人教版八年級下冊數(shù)學-第19章-一次函數(shù)-綜合(壓軸題)示范

人教版八年級下冊數(shù)學第19章一次函數(shù)綜合（壓軸題）示范1．如圖，直線l1的解析式為y=12x+1，且l1與x軸交于點D，直線l2經(jīng)過定點A、B，直線l1與l（1）求直線的解析式；（2）求△ADC的面積；（3）在x軸上是否存在一點E，使△BCE的周長最短？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可直接求得l2的函數(shù)解析式；（2）首先解兩條之間的解析式組成的方程組求得C的坐標，然后利用三角形的面積公式即可求解；（3）求得C關于y軸的對稱點，然后求得經(jīng)過這個點和B點的直線解析式，直線與x軸的交點就是E．【解析】（1）設l2的解析式是y＝kx+b，根據(jù)題意得：4k+b（2）在y=12x+1中令y＝0，即y解方程組y=-x+4y=12x+1（3）存在，理由：設C（2，2）關于y軸的對稱點C′（2，﹣2），連接BC′交x軸于點E，則點E為所求點，△BCE的周長＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′為最小，設經(jīng)過（2，﹣2）和B的函數(shù)解析式是y＝mx+n，則2m+n則直線的解析式是y=-73x+83【小結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及對稱的性質(zhì)，正確確定E的位置是本題的關鍵．2、矩形ABCD在如圖所示的平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，3），BC＝2AB，直線經(jīng)過點B，交AD邊于點P1，此時直線l的函數(shù)表達式是y＝2x＋1．（1）求BC，AP1的長；（2）沿y軸負方向平移直線l，分別交AD，BC邊于點P，E．①當四邊形BEPP1是菱形時，求平移的距離；②設AP＝m，當直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3:5時，求m的值．解：（1）∵直線y＝2x＋1經(jīng)過y軸上的B點，∴B（0，1），又∵A的坐標為（0，3）；∴AB=2;BC=2AB=4；P1（1，3）；AP1=1；①當四邊形BEPP1是菱形時，BP1=BE=；∴E（，1）；設平移之后的直線解析式為：y＝2x＋b，將點E代入；b=1-2；與y軸的交點B’（0，1-2），∴沿y軸負方向平移距離為2；②∵AP=m；AP1=1；PP1=BE=m-1；而S梯形ABEP=S矩形ABCD或S梯形ABEP=S矩形ABCD；∴；m=2或3.3、如圖，一次函數(shù)y1=54x+n與x軸交于點B，一次函數(shù)y2=-（1）則點B的坐標為，點C的坐標為；（2）在x軸上有一點P（t，0），且t＞12（3）在（2）的條件下，在y軸的右側(cè)，以CP為腰作等腰直角△CPM，直接寫出滿足條件的點M的坐標．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，分別令y＝0和x＝0，可得B、C點坐標；（2）根據(jù)面積的和差，可得關于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）分情況討論，注意是在y軸的右側(cè)，有三個符合條件的點M，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得M的坐標．【解析】（1）將D（1，-74）代入y即y=54x﹣3，當y＝0時，54x﹣3＝0．解得x=將（1，-74）代入y=-（2）如圖1，S△BDP=12（t-125）×|當y＝0時，-34x﹣1＝0，解得x=-S△CDP＝S△DPE﹣S△CPE=12（t+43）×7由△BDP和△CDP的面積相等，得：78（3）以CP為腰作等腰直角△CPM，有以下兩種情況：①如圖2，當以點C為直角頂點，CP為腰時，點M1在y軸的左側(cè)，不符合題意，過M2作M2A⊥y軸于A，∵∠PCM2＝∠PCO+∠ACM2＝∠PCO+∠OPC＝90°，∴∠ACM2＝∠OPC，∵∠POC＝∠CAM2，PC＝CM2，∴△POC≌△CAM2（AAS），∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM2＝1，∴M2（1，﹣6.2）；②如圖3，當以點P為直角頂點，CP為腰時，過M4作M4E⊥x軸于E，同理得△COP≌△PEM4，∴OC＝EP＝1，OP＝M4E＝5.2，∴M4（6.2，﹣5.2），同理得M3（4.2，5.2）；綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．【小結(jié)】本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用面積的和差得出關于t的方程是解題關鍵；利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出對應邊相等是解題關鍵．4、如圖，已知直線y＝2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點，點C的坐標為（﹣3，1）．（1）直接寫出點A的坐標，點B的坐標．（2）求證△ABC是等腰直角三角形．（3）若直線AC交x軸于點M，點P（-5【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．（2）作CD⊥x軸于點D，證明△CDB≌△BOA（SAS）即可解決問題．（3）求出點P的坐標，利用面積法求出BN的長即可解決問題．