中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第15講 解直角三角形中的“背靠背”模型（原卷版）

第15講解直角三角形中的“背靠背”模型【應(yīng)對(duì)方法與策略】【模型展示】【多題一解】一、單選題1．（2020·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，從一熱氣球的探測(cè)器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30°，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角為60°，若熱氣球與高樓的水平距離為30m，則這棟高樓高度是（）A．60m B．40m C．30m D．60m二、填空題2．（2022·廣西欽州·?？级＃┤鐖D，河寬CD為100米，在C處測(cè)得對(duì)岸A點(diǎn)在C點(diǎn)南偏西30°方向、對(duì)岸B點(diǎn)在C點(diǎn)南偏東45°方向，則A、B兩點(diǎn)間的距離是_____米．（結(jié)果保留根號(hào)）3．（2020·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部C的仰角是30°，測(cè)得底部B的俯角是60°，此時(shí)無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為_(kāi)_________米（結(jié)果保留根號(hào)）．4．（2020·湖北咸寧·中考真題）如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60°方向上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是________．（結(jié)果保留一位小數(shù)，）5．（2020·四川樂(lè)山·中考真題）如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯的傾斜角為，在自動(dòng)扶梯下方地面處測(cè)得扶梯頂端的仰角為，、之間的距離為4．則自動(dòng)扶梯的垂直高度=_________．（結(jié)果保留根號(hào)）三、解答題6．（2021·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，邊角總滿足關(guān)系式：．（1）如圖1，若，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個(gè)銳角三角形水池中建一座小型景觀橋（如圖2所示），若米，米，，求景觀橋的長(zhǎng)度．7．（2020·湖北黃石·中考真題）如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房的樓頂，測(cè)量對(duì)面的乙棟樓房的高度，已知甲棟樓房與乙棟樓房的水平距離米，小麗在甲棟樓房頂部B點(diǎn)，測(cè)得乙棟樓房頂部D點(diǎn)的仰角是，底部C點(diǎn)的俯角是，求乙棟樓房的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．8．（2021·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，我市計(jì)劃在某工業(yè)園區(qū)內(nèi)，為相距4千米的彩印公司、包裝公司修一條筆直的公路．點(diǎn)P表示住宅小區(qū)，在彩印公司北偏東方向與包裝公司北偏西方向的交點(diǎn)，住宅小區(qū)在以P為圓心，0.8千米為半徑的范圍內(nèi)，問(wèn)這條公路是否會(huì)穿越這個(gè)住宅小區(qū)？（參考數(shù)據(jù)：，）9．（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過(guò)程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測(cè)得和的度數(shù)（在同一條直線上）．?dāng)?shù)據(jù)收集：通過(guò)實(shí)地測(cè)量：地面上兩點(diǎn)的距離為．問(wèn)題解決：求寶塔的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程．10．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在港口A的南偏東37°方向的海面上，有一巡邏艇B，A、B相距20海里，這時(shí)在巡邏艇的正北方向及港口A的北偏東67°方向上，有一漁船C發(fā)生故障．得知這一情況后，巡邏艇以25海里/小時(shí)的速度前往救援，問(wèn)巡邏艇能否在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)漁船C處？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）11．（2022·甘肅·統(tǒng)考一模）熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為，看這棟高樓底部的俯角為，熱氣球與高樓的水平距離為66m，這棟高樓有多高？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）12．（2022·湖北恩施·二模）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)測(cè)量教學(xué)樓的高度，他們先在點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得樓頂M的仰角為30°，再沿DF方向前行40米到達(dá)點(diǎn)E處，在點(diǎn)E處測(cè)得樓項(xiàng)M的仰角為45°，已知測(cè)角儀的高AD為1.5米．請(qǐng)根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)求此樓MF的高．（結(jié)果精到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.449）13．（2021·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考二模）一滑板運(yùn)動(dòng)場(chǎng)斜坡上的點(diǎn)處豎直立著一個(gè)旗桿，旗桿在其點(diǎn)處折斷，旗桿頂部落在斜坡上的點(diǎn)處，米，折斷部分與斜坡的夾角為75°，斜坡與水平地面的夾角為30°，求旗桿的高度．（,，精確到1米）．14．（2020·廣東深圳·校考二模）一艘輪船向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔P在A的北偏東60°方向，航行40海里到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在B的北偏東15°方向上．（1）求燈塔P到輪船航線的距離PD是多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）當(dāng)輪船從B處繼續(xù)向東航行時(shí)，一艘快艇從燈塔P處同時(shí)前往D處，盡管快艇速度是輪船速度的2倍，但快艇還是比輪船晚15分鐘到達(dá)D處，求輪船每小時(shí)航行多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）15．（2020·湖南永州·中考真題）一艘漁船從位于A海島北偏東60°方向，距A海島60海里的B處出發(fā)，以每小時(shí)30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海島周?chē)?0海里水域內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：）（1）這艘漁船在航行過(guò)程中是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）漁船航行3小時(shí)后到達(dá)C處，求A，C之間的距離．16．（2020·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）從A處看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，A處與樓的水平距離為，若，求這棟樓高．17．