2019屆浙江專版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.1不等關(guān)系與不等式講義

第七章不等式

§7.1不等關(guān)系與不等式高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)1.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)定義的,有a-b>0?a>b;a-b=0?

a=b;a-b<0?a<b.另外,若b>0,則有

>1?a>b;

=1?a=b;

<1?a<b.2.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1:對(duì)稱性如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.性質(zhì)2:傳遞性如果a>b,且b>c,那么a>c.也可等價(jià)表示:如果c<b,且b<a,那么c<a.知識(shí)清單性質(zhì)3:加法法則如果a>b,那么a+c>b+c.推論1:移項(xiàng)法則如果a+b>c,那么a>c-b.推論2:同向可加性如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.性質(zhì)4:乘法法則如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac<bc.推論1:同向可乘性如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.推論2:乘方法則如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,且n≥2).推論3:開(kāi)方法則如果a>b>0,那么

>

(n∈N*,且n>1).3.在兩個(gè)不等式中,如果每一個(gè)不等式的左邊都大于(或小于)右邊,那么

這兩個(gè)不等式就是同向不等式,例如a2+a>a+1,3a2+5>2a是同向不等式.

如果一個(gè)不等式的左邊大于(或小于)右邊,而另一個(gè)不等式的左邊小于

(或大于)右邊,那么這兩個(gè)不等式就是異向不等式,例如a2+3>2a,a2<a+5

是異向不等式.4.注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性,也就是說(shuō)每條性質(zhì)是否具有可逆

性.只有a>b?b<a,a>b?a+c>b+c是可以逆推的,而其余幾條性質(zhì)不可逆推,在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要準(zhǔn)確把握條件是結(jié)論的充要條件還是充分條件.注意:在應(yīng)用不等式的性質(zhì)時(shí),一定要搞清它們成立的前提條件.例如:(1)在應(yīng)用傳遞性時(shí),如果兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等

號(hào),那么等號(hào)是傳遞不過(guò)去的.如a≤b,b<c?a≤c就是錯(cuò)誤的.(2)在乘法法則中,要特別注意“乘數(shù)c的符號(hào)”,例如當(dāng)c≠0時(shí),有a>b?

ac2>bc2;若無(wú)c≠0這個(gè)條件,則a>b?ac2>bc2就是錯(cuò)誤的(當(dāng)c=0時(shí),ac2=bc2).用不等式性質(zhì)研究不等關(guān)系的解題策略1.比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小,一般用以下兩種方法:(1)當(dāng)兩個(gè)數(shù)(或式子)正負(fù)未知且為多項(xiàng)式時(shí),用作差法.(2)當(dāng)兩個(gè)數(shù)(或式子)為正數(shù)(或式子的值為正)且為指數(shù)冪時(shí),用作商法.2.判斷不等關(guān)系真假的方法(1)利用不等式性質(zhì)判斷不等關(guān)系真假.(2)舉反例法判斷不等關(guān)系真假.例1

(2017浙江杭州質(zhì)檢,6)已知x1>0,x2>0,x1+x2<ex1x2(e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù)),則

()A.x1+x2>1

B.x1+x2<1C.

+

<

D.

+

>

方法技巧方法1A解析由x1+x2<ex1x2和x2>0,得

<ex1-1,又x1>0,∴ex1-1>

>0,∴x2>

,則x1+x2>x1+

=x1+

+

=

+

≥

>1,故選A.一題多解由x1+x2<ex1x2,知

<1,所以x1+x2=(x1+x2)·1>

·(x1+x2)=

>

>1.故選A.用不等式性質(zhì)研究參變量的取值范圍的解題策略在求參變量的取值范圍時(shí),一定要注意題設(shè)中的條件,在變換過(guò)程中要

準(zhǔn)確利用不等式的基本性質(zhì)及其他有關(guān)的性質(zhì).例2若關(guān)于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中整數(shù)恰好有2個(gè),則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是

.方法2解題導(dǎo)引

利用不等式性質(zhì)確定a的符號(hào)

利用特殊值得關(guān)于a的不等式組

解不等式組得結(jié)論解析