浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件-概率論

浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件—概率論本課程將帶你深入了解概率論的基礎(chǔ)知識(shí)，涵蓋隨機(jī)事件、概率分布、隨機(jī)變量等重要概念。概率的基本概念隨機(jī)現(xiàn)象在相同條件下，可能出現(xiàn)多種結(jié)果，而事先無(wú)法預(yù)知具體會(huì)發(fā)生哪種結(jié)果的現(xiàn)象。事件隨機(jī)現(xiàn)象中可能發(fā)生的任何結(jié)果。概率事件發(fā)生的可能性大小，用0到1之間的數(shù)值表示。樣本空間和概率1樣本空間所有可能結(jié)果的集合2事件樣本空間的子集3概率事件發(fā)生的可能性幾何概型和古典概型1古典概型所有事件的可能性相等。每個(gè)事件出現(xiàn)的概率取決于事件的數(shù)量除以總事件的數(shù)量。2幾何概型事件發(fā)生的概率取決于事件發(fā)生的區(qū)域與總事件發(fā)生的區(qū)域的比值。頻率與概率頻率概率在大量重復(fù)試驗(yàn)中，某事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值事件發(fā)生的可能性大小客觀事實(shí)理論推斷概率性質(zhì)非負(fù)性任何事件的概率都是非負(fù)的，即概率值大于或等于0。規(guī)范性樣本空間中所有事件的概率之和等于1?？杉有詫?duì)于互斥事件，它們的概率之和等于它們的并集的概率。互斥事件和互補(bǔ)事件互斥事件兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即它們沒(méi)有共同結(jié)果。例如，拋硬幣的結(jié)果是正面或反面，這兩個(gè)事件是互斥的?；パa(bǔ)事件兩個(gè)事件在同一個(gè)樣本空間中，且它們的并集是整個(gè)樣本空間，它們是互補(bǔ)事件。例如，拋硬幣的結(jié)果是正面或反面，這兩個(gè)事件是互補(bǔ)的。條件概率定義在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。公式P(A|B)=P(AB)/P(B)乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)兩個(gè)事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率乘以在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。P(AB)=P(B)P(A|B)兩個(gè)事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件B發(fā)生的概率乘以在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率。全概率公式1定義如果事件A1,A2,...,An構(gòu)成樣本空間Ω的一個(gè)劃分，即這些事件兩兩互斥且其并集為Ω，則對(duì)于任意事件B，有：2應(yīng)用全概率公式可以用來(lái)計(jì)算事件B的概率，即使我們不知道B在每個(gè)Ai中發(fā)生的概率，只要我們知道B在整個(gè)樣本空間Ω中發(fā)生的概率，以及每個(gè)Ai的概率。3意義全概率公式揭示了事件B的概率可以分解為B在每個(gè)事件Ai中發(fā)生的概率之和，加權(quán)系數(shù)為每個(gè)Ai的概率。貝葉斯公式1定義貝葉斯公式用于計(jì)算在給定新證據(jù)的情況下，事件發(fā)生的概率2公式P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)3應(yīng)用廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)分析、醫(yī)療診斷等領(lǐng)域隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量取值有限或可數(shù)的隨機(jī)變量，例如擲骰子結(jié)果。連續(xù)型隨機(jī)變量取值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)且可以是任何值的隨機(jī)變量，例如身高。離散型隨機(jī)變量及其分布1定義隨機(jī)變量取值是有限個(gè)或可數(shù)無(wú)限個(gè)值的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。2分布律離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率稱為分布律，用表格或公式表示。3常見(jiàn)分布伯努利分布、二項(xiàng)分布、泊松分布等。連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布定義如果隨機(jī)變量X的取值可以是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是概率密度函數(shù)f(x)的積分。概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f(x)用于描述隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率大小。正態(tài)分布正態(tài)分布，也稱為高斯分布，是最常見(jiàn)的概率分布之一。它在統(tǒng)計(jì)學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)和其他許多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。正態(tài)分布的特點(diǎn)是其鐘形曲線，它以平均值為中心，對(duì)稱地分布在平均值的兩側(cè)。正態(tài)分布的形狀由其平均值和標(biāo)準(zhǔn)差決定，標(biāo)準(zhǔn)差越大，曲線越寬。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)由以下公式給出：泊松分布泊松分布是一種離散概率分布，用于描述在一定時(shí)間或空間內(nèi)事件發(fā)生的概率。它適用于描述稀有事件的概率，例如特定時(shí)間段內(nèi)某電話交換機(jī)接到的電話次數(shù)，或某書(shū)頁(yè)上的印刷錯(cuò)誤次數(shù)。