高考數(shù)學模擬大題規(guī)范訓練(19)含答案及解析

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（19）15.已知，函數(shù)，且.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍.16.面試是求職者進入職場一個重要關(guān)口，也是機構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié)．某科技企業(yè)招聘員工，首先要進行筆試，筆試達標者才能進入面試．面試環(huán)節(jié)要求應聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得1分，答錯不得分；第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得2分，答錯不得分．（1）根據(jù)近幾年的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，應聘者的筆試得分服從正態(tài)分布，要求滿足為達標．現(xiàn)有1000人參加應聘，求進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）（2）某進入面試應聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應聘者的面試成績的分布列與數(shù)學期望．附：若，則，17.如圖，在四棱錐中，，，且是的中點.（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的余弦值.18.已知平面內(nèi)一動圓過點，且在軸上截得弦長為2，動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點是圓上的動點，曲線上有四個點，其中是的中點，是的中點，記的中點為.①求直線的斜率：②求面積的最大值.19.法國數(shù)學家費馬在給意大利數(shù)學家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，托里拆利確定費馬點的方法如下：①當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，滿足的點為費馬點；②當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.請用以上知識解決下面的問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，點為的費馬點，且.（1）求；（2）若，求的最大值；（3）若，求實數(shù)的最小值.

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（19）15.已知，函數(shù)，且.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解答】【分析】（1）先得到函數(shù)的定義域，求導，由解出的值，進而得到，由得到單調(diào)遞減區(qū)間，由得到單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若恒成立，則成立，由（1）知，從而可以得到的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，由已知得，因為，所以，解得，所以.令，解得（舍），.當時，；當時，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，有極小值.因為在上只有一個極值，所以.因為恒成立，所以，即，得.所以的取值范圍是.16.面試是求職者進入職場的一個重要關(guān)口，也是機構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié)．某科技企業(yè)招聘員工，首先要進行筆試，筆試達標者才能進入面試．面試環(huán)節(jié)要求應聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得1分，答錯不得分；第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得2分，答錯不得分．（1）根據(jù)近幾年的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，應聘者的筆試得分服從正態(tài)分布，要求滿足為達標．現(xiàn)有1000人參加應聘，求進入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）（2）某進入面試的應聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應聘者的面試成績的分布列與數(shù)學期望．附：若，則，【答案】（1）159（2）分布列見解答，【解答】【分析】（1）由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)求得對應概率，即得對應人數(shù)；（2）由題可知的可能取值為，求得對應的概率以及分布列，進一步由期望公式求解即可.【小問1詳解】因為服從正態(tài)分布，所以．因為，所以，所以．因此，進入面試的人數(shù)約為159．【小問2詳解】由題意可知，的可能取值為，則；；．所以的分布列為：012345所以．17.如圖，在四棱錐中，，，且是的中點.（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）先證明線面垂直再根據(jù)面面垂直判定定理證明即可；（2）先根據(jù)二面角求參得出點的坐標，再應用線面角向量求法計算.【小問1詳解】因為，由余弦定理得，所以.因為，所以，所以.因為，所以四邊形為平行四邊形，所以.因為，所以，即.因為平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)，過點作，交于.因為平面平面，平面平面，所以平面.以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.由（1）可知為二面角的平面角，即，所以，由，可得.所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的余弦值為.18.已知平面內(nèi)一動圓過點，且在軸上截得弦長為2，動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點是圓上的動點，曲線上有四個點，其中是的中點，是的中點，記的中點為.①求直線的斜率：②求面積的最大值.【答案】（1）（2）①；②【解答】【分析】（1）設(shè)動圓圓心，根據(jù)題意結(jié)合距離公式運算求解；（2）①設(shè)，根據(jù)中點利用同構(gòu)可得為方程的兩根，利用韋達定理分析證明；②根據(jù)題意可得，結(jié)合圓的方程可得，進而可得最值.【小問1詳解】設(shè)動圓圓心，當時，由已知得，即；當時，點的軌跡為點，滿足.綜上可知，點的軌跡方程為.【小問2詳解】①設(shè).由題意得，的中點在拋物線上，即.又，將代入得，同理可得，可知為方程的兩根，所以.所以直線的斜率為0；②由得，所以，又因為，所以.又因為點在圓上，則，且.設(shè)的面積為S，則，當時，S有最大值48.所以面積的最大值為48.【小結(jié)】方法小結(jié)：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．19.法國數(shù)學家費馬在給意大利數(shù)學家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，托里拆利確定費馬點的方法如下：①當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，滿足的點為費馬點；②當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.請用以上知識解決下面的問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，點為的費馬點，且.（1）求；（2）若，求的最大值；（3）若，求實數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解答】【分析】（1）根據(jù)倍角公式得到，由正弦定理得到，從而；（2）根據(jù)點為的費馬點得到，再由及三角形面積公式得到，因為及均值不等式，所以，當且僅當時等號成立；（3）設(shè)，所以，在三個小三角形中分別用余弦定理表示出、、AB再結(jié)合得到，從而由均值不等式得，從而得到的最小值.【小問1詳解】因為，所以，即，由正弦定理得.所以.【小問2詳解】由（1）知，所以的三個角都小于，因為點為的費馬點，所以.由得：，整理得.又因為，所以，當且僅當時等號成立.所以，所以的最大值為.【小問3詳解】由（2）知.設(shè)，由得.由余弦定理得：在中，，在中，，在中，，因為，所以，整理得.因為m+n+2=mn≤m+