wú)理數(shù)的理論，他通過如圖來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)，，，…，則（

）.A． B． C． D．6．已知，，．則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知a，b，c滿足，且，則（

）A． B． C． D．10．下列各式中，值為的是（

）A． B． C． D．11．以下運(yùn)算中正確的有（

）A．若，則B．C．D．12．已知函數(shù)，有下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．的值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減 D．在上恰有8個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題）13．函數(shù)的定義域是．14．關(guān)于的不等式的解集為，則.15．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為______.16．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知.(1)求的值；(2)求的值.18．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1）求出函數(shù)的解析式（2）判斷在上的單調(diào)性并用定義法證明．19．已知是定義在上的偶函數(shù)，且時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式，并判斷其單調(diào)性（無(wú)需證明）；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若，，求的值．21．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為80米的正方形菜園，計(jì)劃在矩形ECFG區(qū)域種植蔬菜．E，F(xiàn)分別在BC，CD上，G在弧MN上，米，設(shè)矩形ECFG的面積為S（單位：平方米）(1)若，請(qǐng)寫出S（單位：平方米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最小值．22．已知函數(shù)，.（1）證明：為偶函數(shù)；（2）若函數(shù)的圖象與直線沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)，是否存在m，使最小值為0.若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】A【分析】先求，然后由交集運(yùn)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A2．【正確答案】A根據(jù)充分不必要條件的定義可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，成立；而時(shí)得（），故選：A．本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．3．【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可選擇.【詳解】對(duì)：容易知是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)：容易知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；對(duì)：容易知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，故正確；對(duì)：容易知是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：C.4．【正確答案】A【分析】由題中的定義，可知是計(jì)算，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意，可知.故選:A5．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩角和的正弦公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，可得，所以.故選：C.6．【正確答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷即可.【詳解】∵，∴，又，∴，∴．故選：B．7．【正確答案】A【分析】化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)求解即可.【詳解】由題意，即，即.故.故選：A8．【正確答案】A求得函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造奇函數(shù)利用單調(diào)性得解【詳解】由函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)得：，在R上單調(diào)遞增所以在R上單調(diào)遞增，令函數(shù)，則函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，故．故選:A構(gòu)造奇函數(shù)利用單調(diào)性是解題關(guān)鍵.9．【正確答案】ABD【分析】首先利用放縮法證明出，，從而可以判斷ABC，對(duì)于D則需要使用基本不等式.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，即，所以，故AB正確C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：ABD10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可判斷A；由二倍角的正弦公式可計(jì)算B；由二倍角的余弦公式可判斷C；由誘導(dǎo)公式可計(jì)算D.【詳解】對(duì)于A：，所以A正確對(duì)于B：，所以B正確對(duì)于C：，所以C不正確對(duì)于D：，所以D正確，故選：ABD.11．【正確答案】AC【分析】由指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式逐一判定即可．【詳解】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤，故選：AC．12．【正確答案】AC【分析】A項(xiàng)，根據(jù)已知函數(shù)即可得出函數(shù)的奇偶性；B項(xiàng)，化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求出函數(shù)的值域；C項(xiàng)，求出的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；D項(xiàng)，求出的解，即可求出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題意，故為偶函數(shù)，A正確;設(shè)，則，當(dāng)時(shí),取得最大值2,當(dāng)時(shí),取得最小值為,即的值域?yàn)?所以的值域?yàn)?，B錯(cuò)誤；在上的單調(diào)性與它在上的單調(diào)性剛好相反,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,且,而在時(shí)單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞減,又此時(shí),故函數(shù)在上單調(diào)遞增,于是得在單調(diào)遞減，C正確；令,得或,而當(dāng)時(shí),及恰有3個(gè)不等的實(shí)根,即在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn),結(jié)合奇偶性可知,即在區(qū)間上恰有6個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：AC.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分類討論的能力，邏輯思維的能力，具有很強(qiáng)的綜合性.13．【正確答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：，所以該函數(shù)的定義域?yàn)?，?4．【正確答案】/【分析】分析可知，、是關(guān)于的方程的兩根，利用韋達(dá)定理可得出的值.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，則，且、是關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，，解得，所以，.故答案為.15．【正確答案】【分析】由題意和偶函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，結(jié)合，分類討論當(dāng)、時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減所以在上為增函數(shù)，由，得，，當(dāng)時(shí)，，有，解得；當(dāng)時(shí)，，有，解得，綜上，不等式的解集為.故答案為.16．【正確答案】9【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，，作出這兩個(gè)函數(shù)的部分圖象，確定兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再結(jié)合性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】由，令，，顯然與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)，的圖象有6個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為，這6個(gè)點(diǎn)兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，有，則，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為9.故917．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和正切公式展開計(jì)算即可；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)式子，然后利用“1”的代換及弦化切求解即可.【詳解】（1）由題意，解得.（2）.18．【正確答案】（1）；（2）單調(diào)遞增，證明見解析.（1）設(shè)，代入點(diǎn)即可求出；（2）任取，計(jì)算化簡(jiǎn)并判斷正負(fù)，即可判斷.【詳解】（1）設(shè)，過點(diǎn)，，解得，；（2）單調(diào)遞增，證明如下：任取，，，，，在上單調(diào)遞增.思路點(diǎn)睛：利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）在定義域內(nèi)任取；（2）計(jì)算并化簡(jiǎn)整理；（3）判斷的正負(fù)；（4）得出結(jié)論，若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減.19．【正確答案】(1)函數(shù)在上的解析式為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2)【分析】(1)設(shè)，則，根據(jù)題意得出，然后利用函數(shù)為偶函數(shù)即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，求出，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，解之即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，又因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，則函數(shù)在上的解析式為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知：，所以不等式可化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)解析式，根據(jù)的對(duì)稱軸求出周期從而求出，進(jìn)而求得的解析式.（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，由，求得，，然后構(gòu)造方程組結(jié)合余弦的二倍角公式，即可求解.【詳解】（1）由題意知：，且可得的周期，得：，所以：，故.（2）由題意得：，因?yàn)椋?，所以：，得：，因?yàn)椋?，所以：，由，所以：，所以：?21．【正確答案】(1)(2)1400平方米【分析】（1）由題意用的三角函數(shù)表示出，的長(zhǎng)，即可求得答案；（2）將化簡(jiǎn)，利用三角代換，即令，即可將轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）延長(zhǎng)FG交AB于H，則米，米，則米，米，故．（2）由（1）得：．令，則．因?yàn)?，所以．所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．即當(dāng)時(shí)，矩形ECFG面積的最小值為1400平方米．22．【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.（1）證明函數(shù)的奇偶性，用定義證明；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象與直線沒有公共點(diǎn)，用分離參數(shù)法；（3）復(fù)合函