【解答】（1）對于直線y＝2x+2，令x＝0，得到y(tǒng)＝2，令y＝0，得到x＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0）．（2）證明：作CD⊥x軸于點D，由題意可得CD＝1，OD＝3，OB＝1，OA＝2，∴CD＝OB＝1，BD＝OA＝2，∵∠CDB＝∠AOB＝90?，∴△CDB≌△BOA（SAS），∴BC＝BA，∠CBD＝∠BAO，∵∠ABO+∠BAO＝90?，∴∠ABO+∠CBD＝90?，即∠ABC＝90?，∴△ABC是等腰直角三角形．（3）∵P（-52，k）在直線BC：y=-∵直線AC：y=1∵S△BCM=∴BN=103，∴ON＝BN+OB=103+【小結(jié)】本題考查屬于一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．5、如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx+8分別交x軸，y軸于A、B兩點，已知A點坐標（6，0），點C在直線AB上，橫坐標為3，點D是x軸正半軸上的一個動點，連結(jié)CD，以CD為直角邊在右側(cè)構(gòu)造一個等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直線AB的解析式以及C點坐標；（2）設點D的橫坐標為m，試用含m的代數(shù)式表示點E的坐標；（3）如圖2，連結(jié)OC，OE，請直接寫出使得△OCE周長最小時，點E的坐標．【分析】（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k=-（2）證明△CDF≌△DEG（AAS），則CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，OG＝4+m，則E（4+m，m﹣3）；（3）過點O作直線l的對稱點O′，連接CO′交直線l于點E′，則點E′為所求點，即可求解．【解析】（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k=-43把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x軸于點F，EG⊥x軸于點G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）點E（4+m，m﹣3），則點E在直線l：y＝x﹣7上，設：直線l交y軸于點H（0，﹣7），過點O作直線l的對稱點O′，∵直線l的傾斜角為45°，則HO′∥x軸，則點O′（7，﹣7），連接CO′交直線l于點E′，則點E′為所求點，OC是常數(shù)，△OCE周長＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′為最小，由點C、O′的坐標得，直線CO′的表達式為：y=聯(lián)立y=x-7y=-11【小結(jié)】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、點的對稱性等，綜合性很強，難度較大．6．如圖①，直線y＝x＋1交x軸于點A，交y軸于點C，OB＝30A，M在直線AC上，AC＝CM．（1）求直線BM的解析式；（2）如圖①，點N在MB的延長線上，BN＝AC，連CN交x軸于點P，求點P的坐標；（3）如圖②，連接OM，在直線BM上是否存在點K，使得∠MOK＝45°，若存在，求點K的坐標，若不存在，說明理由．解：（1）利用A(-1,0)；C（0,1）；AC=AM;∴M（1,2）；B（3,0）；∴BM：y＝-x＋3．（2）過C作CS∥MN交x軸與S點，可證△PCS≌△PNB，可證P為BS的中點，可證OA=OS=1;則BS=2；則P（2,0）。（3）以M為直角頂點，OM為直角邊作等腰直角三角形MOT，OT與BM交與K點；連BT，則可證△MAO≌△MBT；則BT=AO，證BT⊥x軸，則T點為(3,1);則OT的解析式：，聯(lián)立與；求得K（）。7．已知直線AB分別交x軸，y軸于A（4，0），B兩點，C（－4，a）為直線y＝－x與AB的公共點．（1）求點B的坐標；（2）已知動點M在直線y＝x＋6上，是否存在點M使得S△OMB＝S△OMA？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；（3）已知E（0，8），P是x軸正半軸上動點，Q是y軸正半軸上的動點，Q在點E上方，OP＝EQ，QH是∠OQP的角平分線交直線CO于H，求OE、PQ、OH之間的數(shù)量關系．解：（1）∵點C（-4,a）為直線y＝-x上一點；a=4；點C（-4,4）；設直線AB為y=kx+b；將A,C代入得：AB解析式為：；∴點B（0,2）。（2）設點M為（m，m+6）；∵點A（4,0），點B（0,2）；∴OA=4；OB=2,xM=m,yM=m+6;∵S△OMB＝S△OMA∴OA.yM=OA.xM；∴2（m+6）=m或2（m+6）=-m；m=-12或-4；∴存在點M（-12，-6）（-4,2）使得S△OMB＝S△OMA在y軸上截取QK=QP，∵QH平分∠OQP；∴△KQH≌△PQH；∴HK=HP；作HM⊥y軸與M；NH⊥y軸與N點，∵H為y＝-x上的一點，∴ON=OM，HN=HM；且OH=ON=OM，∴△HMK≌△HNP；∴KM=PN;OP+OK=OP+(OM-KM)=OP+OM-NP=OM+ON=OH.∵OP=EQ，∴PQ=KQ=OE+EQ+EQ+OK=OE+OP+OK=OE+OH,即PQ=OE+OH8.如圖1，A、B分別在x，y軸上，OA＝a，OB＝b，且（a－2）2＋b2－4b＝－4．（1）求△ABO的面積；（2）直線y＝x＋交y軸于F，OD⊥AF，交AB于D，求點D的坐標；（3）如圖2，EF在y軸上，BE＝OF，OM⊥AF交AB于點M，