高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(5)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（5）1.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線交于點，，，底面，分別為側(cè)棱的中點，點在上且．（1）求證：四點共面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．2.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）過原點作圖象的切線，求直線的方程；（2）若，使成立，求的最小值.3.已知橢圓（），四點，，，中恰有三點在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C上是否存在異于的兩點M，N使得直線與的斜率之和與直線MN的斜率（不為零）的2倍互為相反數(shù)？若存在，請判斷直線MN是否過定點；若不存在，請說明理由．4.2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運會.為了普及奧運知識，M大學(xué)舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽（1）初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題，記小王在初賽中答對題目個數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；（2）大學(xué)為鼓勵大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，對進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎勵.獎勵規(guī)則如下：已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元.假定每次抽獎中獎的概率均為，且每次是否中獎相互獨立.（i）記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為，求的極大值；（ii）大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，試求此時的取值范圍.5.對于數(shù)列，若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱為數(shù)列.（1）若的前項和，試判斷是否是數(shù)列，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列是首項為、公差為等差數(shù)列，若該數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍；（3）設(shè)無窮數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，有窮數(shù)列，是從中取出部分項按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項和分別為，，求是數(shù)列時與所滿足的條件，并證明命題“若且，則不是數(shù)列”.

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（5）15.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對角線交于點，，，底面，分別為側(cè)棱的中點，點在上且．（1）求證：四點共面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）易知，由線面垂直的性質(zhì)可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明，即可證明；（2）由（1）求出的坐標(biāo)，利用空間向量法求解線面角即可.【小問1詳解】因為平面是菱形，所以，由平面，平面，得，所以兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，由，得，所以，則，所以共面，又直線的公共點為，所以四點共面；【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以，得，即直線與平面所成角的正弦值為.16.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）過原點作圖象切線，求直線的方程；（2）若，使成立，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解答】【分析】（1）設(shè)切點，求導(dǎo)得出切線方程，代入原點，求出參數(shù)即得切線方程；（2）由題意，將其等價轉(zhuǎn)化為在0,+∞有解，即只需求在0,+∞上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)分析推理即得的最小值.【小問1詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，因為切線經(jīng)過原點，所以，解得，所以切線的斜率為，所以的方程為.【小問2詳解】，，即成立，則得在0,+∞有解，故有x∈0,+∞時，.令，，，令?′x>0得；令?′故?x在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，則，故的最小值為.17.已知橢圓（），四點，，，中恰有三點在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C上是否存在異于的兩點M，N使得直線與的斜率之和與直線MN的斜率（不為零）的2倍互為相反數(shù)？若存在，請判斷直線MN是否過定點；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，直線MN過定點．【解答】【分析】（1）根據(jù)橢圓的對稱性，確定橢圓C過的三點，再代入方程求解作答.（2）設(shè)出直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合已知及斜率坐標(biāo)公式列式求解即可.【小問1詳解】由橢圓的對稱性知，，，三點在橢圓C上，故，，得，從而橢圓C的方程為．【小問2詳解】直線MN過定點，證明如下：假設(shè)存在，不妨設(shè)直線、、MN的斜率分別為，，k，滿足，設(shè)直線MN的方程為（），且，，與橢圓C的方程聯(lián)立，得，則，即（*），且那么，化簡得，，即整理得：，解得或，當(dāng)時，中一點與重合，故舍去，故直線MN過定點．【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線MN的方程為（），且，，將其與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再將斜率之間的關(guān)系式整理從而將韋達(dá)定理代入，最后化簡得，解出值并檢驗.18.2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運會.為了普及奧運知識，M大學(xué)舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽（1）初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題，記小王在初賽中答對的題目個數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；（2）大學(xué)為鼓勵大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，對進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎勵.獎勵規(guī)則如下：已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元.假定每次抽獎中獎的概率均為，且每次是否中獎相互獨立.（i）記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為，求的極大值；（ii）大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，試求此時的取值范圍.【答案】（1），（2）（i）；（ii）【解答】【分析】（1）6道題中小王能答對4道，答錯2道，結(jié)合超幾何分布計算即可，再結(jié)合條件概率計算即可.（2）由，運用導(dǎo)數(shù)研究其極大值即可.（3）分析每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎金的期望，解不等式即可.【小問1詳解】由題意知，的可能取值為，則，，，故的分布列為012則.記事件：小王已經(jīng)答對一題，事件：小王未進(jìn)入決賽，則小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率.【小問2詳解】（i）由題意知，，則，令，解得或（舍），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有極大值，且的極大值為.（ii）由題可設(shè)每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎金為隨機(jī)變量，則的可能取值為，，，，，所以，所以，即，整理得，經(jīng)觀察可知是方程的根，故，因為恒成立，所以由可得，解得得，又，所以的取值范圍為.19.對于數(shù)列，若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱為數(shù)列.（1）若的前項和，試判斷是否是數(shù)列，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列，若該數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍；（3）設(shè)無窮數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，有窮數(shù)列，是從中取出部分項按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項和分別為，，求是數(shù)列時與所滿足的條件，并證明命題“若且，則不是數(shù)列”.【答案】（1）是，理由見解答；（2）；（3）當(dāng)是數(shù)列時，與滿足的條件為或，證明見解答.【解答】【分析】(1)由數(shù)列定義知，僅需驗證當(dāng)時，恒成立即可；(2)寫出，的表達(dá)式，則對滿足的任意都成立，則將此問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，然后據(jù)此去求解的范圍；(3)根據(jù)數(shù)列是數(shù)列，可以得到，所以需要分，和，去討論，和(2)相似，還是去求解使得的取值范圍，仍然是將其轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，然后在不同的情況下求出對應(yīng)的的取值范圍即可.在證明命題“若且，則不是數(shù)列”時，考慮使用反證法：先排除掉數(shù)列的項都在數(shù)列中、數(shù)列的項都在數(shù)列中的情況.若數(shù)列至少有一項不在數(shù)列中，且數(shù)列至少有以一項不在數(shù)列中,先去掉其公共項得到數(shù)列，，設(shè)數(shù)列的最大項為，且數(shù)列的最大項比數(shù)列的最大項大，然后根據(jù)數(shù)列是數(shù)列的性質(zhì),得到,從而推出矛盾，進(jìn)而所求證得證.【詳解】(1)∵，∴，當(dāng)時，，故，那么當(dāng)時，，符合題意，故數(shù)列是數(shù)列；(2)由題意知，該數(shù)列的前項和為，，由數(shù)列是數(shù)列，可知，故公差，對滿足的任意都成立，則，解得，故的取值范圍為；(3)①若是數(shù)列，則，若，則，又由對一切正整數(shù)都成立，可知，即對一切正整數(shù)都成立，由，，故，可得；若，則，又由對一切正整數(shù)都成立，可知，即對一切正整數(shù)都成立，又當(dāng)時，當(dāng)時不成立，故有或，解得，∴當(dāng)是數(shù)列時，與滿足的條件為或；②假設(shè)是數(shù)列，則由①可知，，，且中每一