高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理2課件新人教版A

1.1.1正弦定理(二)第一章§1.1正弦定理和余弦定理1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問(wèn)題.2.能根據(jù)條件，判斷三角形解的個(gè)數(shù).3.能利用正弦定理、三角變換解決較為復(fù)雜的三角形問(wèn)題．

學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一正弦定理的常見(jiàn)變形1.sinA∶sin

B∶sin

C＝

；3.a＝

，b＝

，c＝

；4.sinA＝____，sinB＝_____，sinC＝____.a∶b∶c2RsinA2RsinB2RsinC2R思考1

知識(shí)點(diǎn)二判斷三角形解的個(gè)數(shù)在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判斷三角形解的個(gè)數(shù).答案故對(duì)應(yīng)的鈍角B有90°<B<120°，也滿(mǎn)足A＋B<180°，故三角形有兩解.已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，三角形解的個(gè)數(shù)并不一定唯一.例如在△ABC中，已知a，b及A的值.由正弦定理

在由sinB求B時(shí)，如果a>b，則有A>B，所以B為銳角，此時(shí)B的值唯一；如果a<b，則有A<B，所以B為銳角或鈍角，此時(shí)B的值有兩個(gè).梳理如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別相等，則這兩個(gè)三角形全等.即三角形的兩邊及其夾角確定時(shí)，三角形的六個(gè)元素即可完全確定，故不必考慮解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題.思考2

答案已知三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個(gè)數(shù)？解三角形4個(gè)基本類(lèi)型：(1)已知三邊；(2)已知兩邊及其夾角；(3)已知兩邊及其一邊對(duì)角；(4)已知一邊兩角.其中只有類(lèi)型(3)解的個(gè)數(shù)不確定.梳理知識(shí)點(diǎn)三正弦定理在解決較為復(fù)雜的三角形問(wèn)題中的作用可借助正弦定理把邊化成角：2RsinAcos

B＝2RsinBcos

A，移項(xiàng)后就是一個(gè)三角恒等變換公式sinAcos

B－cos

Asin

B＝0.思考1

答案在△ABC中，已知acos

B＝bcos

A.你能把其中的邊a，b化為用角表示嗎(打算怎么用上述條件)?梳理一個(gè)公式就是一座橋梁，可以連接等號(hào)兩端.正弦定理的本質(zhì)就是給出了三角形的邊與對(duì)角的正弦之間的聯(lián)系.所以正弦定理主要功能就是把邊化為對(duì)角的正弦或者反過(guò)來(lái).簡(jiǎn)稱(chēng)邊角互化.盡管正弦定理給出了三角形的邊與對(duì)角的正弦之間的聯(lián)系，但畢竟不是邊等于對(duì)角正弦，這里還涉及到外接圓半徑.故使用時(shí)要么能消掉外接圓半徑(如思考1)，要么已知外接圓半徑.思考2

什么時(shí)候適合用正弦定理進(jìn)行邊角互化？答案題型探究例1

在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形.(角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm)類(lèi)型一判斷三角形解的個(gè)數(shù)解答因?yàn)?°<B<180°，且b>a，B>A，(1)當(dāng)B≈64°時(shí)，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋64°)＝76°，

(2)當(dāng)B≈116°時(shí)，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋116°)＝24°，綜上，B≈64°，C≈76°，c≈30cm或B≈116°，C≈24°，c≈13cm.引申探究例1中b＝28cm，A＝40°不變，當(dāng)邊a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，△ABC有兩解(范圍中保留sin40°)?解答如圖，∠A＝40°，CD⊥AD.AC＝28cm，以C為圓心，a為半徑畫(huà)圓弧，當(dāng)CD＜a＜AC，即bsin

A＜a＜b，28sin40°＜a＜28時(shí)，△ABC有兩解(△AB1C，△AB2C均滿(mǎn)足題設(shè)).已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時(shí)，要根據(jù)已知兩邊的大小情況來(lái)確定該角有一個(gè)值還是兩個(gè)值.或者根據(jù)該正弦值(不等于1時(shí))在0°～180°范圍內(nèi)求角，一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角，只要不與三角形內(nèi)角和定理矛盾，就是所求.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

已知一三角形中a＝

b＝6，A＝30°，判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形.解答

又因?yàn)閎sin

A＝6sin30°＝3，bsin

A＜a＜b，所以本題有解，且有兩解，由正弦定理，得

因?yàn)閎>a，B>A，B∈(0°，180°)，所以B＝60°或120°.類(lèi)型二利用正弦定理求最值或取值范圍例2

在銳角△ABC中，角A，B，C分別對(duì)應(yīng)邊a，b，c，a＝2bsinA，求cos

A＋sinC的取值范圍.解答∵a＝2bsinA，∴由正弦定理，得sinA＝2sinBsin

A，由銳角△ABC知，反思與感悟解決三角形中的取值范圍或最值問(wèn)題：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素間的關(guān)系或求出某些元素.(2)將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)(三角函數(shù))，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練2

在△ABC中，若C＝2B，求

的取值范圍.解答因?yàn)锳＋B＋C＝π，C＝2B，例3已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a＋c＝2b,2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判斷△ABC的形狀.解答類(lèi)型三正弦定理與三角變換的綜合∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.∵a＋c＝2b.∴△ABC是等邊三角形.反思與感悟借助正弦定理可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后，常利用三角變換公式進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，確定角的大小或關(guān)系，繼而判斷三角形的形狀、證明三角恒等式.跟蹤訓(xùn)練3

已知方程x2－(bcos

A)x＋acos

B＝0的兩根之積等于兩根之和，其中a、b為△ABC的兩邊，A、B為兩內(nèi)角，試判斷這個(gè)三角形的形狀.解答設(shè)方程的兩根為x1、x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得

∴bcos

A＝acos

B.由正弦定理，得sinBcos

A＝sinAcos

B，∴sinAcos

B－cos

Asin

B＝0，sin(A－B)＝0.∵A、B為△ABC的內(nèi)角，∴0<A<π，0<B<π，－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B.故△ABC為等腰三角形.當(dāng)堂訓(xùn)練1.在△ABC中，AC＝

BC＝2，B＝60°，則角C的值為A.45° B.30° C.75° D.90°答案解析√123∴A＝45°，∴C＝75°.1232.在△ABC中，若

則△ABC是A.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形答案解析√∴tanA＝tanB＝tanC，又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，故三角形為等邊三角形.1233.在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求

的值.

解答規(guī)律與方法1.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩個(gè)角，這時(shí)三角