中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第13講 相似三角形中的“母子(雙垂直)”型（原卷版）

第13講相似三角形中的“母子(雙垂直)”型【應(yīng)對方法與策略】模型展示：如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.【多題一解】一、單選題1．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，，點(diǎn)，分別在，上，，．把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)落在線段上．若點(diǎn)在的平分線上，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）如圖，在等邊中，，點(diǎn)是以為圓心，半徑為3的圓上一動點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．24二、填空題3．（2021·河北邢臺·?？级＃┤鐖D1，在中，，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)的最短距離為______．如圖2，連接，作，使得，交于，則當(dāng)時，的長為______．4．（2021·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=8，四邊形ECGF為菱形，點(diǎn)G在AD上，點(diǎn)B在EF上，若菱形的一條對角線CF=，則菱形ECGF的另一條對角線EG的長度是_____．5．（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長為_______．三、解答題6．（2021秋·浙江杭州·九年級杭州外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）連接，若．求證：．7．（2022秋·安徽合肥·九年級?？计谥校┲?，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，且有，過F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．8．（2020·浙江·九年級期末）如圖1，四邊形內(nèi)接于是的直徑，．延長交的延長線于點(diǎn)．（1）證明：．（2）當(dāng)時，①求的長度．②如圖2，作平分交于點(diǎn)，連結(jié)，求的面積．9．（2021·陜西西安·陜西師大附中?？级＃┤鐖D，為的直徑，為延長線上一點(diǎn)，與相切與點(diǎn)，，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長．10．（2020·河南·校聯(lián)考二模）如圖，在中，對角線，延長至點(diǎn)，使得，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)．以為直徑作分別交，于點(diǎn)，，連接，．（1）證明：．（2）若的直徑為3．填空：①當(dāng)______時，四邊形為正方形；②當(dāng)______時，為等邊三角形．11．（2020·安徽·校聯(lián)考三模）在中，，平分．（1）如圖1，若，，求的長．（2）如圖2，過分別作交于，于．①求證：；②求的值．12．（2020·湖北武漢·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的⊙O交于點(diǎn)，與過點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為．（1）求證：平分；（2）若，求的值．13．（2021·河南商丘·統(tǒng)考二模）如圖，在中，的平分線AD交BC于點(diǎn)E，交的外接圓于點(diǎn)D．過點(diǎn)D作的切線DF，連接BD．（1）求證：．（2）若，．①當(dāng)時，求線段的長為_____________．②當(dāng)四邊形OCDB為平行四邊形時，的半徑等于_____________．14．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．15．（2020·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)A在線段EB上，且EA＝AB，以AB直徑作⊙O，過點(diǎn)E作射線EM交⊙O于D、C兩點(diǎn)，且．過點(diǎn)B作BF⊥EM，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：CD?CB＝2CF?EA；（2）求tan∠CBF的值．16．（2020·湖北荊門·中考真題）如圖，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求直線的解析式及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P為第四象限且在對稱軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交于點(diǎn)D，求的最大值，并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線向右平移得到拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，求拋物線的解析式．17．（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，連接DE，EF．（1）取AD中點(diǎn)G，連接EF，EG．DE與FG交于點(diǎn)H．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，求證：△EGH∽△DBH．②如圖2，當(dāng)∠EDF＝2∠GED時，求線段EF的長．（2）連接AF，如圖3，當(dāng)∠DEF＝∠BAF時，求BF的長．18．（2020·山東濰坊·校考一模）已知：正方形，等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)處，使三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）在（1）的條件下，若，求的度數(shù)；（3）若，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連結(jié)，與交于點(diǎn)，當(dāng)三角板的邊與邊重合時（如圖2），若，求的長．19．（2020·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，OA＝OB，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0），OA：OC＝3：1，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，頂點(diǎn)為D．（1）求a、b、c的值；（2）若直線y＝x+n與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F．①當(dāng)n＝﹣1時，求∠BAF﹣∠BAD的值；②若直線EF上有點(diǎn)H，使∠AHC＝90°，求n的取值范圍．【一題多解】1．（2023春·湖南衡陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，動點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動，同時動點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)．沿CB向點(diǎn)B移動，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動ts（0＜t＜5）后，△CQP的面積為Scm2（1）在P、Q兩點(diǎn)移動的過程中，△CQP的面積能否等于3.6cm2？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；（2）當(dāng)運(yùn)動時間為多少秒時，△CPQ與△CAB相似．2．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖1，在菱形ABCD中，AC是對角線，AB＝AC＝6，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的動點(diǎn)，且滿足AE＝BF，連接AF與CE相交于點(diǎn)G．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交CE于點(diǎn)H，若CF＝4，，求GH的值．（3）如圖3，點(diǎn)O為線段CE中點(diǎn)，將線段EO繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EM，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時，請直接寫出AE的長．3．（2022秋·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動．(1)求的長．(2)當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時，求的值．(3)如圖2，將本題改為點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在上向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，其速度是每秒2個單位長度，其它條件不變，求當(dāng)為何值時，為等腰三角形．4．（2021·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，延長的直徑，交直線于點(diǎn)，且，．射線自出發(fā)繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為；同時，線段從出發(fā)繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，直線與射線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，其中，且．（1）當(dāng)時，的長為__________；（2）當(dāng)時，求旋轉(zhuǎn)角，并證明射線是的切線；（3）當(dāng)時，求線段的長度；（4）直接寫出線段的最大值．5．（2020·浙江臺州·統(tǒng)考一模）已知在?ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是邊BC上的動點(diǎn)，以AE為一邊