（2020·湖北恩施·中考真題）如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在處測(cè)得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時(shí)后輪船到達(dá)處，在處測(cè)得小島位于其北偏東方向．求此時(shí)船與小島的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．18．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，測(cè)得，，千米，求、兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到1千米）．19．（2020·山東濰坊·中考真題）某校“綜合與實(shí)踐”小組采用無(wú)人機(jī)輔助的方法測(cè)量一座橋的長(zhǎng)度．如圖，橋是水平并且筆直的，測(cè)量過(guò)程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋的上方120米的點(diǎn)C處懸停，此時(shí)測(cè)得橋兩端A，B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°，求橋的長(zhǎng)度．20．（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）圖①是甘肅省博物館的鎮(zhèn)館之寶——銅奔馬，又稱(chēng)“馬踏飛燕”，于1969年10月出土于武威市的雷臺(tái)漢墓，1983年10月被國(guó)家旅游局確定為中國(guó)旅游標(biāo)志，在很多旅游城市的廣場(chǎng)上都有“馬踏飛燕”雕塑，某學(xué)習(xí)小組把測(cè)量本城市廣場(chǎng)的“馬踏飛燕”雕塑（圖②）最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動(dòng)，同學(xué)們制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表：課題測(cè)量“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度測(cè)量示意圖如圖，雕塑的最高點(diǎn)到地面的高度為，在測(cè)點(diǎn)用儀器測(cè)得點(diǎn)的仰角為，前進(jìn)一段距離到達(dá)測(cè)點(diǎn)，再用該儀器測(cè)得點(diǎn)的仰角為，且點(diǎn)，，，，，均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)，，在同一條直線上．測(cè)量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長(zhǎng)度儀器（）的高度5米米請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）21．（2020·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）共抓長(zhǎng)江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽(yáng)，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖，兩地向地新建，兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測(cè)得地在地北偏東方向上，在地北偏西方向上，的距離為，求新建管道的總長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到，，，，）22．（2020·四川成都·統(tǒng)考中考真題）成都“339”電視塔作為成都市地標(biāo)性建筑之一，現(xiàn)已成為外地游客到成都旅游打卡的網(wǎng)紅地．如圖，為測(cè)量電視塔觀景臺(tái)處的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在電視塔附近一建筑物樓頂處測(cè)得塔處的仰角為45°，塔底部處的俯角為22°．已知建筑物的高約為61米，請(qǐng)計(jì)算觀景臺(tái)的高的值．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）23．（2021·四川阿壩·統(tǒng)考中考真題）熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看大樓BC頂部C的仰角為30°，看大樓底部B的俯角為45°，熱氣球與該樓的水平距離AD為60米，求大樓BC的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）24．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題1：如圖①，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求證：．問(wèn)題2：如圖②，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，．求的值．25．（2020·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)實(shí)踐與綜合課上，某興趣小組同學(xué)用航拍無(wú)人機(jī)對(duì)某居民小區(qū)的1、2號(hào)樓進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐，如圖為實(shí)踐時(shí)繪制的截面圖．無(wú)人機(jī)從地面點(diǎn)B垂直起飛到達(dá)點(diǎn)A處，測(cè)得1號(hào)樓頂部E的俯角為67°，測(cè)得2號(hào)樓頂部F的俯角為40°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)的高度為60米，已知1號(hào)樓的高度為20米，且EC和FD分別垂直地面于點(diǎn)C和D，點(diǎn)B為CD的中點(diǎn)，求2號(hào)樓的高度．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）26．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）從2019年底以來(lái)，新冠疫情一直困擾著我們的日常生活，今年為進(jìn)一步加強(qiáng)疫情防控工作，某公司決定安裝紅外線體溫檢測(cè)儀，這種設(shè)備的原理是采用非接觸式測(cè)溫法，只要用紅外體溫測(cè)試儀的鏡頭對(duì)準(zhǔn)被測(cè)對(duì)象進(jìn)行掃描，其體溫就可立刻在顯示屏上顯示出來(lái)，從而有效地避免了其他常規(guī)測(cè)溫法所可能造成的交叉感染，測(cè)溫區(qū)域示意圖如圖所示，已知最大探測(cè)角∠PAO＝75°，最小探測(cè)角∠PBO＝30°．（參考數(shù)據(jù)：＝1.414，＝1.732，＝2.236）(1)若該設(shè)備安裝在離水平地面距離為2.2m的P處，即OP＝2.2m，請(qǐng)求出圖中OB的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到0.1m）(2)若該公司要求測(cè)溫區(qū)域AB的長(zhǎng)度為4m，請(qǐng)求出該設(shè)備的安裝高度OP的高度．（結(jié)果精確到0.1m）27．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考一模）【問(wèn)題背景】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上且滿足∠BAD＝∠ACB，求證：BA2＝BD?BC；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上且滿足∠BAD＝∠ACB，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在AB的延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)ED交CG于點(diǎn)F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的長(zhǎng)度；【拓展創(chuàng)新】如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上（AB≠AD）且滿足∠ACB＝2∠BAD，D