泊松分布的參數(shù)λ代表單位時(shí)間或空間內(nèi)事件發(fā)生的平均次數(shù)。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是概率論中的一種重要分布，描述了在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。例如，拋硬幣n次，正面朝上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布。幾何分布幾何分布描述的是在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，首次獲得成功的試驗(yàn)次數(shù)的概率分布。在每次試驗(yàn)中，成功的概率為p，失敗的概率為1-p。例如，在一個(gè)拋硬幣的實(shí)驗(yàn)中，一直拋到正面朝上為止，所需的拋擲次數(shù)服從幾何分布。指數(shù)分布定義指數(shù)分布是一種連續(xù)概率分布，用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔。公式概率密度函數(shù)為f(x)=λe^(-λx)，其中λ是速率參數(shù)。應(yīng)用廣泛用于可靠性分析、排隊(duì)論和生存分析等領(lǐng)域。隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y=g(X)是X的一個(gè)函數(shù)，則Y也是一個(gè)隨機(jī)變量，稱Y為X的函數(shù)。分布求解求解Y的分布可以利用X的分布和函數(shù)g(X)的關(guān)系。多維隨機(jī)變量及其分布聯(lián)合分布描述多個(gè)隨機(jī)變量取值的概率關(guān)系邊緣分布單個(gè)隨機(jī)變量的概率分布條件分布已知其他變量取值情況下，某個(gè)隨機(jī)變量的概率分布邊緣分布和條件分布1邊緣分布邊緣分布是多維隨機(jī)變量中單個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。2條件分布條件分布是在已知其他隨機(jī)變量的值的情況下，一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。3相互獨(dú)立如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布等于其邊緣分布的乘積，則它們是相互獨(dú)立的。隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望隨機(jī)變量取值的平均值方差隨機(jī)變量取值偏離期望值的程度協(xié)方差兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性相關(guān)的程度期望與方差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)2協(xié)方差度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向。1相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的標(biāo)準(zhǔn)化形式，取值范圍為-1到1，用于衡量線性關(guān)系的強(qiáng)度。大數(shù)定律定律大數(shù)定律表明，隨著樣本量的增加，樣本均值會(huì)越來(lái)越接近總體均值。它揭示了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義。應(yīng)用大數(shù)定律被廣泛應(yīng)用于保險(xiǎn)、金融、統(tǒng)計(jì)推斷等領(lǐng)域，例如，保險(xiǎn)公司可以根據(jù)大數(shù)定律來(lái)估計(jì)保費(fèi)，金融機(jī)構(gòu)可以根據(jù)大數(shù)定律來(lái)評(píng)估投資風(fēng)險(xiǎn)。類型大數(shù)定律有多種形式，包括弱大數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律。弱大數(shù)定律表明樣本均值依概率收斂于總體均值，強(qiáng)大數(shù)定律表明樣本均值幾乎必然收斂于總體均值。中心極限定理統(tǒng)計(jì)學(xué)基本定理中心極限定理是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要的定理之一，它說(shuō)明在一定條件下，大量獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的均值近似服從正態(tài)分布。應(yīng)用廣泛中心極限定理在統(tǒng)計(jì)推斷、假設(shè)檢驗(yàn)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如可以使用它來(lái)估計(jì)樣本均值的置信區(qū)間。參數(shù)估計(jì)1點(diǎn)估計(jì)使用樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的值，例如樣本均值估計(jì)總體均值。2區(qū)間估計(jì)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建一個(gè)區(qū)間，以一定的置信度包含總體參數(shù)的真實(shí)值。3估計(jì)量的性質(zhì)評(píng)估估計(jì)量的優(yōu)劣，包括無(wú)偏性、有效性和一致性等指標(biāo)。假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)假設(shè)通過(guò)樣本數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)對(duì)總體參數(shù)的假設(shè)。顯著性檢驗(yàn)確定樣本結(jié)果是否支持假設(shè)，并評(píng)估結(jié)果的顯著性。類型雙邊檢驗(yàn)單邊檢驗(yàn)回歸分析預(yù)測(cè)變量回歸分析用以預(yù)測(cè)響應(yīng)變量的值。線性關(guān)系該分析假設(shè)響應(yīng)變量和預(yù)測(cè)變量之間存在線性關(guān)系。模型擬合回歸模型旨在根據(jù)預(yù)測(cè)變量的值，估計(jì)響應(yīng)變量的最佳擬合